第四章 哈密顿力学 （中） 4．4．正则变换 1．引言： 【例1】广义坐标间的坐标变换对正则方程的影响。 广义坐标的变换，其逆变换为， 广义速度同时作相应变换：而保持Lagrange方程和Lagrange力学的理论体系不变（具体形式当然有变化）：    （见3．5．） 如果在新的和老的两组广义坐标(由广义坐标间的坐标变换联系)下，分别引入广义动量，进行Legendre变换，这样得到的广义动量和Hamilton量一般说也互不相同。然而得到的运动微分方程当然仍然各自为正则方程(虽然具体形式有所不同)：   这就是说，坐标变换和相应的广义动量间的变换把正则方程变换为新的正则方程，新的哈密顿量为  利用上述变换的显式可以直接检验上述结论的正确性：     注意： 则可由原来的正则方程成立导出新的正则方程也成立。相仿的推导可对正则方程之另一半进行。 以下诸例讨论拉格朗日函数的不唯一性对哈密顿函数和正则方程的影响。 【例2】考虑两个等价的拉格朗日函数和,有关系：（为常量）两组同样的广义坐标：但广义动量不同：哈密顿量也不同： 在新的正则变量和哈密顿函数下，仍有正则方程成立： 【例3】再看另一种情况：考虑两个等价的拉格朗日函数两组同样的广义坐标： 但广义动量不同：哈密顿量也不同： 在新的正则变量和哈密顿函数下，仍有正则方程成立 【例4】把上述两种情况综合起来，考虑两个等价的拉格朗日函数两组同样的广义坐标： 但广义动量不同：哈密顿量也不同：  当然，各自都有正则方程成立。 【例2】【例3】【例4】中的结论也可利用相应变换的显式直接检验。 既然视作个独立变量的函数，我们还可以考虑更一般的变换：“整体地”（不把广义坐标和广义动量分割开来）把一组正则变量变换为另一组新的变量，这当然比起上面各例提到的变换要广泛得多，这样的变换能不能保持正则方程的形式不变呢？回答是可能的，但又必须有一定的条件加以限制，这样的变换就是我们在下面要引入的正则变换。 2．正则变换的定义 从一组正则变量到另一组正则变量的非异变换，叫正则变换。 即：如果通过一组正则变量到另一组新变量的变换： （1） 满足，把正则方程仍然变换为正则方程，那么这种变换（1）就叫做正则变换。 这一组新变量也是一组正则变量。 说明：(1) 个变量成为正则变量，就要求用它们来描述的力学体系的动力学方程为正则方程，其中的哈密顿函数为：；新的个变量也成为正则变量，就要求用它们来描述的力学体系的动力学方程也是正则方程，但其中的哈密顿函数：  一般说来不同于原来的，，并且， （2）考虑了正则变换，广义坐标和广义动量间已经没有不可逾越的界限。（见下面的【例6】，【例7】）经过了正则变换的新的哈密顿函数也可能不再代表能量（但必定对新的正则变量和新的哈密顿函数给出新的正则方程），L*可能不再等于（但对于新的广义坐标广义速度和新的拉格朗日函数给出新的拉格朗日方程）。 本节引言中提到的【例1】－【例4】均为正则变换？ 【例5】 ，是常数且都不为零，是正则变换。新的哈密顿量为。 （为了要论证这个结论，就要证明在 成立的前提下，经过变换选择适当的，有成立。） 【例6】 是不为零的常数）是正则变换，新的哈密顿量为。 【例7】 是正则变换。新哈密顿量为。 事实上   【例8】 是正则变换，新的哈密顿量为 事实上  【例5】－【例8】也可不给出新的哈密顿量，而要求解题者自行选取，这样题目的难度就提高了。 3．正则变换的充分条件（判定定理） 判断一个变换（1）是不是正则变换的基本方法当然是利用正则变换的定义，但这未必总是最方便的方法。因此我们还要寻找其他方法。 判定定理：变换（1）成为正则变换的充分条件为  （2） 其中是某个函数的恰当微分。H*是用新变量以及表示的Hamilton函数。换言之，如果是正则变量的任一Hamilton量。（意即正则方程成立）并且对于变换（1），存在和母函数使（2）成立，那么变换（1）就是正则变换。（意即成立）其中称为母函数。 证明：对于满足条件（2）的作以下两种变化： ： 注意： ： （3） 用去除（2）式， ： （4） 在（等时变分）的条件下，(和可交换次序：；(和也可交换次序： 比较（3）和（4）得  左边  同理 右边 由于是的Hamilton函数，所以右边＝0，从而左边＝0，且由于是独立的。所以有 ，，这正是正则方程，因此（1）是正则变换。 说明： 1）条件（2）的意义是：对于变换（1）和原来的哈密顿函数，存在新的哈密顿函数，使（2）式的左边成为全微分。