第五章 哈密顿原理
5．1．变分问题的欧拉方程：
1．力学第一性原理（力学最高原理）：可由它导出全部力学定律的原理或者假设。（好比几何学中的公理）
什么原理可以作为力学第一性原理?
牛顿运动定律
达朗伯原理
动力学虚位移原理（是一种微分变分原理，或称动力学虚位移原理或称动力学普遍方程，在本教材又称达朗贝尔方程；在静力学情况下是虚位移原理，或称虚功原理。）
Lagrange方程
正则方程
以上原理中的任何一者都可以，因为它们是相互等价的。
在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理。
2．物理学中的变分原理举例
求单摆的平衡位置：
平衡位置应满足平衡方程
求得平衡位置：
ii 利用虚位移原理
ⅲ 利用势能最小这个条件，
或者 得到。
方法ⅰ是找出满足平衡条件的态（着眼于一个单独的态）；方法ⅲ是将真实平衡位置与无限接近它的邻近位置比较，平衡位置将使动力学函数（势能）达到极值（逗留值）；方法ⅱ也相似，但虚位移原理不要求左边成为恰当变分，适用范围更广些。方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理（微分变分原理）求解。
最速落径问题（The brachistochrone problem）
从静止出发，在重力作用下，沿光滑轨道由A（x1，y1）滑到B（x2，0），问沿怎样的轨道y＝f(x)所用时间最短。
，
T不能是x的函数，因为它是上下限确定的对x的定积分。T也不能是y的函数，因为如果T是y的“函数”，而y是x的函数，那么T就是x的复合函数，这显然也不对。上式应记为，不代表x与T之间的对应关系，而是函数关系f（即x与y的对应关系）与T之间的对应关系。也就是无限多个函数值与之间的对应关系，即无限多个自变量的多元函数,我们称为的泛函。把的宗量记成别的字母，例如u，也不会改变T的值，在不会引起混淆时也可以略去不记，即。上式中另外几个量：x1，x2，y1对这个泛函的定义是不可缺少的，也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函取极小值的函数f(x)[也就是函数f(x)的无限多个值]。
费马原理（Fermat Principle）
在介质内（一般可以不均匀），光从一点到另一点是沿光程取极值（极大、极小或者常数）的路径传播的。（极端光程原理）或者说，是取所需时间为极值的路径传播的。（时间极值原理）光程是传播路程与折射率的乘积，非均匀介质中为是路径函数的泛函。传播时间是与光程成正比。均匀介质内光的直线传播定律、光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。
有关泛函的初步知识：
我们把泛函F[q(t)]与有限个自变量的多元函数f(x1…xn)作一对比。（为简单起见，限于实数范围内）
F[q(t)]
f(x1…xn)
自变量
∞个实数值q(t)，∞维空间H（函数空间）的点
连续，个
n个实数xk，n维空间Rn的点
分立，有限个
因变量
F[q(t)]∈R（实数）
f(x1…xn)（实数）
映射
极值（逗留值）
当q(t)=qe(t)，F[q(t)]=Fe极值
当(x1, x2, …, xn)=(x1e, x2e, …, xne)，f(x1…xn)=fe极值
极值条件
δF＝0
df＝0
例
线性泛函
线性函数
（2）等时变分和微分
（为了叙述方便，我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难，请同学们自行完成。）
在力学中我们经常运用的是自变量为t的函数等等。我们曾研究，随t的变化引起的q的变化，在无限小情况下，用微分表示，我们现在要研究的，不是由于t的变化，而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个的的值的变化，称为变分，函数q(t)的变分（即），，代表两个相近的运动规律，是同一时刻的与的差。既然如此，自然有。这种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数，其改变量应相当于而不是。
说明：从另一个角度来理解。函数空间的一个确定的函数相当于一维空间的一个确定的数（常数）；确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然是理所当然的，也就不难理解了。我们把看成一个确定的函数，也就是顺理成章的了。
例1．，
，
例2．，
， 满足
例3．，
， 满足
以上是某个参数引起的的几个实例；其实的形式是非常普遍的，并不限于某个或某些参数的改变所引起。
（3）δ与d，以及的运算次序
考虑在t0≤t≤t1的两条曲线（代表两个运动规律，有时称之为轨道，其实和我们原有的轨道概念是不同的。）q(t)（真实运动的位置）和（邻近运动中无限接近的为约束所允许的位置），起点和终点位置相同，，。即δq(t0)＝δq(t1)＝0。（这个要求是下面讨论哈密顿原理所要求的。思考：上面的例题中，如何选取和才能满足这个要求？）考虑两曲线上的四个点M，N，，分别对应于，，和。我们用两种不同方法计算。
M→N→
M→
比较得即：在等时变分的条件下，和可以交换次序。
所以δ和可交换次序。（在证明过程中用到了）
我们进一步研究复合函数在某一瞬时，由于函数形式的变化引起的变化，的变化引起的变化，不考虑的形式的改变(即是函数空间的变点，而是确定的函数关系)，这称为的变分，所以（在多个情况下表为）。在此情况下，微分的运算与变分运算是很相似的。但应注意，与不同，以及。
