华中师范大学：数学物理方法：1

《数学物理方法》电子教案 李高翔 吴少平 第一篇 复变函数论 第一章 复变函数和解析函数 思考：复变函数和实变函数的区别和联系。 实变函数：实变量的函数。例： x,y— 实变量； f(x,y) —实变函数 复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。 实数→实变量→实变函数 复数→复变量→复变函数 § 1.1 复数 （复数的定义，几何表示，运算规则） 数的扩展：正数→负数→实数 在实数范围内：方程 当 时，没有实根。 →扩大数域，引进复数 0 2 =++ cbxax 04 2 <?=Δ acb 一、复数的定义和基本概念 1.定义：复数——形如 z=x+iy的数（ x,y 为实数， 2 1i =? ， i：虚数单位） 2.基本概念： x=ReZ（实部） y=ImZ（虚部） 纯虚数，共轭复数（ z， z*） ,复数相等 二、复数的表示方法 1.复平面 (1)直角坐标表示：在坐标平面 xoy 上，用点 (x,y)表示复数 z=x+iy →平面上的点 (x,y)与复数 z=x+iy一一对应。全体复数布满整个平 面——复平面（或 z 平面） 定义： x 轴——实轴， y 轴——虚轴 从原点 (0,0) 出发指向点 (x,y)的矢量——复矢量。 (2)极坐标表示 ：复平面上的点用极坐标 表示 cos sin x y ρ? ρ? = ? ? = ? (cos sin )ziρ? ??= + （ ： z 的模， ： z 的辐角） 注：用极坐标表示一个复数 z 时，辐角 Argz 的值不唯一： 0 2 ( 0, 1...)kk?? π=+ =± 辐角主值： 辐角： rg arg 2 ( 0, 1...)Az z kkπ=+ =± 利用欧拉公式： cos sin i ei ? ??=+ ，有 (cos sin ) i zie ? ρ? ?ρ=+= ),( ?ρ ρ ? )2arg0(arg π<≤ zz 2.复球面 复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。 方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过 o 作复平面 的垂线交球面于 N 点（北极点） ，作射线 NP 交球面于 P’点，交复平 面于 P 点，可知 P’与 P 对应，所以以 o 为圆心的圆 L 上的点与复球 面纬线 L’上的点相对应，圆 L 内部的点与 L’下方的点对应。 圆 L 的半径 ， L’趋向球顶缩成一点 N →复平面的无限远处对应于球面上的一点 N 这样，复平面的无限远处看成一个“点”——无限远点。 ∞→ρ 三、复数的运算规则 由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既 应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算 的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术 运算的一般规律（如交换律，结合律等） 。 1.加法 12 ZZ Z=+= 11 22 12 12 （x +iy）+（x +iy）=(x +x )+i(y +y ) 几何意义： 1 z ， 2 z 为复矢量。 21 zzz += 遵守平行四边形 法则。 这样： 1212 ZZ ZZ+≥+ （两边之和不小于第三边） 12 1 2 ZZ Z Z?≥? （一边不小于两边之差） 2.减法 ： 12 ZZZ=?= 11 22 12 12 （x +iy）-（x +iy） =(x -x )+i(y -y ) 3.乘法 : 12 ZZZ=×= ? 1 1 2 2 12 12 12 21 （x +iy） （x +iy）=(xx -yy )+i(xy +xy ) 12 12 () 12 1 2 12 ii i ZZ e e e ?? ?? ρρ ρρ + ×= = (模相乘 ,辐角相加 ) 4.除法 : 1 2 Z Z Z ? == + ? 1 1 1 1 2 2 12 12 21 12 22 22 22 22 22 22 22 x+iy （x +iy） （x -iy）(xx +yy ) x y -xy ==i x+iy （x +iy） （x -iy） x +y x +y (分母有理化 ) 1 12 2 () 11 1 22 2 i i i Ze e Ze ? ?? ? ρρ ρρ ? == (模相除，辐角相减 ) 5.