新的哈密顿函数是待定的；因此，条件（2）的核心是：在t 不变的情况下，要成为恰当微分，也就是说，条件（2）可以表为（t作为参数） （2(） 这是因为，只要使成立的母函数存在，就可以求出待定的，使 （2）成立。 【例9】 ，是不是正则变换？ 先考虑在t 不变的情况下，能不能表为某个母函数的恰当微分  的宗量应为，将化为： 由求出：, (在以上计算中可利用以下各式：，  ，  ， ） 若变换（1）不显含，则条件（2）可以简化为  即在变换（1）不显含,且条件（2）成立的情况下，总可选（不显含）从而。 3）由正则变换充分条件（2）可以得到, 和 由前两式可解得变换（1）式（至于这样得到的（1）式是正则变换的证明已经包含在判定定理的证明中），由此可见，正则变换也可以借助母函数给出；但并非任何形式的函数都能给出正则变换，例如： 【思考】能不能给出正则变换？为什么？能够作为母函数的函数应满足怎样的条件？ 4）由于，母函数所能确定的只是新旧哈密顿函数的差，而不是某个哈密顿函数，正则变换并不局限于某一哈密顿量所刻划的力学体系。 5）用条件（2）去判断例8和例9是正则变换，比前面的方法方便得多；但【例5】，【例6】和【例7】三个题虽然我们已经根据定义判断它们是正则变换，却不满足条件（2）。这是因为（2）是充分条件，不是必要条件。正则变换的充要条件为  （2(） （2(）的充分性可以依照（2）的证明充分性的方法证明，其必要性的证明，用到Poincaré－Cartan积分不变量性质，应用相对线性积分不变量的李华中定理，参阅资料2和13。 6）学习了哈密顿原理以后，可以从另一角度来证明正则变换的充分条件。（教材256页） 4．正则变换的充分条件（判定定理）的其他形式(见258页)。一共有四种表述方式。 说明： 这四种不同表述方式，由于采用不同的独立变量（母函数的独立变量的选法有其共同点：旧变量、新变量各占一半；每一对共轭的正则变量中，必有一个，且只有一个），因而母函数也不同，它们之间的关系是Legendre变换。对每一种表述方式均可平行地进行前面的讨论。 【例10】正则变换可以不同方式选取母函数：   由隐函数给出，难以求出显式；但可以证明 所以是全微分 2）对每个偏导数的含义要弄清楚，例如，而  3）并非对每一个正则变换，四种形式的母函数均存在。例如：下面的【例1】坐标变换。均恒等于零；因而不能由此给出恒等变换。为此我们可以考虑一个更一般的情况：是单价正则变换，四种母函数都存在，但当，n为整数，有些母函数就没有意义。 4）还有多种母函数混合的形式：（参阅习题8．7．（4）） 【思考】正则变换分别应满足怎样的条件，母函数才存在。（分别研究各种情况。） 5）上述各例中的母函数： 【例1】坐标变换。  ，    特别，若，即则为恒等变换。 【例2】广义坐标不变，动量改变，利用充要条件（含参数）       【例3】利用充要条件（含参数），    【例4】利用充要条件（含参数）       【例5】利用充分条件（含参数）       【例6】利用充分条件（含参数）       【例7】  【例8】  【例9】    5．正则变换的关键 目的：希望出现尽可能多的循环坐标。 【例11】 谐振子。 先考虑一维谐振子有能量积分[因为总可设] 使，为循环坐标。的结构启发我们尝试取 如此选取，是为了可以利用三角函数关系式使成为循环坐标，而的形式待定，以期满足正则变换的要求。为此可采取下列诸方法之一： 1) 比较得 2）, , 所以得 将一维谐振子的结果推广可得平面谐振子的解：见课本259－260页【例】。 可以求出正则变换的显式，列在下面：（但为解此题没有必要）  由本例可见，寻找使循环坐标出现的正则变换的过程和寻找运动积分密切相关；而运动积分就是正则方程的解的隐函数形式，这样就降低了正则变换在解正则方程中的实用价值。但是正则变换在帮助我们深入理解力学的理论结构方面起了重要作用。 6．无穷小正则变换 设第二类母函数  为无穷小量。 注意：这里的母函数与恒等变换的母函数的差为无穷小量，可称为无穷小正则变换的生成元  （已略去的高阶小量） （在G中以p代替P引起G的变更为与同阶的小量，引起的变更为的高阶小量） 令， 则，， 正则变量随时间的变化即相当于以为生成元连续进行无穷小正则变换。 设第三类母函数  为无穷小量。  （已略去高阶小量）（在中以q代替Q引起的变更为与同阶的小量，引起的变更为的高阶小量） 令， 则，，