我们再研究泛函的变分，这应该是的形式改变引起的变化（函数的形式不变）。因此
（至此得到，在等时变分的条件下（），与可以交换次序。我们继续计算：）
泛函的极值
力学中常见的泛函为：（最速落径问题，费马原理中遇到的泛函也类似）。我们已经得到
由于，积分上下限任意选定，是任意的（）所以等价于， 称为Euler方程（1744）。
易见，方程和拉格朗日方程实质上是一样的，因此，拉格朗日方程的理论，例如运动积分，循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的中，不显含，所以有“类能量积分”整理得
令则有进一步，于是得
等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念，我们采用了同样的符号
等时变分，要求δt＝0。虚位移指同一时刻t的假想的无限小位移，所以也有。
虚位移是要求约束所允许的。而我们考虑的真实运动和邻近的可能运动都是满足约束条件的，所以等时变分也是满足约束条件的。
因此等时变分与虚位移采用同一符号是适当的。
5．2．哈密顿原理（哈密顿最小作用量原理）
Hamilton原理（1834）
在t0和t1时间间隔内，一个保守的力学体系，受到的约束是完整的，理想的，有确定的始终点，即和有确定的值，（），在约束所允许的各种可能运动中，由动力学规律（Lagrange方程）所决定的真实运动可由泛函取极值条件给出。S称为Hamilton作用量。
说明：这里的极值条件实际上是取逗留值的条件。这个逗留值是不是极值，以及是极大值还是极小值，都还需进一步探讨。（参考资料3的334页给出了一个实例。教材250页也给出了一个实例。）如果积分区间充分小，在稳定约束条件下，哈密顿原理的泛函在真实路径上取极小值。（参考资料13。第二章70页）
2．Hamilton原理可以作为力学第一性原理。意即Hamilton原理等价于已有的可作为力学第一性原理的原理。例如：Hamilton原理Lagrange方程。在一个自由度的情况下，这个证明在5．1．3．（4）中实际已经给出（并参阅教材247－250页）。
3．由Hamilton原理可以推导正则方程。（教材252－253页）
4．利用哈密顿原理解力学问题，除了通过拉格朗日方程或正则方程以外，还可以直接求得近似解。
【例】（参阅参考资料3中的341页。） 质量为的质点在平面上运动，外力的势能为。在时，它在原点，在时，它在。求质点的运动。
本题可以精确求解。我们先求出精确解，以备与以后求得的近似解进行比较。利用拉格朗日函数求得拉格朗日方程：
求得通解：
并求得满足端点条件的特解：
极小值
（1）取满足端点条件的尝试路径：积分得 >
（2）一般取依赖参数的满足端点条件的尝试路径（这只是可能路径中的一部分），求出使达到逗留值的参数值，以求得真实路径的近似表达式。例如：设
如果取，就得到1。中的结果。显然，这个结果不如现在的结果。
（3）改取依赖两个独立参数的满足端点条件的尝试路径：
即：，
， ，
< 结果有了改进。
由于在我们所选择的尝试路径中没有包含真实路径在内，的极值仍大于真实路径对应的,对应于的尝试路径也与真实路径有误差。 但这组近似解在范围内与精确解已达到很好的近似。（在大范围内与精确解相差甚远。）
（4）如果预知的峰值对应于偏大的值，可设这样可求得：
这样得到： 解的近似程度明显改善。
（5）如果增加参数的个数， ， ，也能改进结果，但工作量大大增加。
(6)若采用不断增加的整数次数的幂函数作为修正项，将以无穷级数的形式逼近精确的运动方程。但若只采用有限多项，就只能得到近似的结果。
以上所求得的各个均大于，因为前者只是部分可能路径所对应的值中的极小值，后者才是全体可能路径所对应的值中的极小值。为求得较好的近似解，就需要选择适当的尝试函数，这就需要丰富的经验和对于未知函数特点的定性分析。本例所用的方法在量子力学中也有重要的应用。
5．哈密顿原理在力学和物理学中的地位：
变分原理有多种形式。
微分变分原理：虚功原理，动力学的普遍方程，等等。
积分变分原理：除Hamilton原理外，也有其他不同形式，其中以Hamilton原理最为简单方便而常用。Hamilton原理和以前学过的与之等价的（即可以互相推导得到的）原理或方程，均可取作力学第一性原理。但Hamilton原理有其优点。
从整体考察体系的运动规律，挑出真实运动。这是积分形式的变分原理的优点。
具有直观紧凑的形式。
Hamilton原理着眼于能量，便于推广到光学、电磁场理论、量子理论等。事实上Hamilton原理已成为现代物理学理论中的第一性原理。
作为第一性原理是不必也是不可能证明的。其正确性是用由它推导出的结论和实验进行比较得到检验的。由于在经典力学中已经有直接得到实验检验的牛顿定律，从而知道，和牛顿方程等价的Hamilton作用量表达式中应有L=T-V，因而Hamilton原理似乎是可以推出来的。其实这是一种错觉。事实上在一些现代物理的领域（例如量子场论），在建立理论的过程中，难以从已有的实验事实直观地归纳出定律或运动方程。就往往采用以下步骤：根据物理学理论的一些已经过实验检验的基本要求（例如对称性等）和来自相关实验事实的启示，构造出L－函数，然后由Hamilton原理导出运动方程，通过从运动方程得到的结果和实验比较，来检验理论的正确与否。如果理论与实验有距离，再分析存在的问题，修改L－函数，从而由Hamilton原理导出的运动方程也得到修改。如此实践－认识－再实践－再认识，不断提高认识，改进理论。
关于变分原理的更多内容，可参阅参考资料2。3。4。13的有关章节。
第五章习题：
272页8．4，8．5，8．6，（要求在多个自由度的一般情况下进行推导）
