第三章 拉格朗日力学 （上） （参阅教材第二章） 3．1．理想约束 达朗伯原理 达朗伯方程（动力学基本方程）（教材§2．1．） 1．虚位移和虚功的概念 为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法，我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实例：一个质点，质量为，坐标为，已知的主动力，受到曲面约束，未知的约束力。 动力学方程为：  约束方程为： . 包含六个未知函数。在曲面光滑的情况下，未知的约束力可表为，于是六个未知函数归结为四个未知函数，由上述四个方程决定。 在时间间隔中，质点的位移为，称为实位移。（由动力学方程唯一决定）和分别满足时刻和的约束方程 从而 这是完整约束加在实位移上的条件。 在某一时刻想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由变化引起，而是满足某一时刻的约束条件的假想的位移（并不要求满足动力学方程，因而是不唯一的），所以称为虚位移。记为：（虚位移用来记，以示其无限小）。（广义）坐标的虚位移也称为（广义）坐标的变分（变更），变分的运算和微分相仿，例如：但要注意，所以这种变分也称为等时变分。和均满足同一时刻的约束方程  从而 这是完整约束加在虚位移上的条件。 比较完整约束加在虚、实位移上的条件，可知，在稳定约束情形下 ，和满足同样的方程，稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个；不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任一个。由此可见，虚位移其实不是力学中的位移（不需要用动力学方程来决定），它所刻划的是约束曲面的几何性质：全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约束曲面的切平面内。 【例】：膨胀着的肥皂泡 （不稳定完整约束） 时刻质点位于球面 上的一点；时刻质点位于球面 上的一点。是实位移。满足  相减得 ，即 或 ， 即 另一点在球的切平面内距无限小。是虚位移 满足方程，与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。 综上所述，我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下： 实位移 虚位移 在时间间隔真实发生的位移 在某一时刻想象发生的位移 满足约束方程 满足约束方程 并满足动力学方程 不要求满足动力学方程 唯一确定 不唯一（有无限多个） 力学中的概念（真实发生的位移） 几何学中的概念（刻画约束曲面的切平面） 以上讨论很容易推广到n个质点组成的质点系，动力学方程为：  其中为第个质点所受主动力，为第个质点所受约束力。 有k个完整约束  使独立的坐标数目减少k个。 完整约束加在实位移上的条件为  其中还应满足动力学方程，是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为  使独立的坐标变分（虚位移）数目也减少了k个。由此可见，独立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的。 对于非完整体系， 如果还有g个线性非完整约束   其中均为坐标和时间的函数。 线性非完整约束加在实位移上的条件是  把改成并取，就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件：   比较上两式可知，对于线性非完整约束，实位移是否与某一个虚位移相同，就看是否为零。也就是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式（形式）。不同点在于前者可以积分；后者不可积分，不能像完整约束那样对广义坐标加以限制。因此，非完整约束使独立的坐标变分数目减少，而并不减少独立坐标的数目。 我们把力与虚位移的内积称为虚功，这是因为它与功的形式相仿，虽然虚功实际上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点（参阅下节理想约束）。 对于光滑曲面约束，约束力应沿着曲面的法线方向（即的方向）。但对于非稳定的光滑曲面，约束力一般不与实位移垂直，其中： 是牵连位移，由于约束随时间变化而引起的。即使质点“静止”，由于约束变化引起，也就是说，即使曲面是光滑的，约束力仍可能做功。然而无论稳定与否，只要约束曲面是光滑的，约束力与虚位移垂直，即（光滑曲面约束力的虚功为零），这样，引入了虚位移和虚功的概念，就得到可能消去光滑曲面（无论稳定与否）的约束力的一种途径。 2．理想约束 达朗贝尔原理 达朗贝尔方程 我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为  约束方程（当然不限于曲面约束）为： 对动力学方程移项，可得   （称为达朗贝尔原理） 如果约束力的虚功之和为零，即满足，（满足此条件的约束称为理想约束）则上述动力学方程就可化为这个方程称为达朗贝尔方程（或称为达朗贝尔－拉格朗日原理，又称动力学基本方程）。显然，上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图1．