乘方 :N 个 Z 相乘 nnin Z e ? ρ= 棣摩弗公式 : (cos sin ) cos sin n in?? ? ?+=+ 6.开方 : 令 。设 ， 。 已知 ，求： 由 ，有 : 即 w的模 ρ 与 的模一一对应 . w 的辐角与 的辐角不是一一对应 . 仅有 n 个不同的值满足 即 0 z 0 z wz n = 0 0 zw n = ? ρ i ew = 0 00 ? ρ i ez = 00 ,?ρ ?ρ, 0 0 ?? ρρ iinn ee = ? ? ? ? ? +=→+= =→= )( 2 2 0 0 00 ：整数k n k n kn n n π? ?π?? ρρρρ 0 zw n = )1,1,0( ) 2 ( 00 0 ?=== + nkezw n k n i nn null π? ρ 设 1 Z = 11 x +iy 2 Z 22 =（x +iy） , 则：以下的交换律、结合律、分配律成立 12 21 ZZ ZZ+=+ (加法交换律 ) 12 21 ZZ ZZ= (乘法交换律 ) 123 123 ()()ZZZ ZZZ++=++ (加法结合律 ) 123 123 ()()ZZZ ZZZ= (乘法结合律 ) 123 1323 ()ZZZ ZZZZ+=+ (分配律 ) § 1.2 复变函数 复数→复变量→复变函数 一、复变函数的定义 定义 :设 E为一复数集，如果 E上每一个复数 z有唯一 确定的 w与之对应 ,则称在 E上确定了一个单值函数。 记为： w=f(z) w:z的函数； z:w的自变量 (或宗量 ) )( Ez∈ 如果对于自变量 Z，对应着两个和两个以上的 w，则称在 E 上确定了一个多值函数。 因为 z=x+iy，所以复数的实部和虚部应是 x,y 的函 数。即 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ——一个复变函数是两个实变函数的有序组合。 → 实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到 复变函数中。 二、区域 在复变函数中 ,自变量取值的范围是复平面上的区域 (复变函数的定义域 ) 开区域 D: 边界线 L 所包围的区域 闭区域 D ：开区域 D+边界线 L 关于区域严格定义所涉及到的概念： 1．点 a 的 ε 邻域：以复数 a 为圆心，任意小的正实 数 ε为半径的一个开圆， 即满足 |z-a|<ε的点的集合。 点 a 的无心邻域： 0<|z-a|<ε （不包含 a 点） 2．内点：若某点的 ε 邻域中所有的点属于 D，则该 点称为 D 的内点。 3．边界点：若某点不属于 D，但其 ε 邻域内含有属 于 D 的点，则该点称为 D 的边界点。 4．外点：若某点不属于 D，且其 ε 邻域内不含有属 于 D 的点，则该点称为 D 的外点。 区域的严格定义： 1．每一点都是内点（开集性）——对比开区间 2．任意两点都可用一条由点集 D 的点组成的曲线 连接（连通性） 有关例子： (1) |Z|<R 是以 Z=0 为圆心， R 为半径的一个开圆 ——对比开区域 D (2) |Z|=R 是以 Z=0 为圆心， R 为半径的圆周—— 开区域 D 的边界线 (3) |Z| R 是以 Z=0 为圆心， R 为半径的一个闭圆 ——闭区域 ≤ D 单连通区域和复连通区域 (1)边界由一条闭合曲线L 组成； (2)边界由两条不相连接的闭合曲线 和 组成； (3)边界由三条不相连接的闭合曲线 ， 和 组成。 定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目n。 n=1：单连通区域 n>1：复连通区域 区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。 连续变形：变形时不能通过不属于D 的区域。 降低连通阶数的方法： 做割线将两条边界线连接起来。 用处：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 三、复变函数的几何意义 ——由 z平面到 w平面的映射 单值实变量函数 y=f（ x） ，可表示为平面上的一条曲线。 单值复变量函数：自变量 z=x+iy，复变函数 w=f（ z） =u+iv 四个实变量： x,y,u,v 不能用二维、三维空间中的几何图形表 示 z， f（ z） 办法：可用 z 平面上的点（ x,y）表示自变量 z 的值，而用 另一个 w 平面上的点（ u,v）表示复变函数 w=f（ z） =u+iv 的值。 对应关系 f（ z） ：从 z 平面到 w 平面的一个映射——复变函 数的几何意义 四、初等复变函数 （类型，性质） 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数、双曲函数 初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项 复合而得到 实变函数的性质：奇偶性，周期性，单调性 ,有限性 , … 对于复变函数，除了关心上述性质外，还关心： 实变函数的公式能否推广？ 新的性质？ 1． 多项式： ∑ = =++++= n k k k n n zczczczcczf 0 2 210 )( …… C k : 复常数 n：正整数 2． 有理函数 ： )( )( )( 2 210 2 210 zQ zP zf n n n n zbzbzbb zazazaa == ++++ ++++ …… …… a k ， b k 为复常数 n：正整数 ,且分母 Q( z )不为 0 3.根式函数 —多值函数（待讲） 4.指数函数 性质： (1) 没有零点： (2) （乘积公式） 注： （ A,B 为算符且不对易） 证明略。 (3) 周期性：周期为 证明： azzf ?=)( )sin(cos yiyeee xiyxz +== + 0≠ z e 2121 zzzz eee + = BABA eee + ≠ iπ2 ziziz i eeee ie =?=∴ =+= + ππ π ππ 22 2 12sin2cos∵ 5.三角函数 iz -iz e-e sinz= 2i iz -iz e+e cosz= 2 性质： (1) cosz 为偶函数， sinz 为奇函数 -iz iz e+e cos(-z)= cos 2 z= -iz iz e-e sin(-z)= sin 2i z=? (2) 周期为 2π (3) 遵守实变函数的三角关系式 12121 22 coscossin)sin(,1sincos zzzzzzz +=+=+ (4) |cosz|和 |sinz|是无界的 (对比 |sinx| 1 ,|cosx| 1) ≤ ≤ 6.双曲函数 z-z e-e shz= 2 z-z e+e chz= 2 性质： (1) 与三角函数的关系 i(iz) -i(iz) e-e shz=-i sin( ) 2i iiz=? i(iz) -i(iz) e+e chz= cos( ) 2 iz= (2) 周期： 2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数 (4) 实变函数有关公式可推广： 212121 22 )(,1 ShzChzChzShzzzShzShzCh +=+=? 7.对数函数——多值函数 8.幂函数： (s为复数 ) zizz ArgnlnL += zss ez ln = §1.3 复变函数的极限与连续 一、复数序列的极限 1.定义： 是复数序列，记作 。若任给实数 ε>0， 存在自然数 N，当 n>N 时，有 ε<? 0 zz n 则称 以 为极限。记作 2.几何意义 以 为中心， ε 为半径作一个圆 Cε， 0 zz n ? 表示 与 的距离。定 义表示，当 n>N 时，所有的 都进入圆 Cε 内， ε 取值足够小，对于 n>N 的 n， 非常接近于 ，这就是序列 以 为极限的几何意义。 nullnull ,,, 21 n zzz }{ n z }{ n z 0 z 0 lim 0 zz n zz n = → 0 z n z 0 z n z n z 0 z }{ n z 0 z 二、复变函数的极限 1.定义：设 w=f（ z）是在区域 D 中定义的单值函数。如果任给 实数 ε>0，若存在实数 δ >0，当 D 内的 z 满足 δ<?< 0 0 zz 时，有 ε<? 