7的例题，来看看达朗贝尔方程应如何写出： 由于 我们得到   由达朗贝尔原理可得 即 利用，一方面可消去不独立坐标，另一方面由于 说明这是理想约束，从而得到达朗贝尔方程  变分完全独立，系数各自为零，就得到两个方程。（与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相同，见33页（5）（6）式） 为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围，我们需要知道：哪些约束满足理想约束的条件？ 光滑曲面约束 光滑曲线约束（可仿上法进行讨论） （质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者） 质量可忽略的刚性杆链接的两质点（刚体内部的约束也是理想约束） 刚体间以光滑表面或完全粗糙表面（无滑动）相接触 轻软不可伸长的绳 理想的铰链 综上所述，我们可以看到， ．理想约束是光滑曲面约束，曲线约束的推广，但不限于此。如果质点间连接是刚性的，轻的（可忽略质量）；刚体间用理想铰链相联结；质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面，或完全粗糙表面相接触（没有相对滑动），所受到的约束也是理想约束。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类（没有摩擦或摩檫力不做功的）复杂的由质点和刚体组成的力学体系。（参阅参考资料4．） ．引进虚功而不讨论实际的功，讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ．出现摩檫力做功不能忽略的情况时，可将摩檫力看作未知主动力，（通过其他关系求出）而约束仍可认为是理想的。 但是，理想约束并不限于上述各种情况，在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下，仍可能是理想约束。（例如参考资料3习题4．7．第173页）因此我们判断一个约束是不是理想约束，还是应该根据定义，即条件。 3．力学体系的自由度 一般地说，如果质点系有个质点，有个完整约束，个线性非完整约束，则应有个独立的广义坐标，个独立的广义坐标的变分。我们把叫做这个力学体系的自由度。也就是说，力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的，因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义坐标的数目。 3．2．拉格朗日方程（教材§2．3．） 1．第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子法（参阅参考资料1．§5．2第277页；参考资料4．§3） 2．（第二类）拉格朗日方程 （基本形式的拉格朗日方程）的推导 为了方便地运用达朗贝尔方程，我们还需要用独立的广义坐标来表达。 从达朗贝尔方程 (1) 出发，利用坐标变换（换为独立的广义坐标）  得 中第一项称为对应于广义坐标的广义力,是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和（可能相差一个函数因子，其量纲也可能与力不同；因而广义力可以不是力，例如：力矩也是一种广义力）；第二项 是加速度乘以质量在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和(参阅第一章任意曲线坐标系)。 其中为动能。推导过程中运用了第一、第二两个经典拉格朗日关系  和  代入达朗贝尔方程，得  (2) 由于是相互独立的（这里就用到了约束的完整性。如果有非完整约束，即使对于独立的广义坐标，其变分也不完全独立），就得理想、完整体系的普遍方程－—拉格朗日方程：   (3) 【思考】.为什么不能直接令达朗贝尔方程(1)中各项系数为零而能够令(2)式中各项系数为零？ .对于直角坐标和平面极坐标分别讨论拉格朗日方程中(3)的各项的具体形式和它们的物理意义。 3．拉格朗日方程的各种形式 （1）基本形式：  这是理想、完整体系的普遍方程－—基本形式的拉格朗日方程 （2）保守系：如果主动力均为保守力，则 ， 拉格朗日方程可改写为  （理想、完整、保守体系的拉格朗日方程），其中，称为拉格朗日函数。 （3）保守力和非保守力并存的情形： 如果主动力由保守力和非保守力两部份组成，  则拉格朗日方程可改写为 其中拉格朗日函数。 （4）广义有势力的情形：（见教材§2．5.广义势能 带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数） 拉格朗日方程的优点在于消去约束力，使问题简化。但这也成为其缺点所在，既消去了约束力，也就无法求得约束力。为了求约束力，就要用第一类拉格朗日方程或其它方法。 4．拉格朗日方程中各项的显式和物理意义 动能的显式：, 其中是完整约束的个数  由于为的一次式，为的二次式（其齐次与否取决于坐标变换式是否显含） 分别为的齐二次式，齐一次式和不含的式子，其中 下面来看几个例子： 1）约束，约束稳定。总可用不显含的坐标变换引入独立的广义坐标，例如：   不显含，（完全稳定系统） 2）约束不稳定。  ，不显含t，包含T2，T0两部分，称为半不稳定系统或者在广义坐标中的稳定系统。 3）约束不稳定  ，显含t，包含三部分。称为（完全）不稳定系统。 4）约束不稳定。（为的已知函数）  ，显含，包含两部分。也是（完全）不稳定系统的实例。 【思考】对于稳定约束，也可用显含的坐标变换引入独立的广义坐标，例如：  包含三部分，且一般说显含。特例，若f(t)=(t，则不显含t，但仍包含三部分。 ‘‘为的一次式，其齐次与否取决于约束是否稳定’’，这种说法是否确切？ 在势能与广义速度无关的情况下，亦为的二次式。 【思考】在教材§2．5.广义势能的情况下，上述结论应如何修改？ 广义力的具体物理意义： 以直角坐标为广义坐标。以一个质点为例：若则广义力就是力。 以平面极坐标为广义坐标。   可见就是力，而是力矩。 在中心力场的情况下，因此力矩为零。 关于拉格朗日方程的优越性和保守系概念的讨论。（41－43页可留待以后深入领会） 【例1】（43页）注意：所得拉格朗日方程就是33页图1。7例题的牛顿动力学方程在消去约束力和不独立坐标以后得到的方程（5）和（6）。 注意：比较33页图1。7例题的牛顿动力学方程、达朗贝尔方程和拉格朗日方程。注意它们的异同和联系。 【例2】（43页）(1)椭圆摆；讨论和这两种特殊情况 (2)加弹簧的椭圆摆(假定弹簧是轻的，即不计及弹簧的动能)；讨论这种特殊情况 (3)滑块运动已知的椭圆摆（思考：相当于在滑块上加一个怎样的外力？） 【例3】一光滑杆在水平平面内以角速度绕竖直轴转动，一质点约束在杆上运动，时，，求质点的运动规则和杆的约束反作用力 44页例题3由学生阅读。 【例4】（45页）学生阅读。 【例5】拉格朗日陀螺（参阅教材§4．9．） 1．教材中，利用拉格朗日方程解拉格朗日陀螺，而利用欧拉动力学方程解欧拉陀螺。其实，这两种方法对这两个问题都是适用的。在2．11．中拉格朗日陀螺就是利用欧拉动力学方程解的，欧拉陀螺也可利用拉格朗日方程来解。重要的是，如果要用拉格朗日方程，可以把欧拉角作为广义坐标，不能把作为广义速度。（如果把作为广义速度，那么广义坐标是什么呢？）如果一定要把作为“广义速度”，那就要引入准速度和准坐标的概念。（参见参考资料3：191—199页） 2．由于拉格朗日函数不显含，就得到三个守恒量。这样得到三个初积分，比利用欧拉动力学方程要直截了当得多。 3．有了三个初积分，并且能够对(9.9)积分，得（9。10），然后代入（9。4）得   代入（9。5）也可类似处理。 根据三个初积分，分析三个欧拉角随时间变化的情况，就可定性地得到刚体的运动规律。 【思考】能否用拉格朗日函数求欧拉动力学方程？怎样求？(参考资料3：126页,191-199页) 【例6】在势能满足条件时，两体问题的拉格朗日函数也可表为两个单粒子拉格朗日函数之和：   3．3．拉格朗日方程的解（见教材§2．7.） 求解拉格朗日方程，也就是求这个由s个二阶常微分方程构成的方程组的通解   （1） 其中含有2s个积分常数。 1．利用拉格朗日方程的显式，直接积分。（前面我们就是这么做的） 从拉格朗日方程解出，总可表示为  ，  （2） 对方程组（2）式积分，可得通解（1）。由于拉格朗日方程的显式，和消去未知约束力之后用独立的广义坐标表达的牛顿动力学方程往往没有本质的差别，这种解法和求解牛顿动力学方程往往差别不大。 2．利用运动积分 的某种函数在运动过程中保持不变。事实上，由（1）对t求导可以得到   (3) 由（1）和（3）消去，得到个方程，若拉格朗日方程不显含，则（1）式具有时间平移不变性，因而总可表为（个常数重新组合，使一个积分常数和时间结合在一起）  （1’） 消去时同时消去这个常数。于是可解得个独立的运动积分  （4） 它们是拉格朗日方程的初积分。也就是说，（4）式可由（2）积分得到。或者说，求（4）式的全导数  用（1），（2），（3）式代入，将恒等于0。下面是两个最容易得到的运动积分： 1）．如果（不依赖，称为循环坐标）则。从而 （5） (5)式称为循环积分,是Lagrange方程的一个第一积分，其物理意义是广义动量守恒（以后我们把称为与共轭的广义动量）。如果拉格朗日函数是的二次式，广义动量为的一次式。 2）．如果（L不显含t） 则得  （证明见教材56页） （6） 我们来分析一下的物理意义。我们知道，动能是广义速度的二次式，如果不显含，   （6(） （这里用到齐次函数的Euler定理：`若f为xi的齐m次函数，则有。参阅教材57页） 在稳定约束的情况下，，得  （6(） （6(）代表能量守恒。在约束不稳定，但仍有的情况下，（6(）称为广义能量守恒。 【思考】对广义有势力，以上讨论应如何修改？ 3．4．静力学问题 虚功原理：（见教材§2．4.拉格朗日方程对平衡问题的应用） 推导拉格朗日方程的过程中，每一步都有静力学的对应。 动力学 静力学 牛顿方程 平衡方程 达朗贝尔原理 （同上） 达朗贝尔方程（理想约束） 虚功原理（理想约束） （又称动力学虚功原理） （又称静力学虚功原理） 改用完全独立的广义坐标，得拉格朗日方程： 改用完全独立的广义坐标，得   ＝0  对于保守系  对于保守系  【例1】（46页）在此前补一个预备例题：只含一根杆的情形。 【例2】（47页） 【例3】（48页）本题要求约束力。必须间的约束解除，把所要求的约束力视作未知的主动力。坐标原点可以选在点，但不能选点（在考虑虚位移时，这些都不是固定点）。