0 )( wzf 则称 f（ z）当 z 趋于 z 0 时有极限 w 0 ，记作： 0 0 lim ( ) zz fz w → = 2.几何意义 当 z 在 Z 平面进入以 z 0 为圆心， δ 为半径的圆 C δ 时 ,相应的 ()Wfz= 就在 W 平面进入以 w 0 为圆心， ε 为半径的圆 C ε 内。 注：这里 z 以任意方式趋于 z 0 时，其极限为 w 0 。 3. 性质： 000 lim( ) lim lim zz zz zz fg f g →→→ ±= ± 000 lim( ) lim lim zz zz zz fg f g →→→ = 0 0 0 lim lim lim zz zz zz f f gg → → → = 0 lim 0 zz g → ≠ 三、复变函数的连续性 1.函数在某点连续的定义 ： 设 ()Wfz= 是在区域 D中定义的单值函数， 并且 z 0 为 D 的内点，如果任给实数 ，存在实数 ，使得当 D 内的 z 满足 时，有 0 () ( )fz fz ε?< 即 0 0 lim ( ) ( ) zz fz fz → = ——极限值等于函数值（求极限的一种方法） 则称函数 w=f(z)在点 z 0 连续。 注：极限的定义要求 z 以任意的方式趋于 z 0 时，极限均为 ，而 在实变函数中， f(x)在 x=x 0 处的连续性仅要求 x 从小于 x 0 和大于 x 0 两个方向趋于 x 0 时， f(x)有相同的极限值。可见在复变函数中，函数 在某点连续的定义比实变函数中要求更严格 。 0>ε 0>δ δ<? 0 zz )( 0 zf 2.连续函数 若 f(z)在区域 D 内点点连续，则称它在区域 D 内连续，或称 f(z) 为连续函数。 § 1.4 复变函数的导数 一、 导数的定义，导数公式 1.定义： 设 w=f(z)是在区域 D 中定义的单值函数， 对 D 内某一点 z， 若极限 0 ()() lim z f zzfz z Δ→ +Δ ? Δ 存在，则称 ()fz在点 z 可导，并称这个极限值为 ()fz在点 z 的导数，记作： '( )fz 或 df dz 说明： (1).对于实变函数导数的定义： 0 ()() '( ) lim x fx x fx fx x Δ→ +Δ ? = Δ 可见，实变函数、复变函数导数的定义形式上一样，但对于实变函数来说 只能沿实轴逼近零。 如极限存在且相同，则 f(x)在 x 点可导；而对于复变函数来说 可沿复平面的任一曲线逼近零， 若沿任何方式逼近 z 时，极限存在，且相同 ,则称 f(z) 在点 z 可导。因此复变函数的可导要求严格 得多。 xΔ zΔ (2) 导数存在要求 f(z) 在点 z连续，但并不是： f(z)在点 z 连续，则 f(z)在点 z一定可导。 例：设 ，求 解： n zzf =)( ?)( = ′ zf 1121 00 )( 2 )1()( limlim ???? →Δ→Δ = ? ? ? ? ? ? Δ++Δ ? += Δ ?Δ+ nnnn z nn z nzzzz nn nz z zzz null 2.导数公式 实变函数与复变函数导数的定义形式相同 实变函数所有的导数公式可推广到复变函数 设 存在，则 ? )(),( ' 2 ' 1 zfzf )()()]()([ ' 2 ' 1 ' 21 zfzfzfzf ±=± )()()()()]()([ ' 212 ' 1 ' 21 zfzfzfzfzfzf += [] )0)(( )( )()()()( )( )( 2 2 2 ' 212 ' 1 ' 2 1 ≠ ? = ? ? ? ? ? ? zf zf zfzfzfzf zf zf dz zd d df dz zdf )()()]([ ξ ξ ξξ = 与实变函数导数公式形式相同的例子： 微分公式：设 w=f(z)，则 nullz dz zd e dz de z z cos sin == dzzfdw )('= 二、柯西 ——黎曼条件（ C-R 条件） 要解决的问题：给定一函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 如何判断 f(z)在点 z 是否可导？ 导数存在的必要条件： f(z)在点 z 可导的必要条件是 存在，且 满足 C-R 条件： y v x v y u x u ? ? ? ? ? ? ? ? ,,, x v y u y v x u ? ? ?= ? ? ? ? = ? ? , 证明：由导数的定义可知： zΔ 以任何方式趋于零时， 极 限 0 ()() lim z fz z fz z Δ→ +Δ ? Δ 存在， 且有同一的极限值， 即 '( )fz 与 0zΔ→ 的方式无关，使我们可讨论 zΔ 沿平行 x 轴和 y 轴 趋于 0 的情形。 设： yixz Δ+Δ=Δ )],(),([)],(),([)()( yxivyxuyyxxivyyxxuzfzzf +?Δ+Δ++Δ+Δ+=?Δ+ 1.令 ，即 沿平行于 x 轴的方向趋于 0，则 00 ( ) () [( ,) ( ,)][(,) (,)] '( ) lim lim zx f zzf zuxxy iv x x y uxy iv x y fz Δ→ Δ→ +Δ ? +Δ + +Δ ? + == ΔΔ (,)(,) (,)(,) lim lim xx ux xy uxy vx xy vxy i xx Δ→ Δ→ +Δ ? +Δ ? =+ uv i xx ?? =+ ?? （ 1） 0, =ΔΔ=Δ yxz zΔ 2. 令 ，即 沿平行于 y 轴的方向趋于 0 ， 00 ( ) () [(, ) (, )] [(, ) (, )] '( ) lim lim zy fz z fz uxy y ivxy y uxy ivxy fz zi Δ→ Δ→ +Δ ? +Δ + +Δ ? + == ΔΔ (, ) (, ) (, ) (, ) lim lim yy uxy y uxy vxy y vxy i iy iy Δ→ Δ→ +Δ ? +Δ ? =+ uv i yy ?? =? + ?? (2) 若 f(z)在点 (x,y)可导，则 (1)、 (2)两式相等，于是 , uvu v xyy x ??? ? ==? ??? ? ——柯西 --黎曼条件（ C-R 条件） yizx Δ=Δ=Δ ,0 zΔ 说明： f(z)在点 z可导的必要条件只保证沿平行于 x轴和 y轴 方向 时， 趋于同一极限，但没有保证沿任意方 向 时， 趋于同一极限。 0→Δz z zf Δ Δ )( 0→Δz z zf Δ Δ )( 补充：全微分、高阶全微分 一元函数 y=f(x)， y关于 x微分的特性： 1.它与自变量的改变成正比； 2.当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较 自变量的改变量更高阶的无穷小。 对于二元函数 u=f(x,y) 定义：若函数 u=f(x,y)的全改变量 可表示为 22 (, )(,) (()()ufx xy y fxy AxByO x yΔ = +Δ +Δ ? = Δ + Δ + Δ + Δ 且其中 A， B 与 无关而仅依赖于 x,y，则称在点 (x,y)可微。 并称 为 f(x,y)在点 (x,y)的全微分，记为 du 或 df(x,y)，即 (, )du df x y A x B y==Δ+Δ uΔ yx ΔΔ , yBxA Δ+Δ 若 f(x,y)在点 (x,y)可微，则有 2 00 (( )) (,)(,) '( , ) lim lim x xx Ax O x fx xy fxy fxy A xx Δ→ Δ→ Δ+ Δ +Δ ? === ΔΔ 即 f(x,y)在点 (x,y)可微 存在且等于 A 同理 存在且等于 B，故 对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，偏导数 存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微性之间存在 密切联系： ' x f? ' y f yfxfdu yx Δ+Δ= '' 定理：若 及 在点 (x,y)及某一邻域内存在，且在这 一点它们都连续，则函数 u=f(x,y)在该点可微。 ),( ' yxf x ),( ' yxf y 证明： 已设 存在，当 充分小时，应用中值定理： 在点 (x,y)连续 )],(),([)],(),([ ),(),( yxfyxxfyxxfyyxxf yxfyyxxfu ?Δ++Δ+?Δ+Δ+= ?Δ+Δ+=Δ '' , yx ff yx ΔΔ , )1),(0(),(),( 212 ' 1 ' <<ΔΔ++ΔΔ+Δ+=Δ θθθθ xyxxfyyyxxfu xy '' , yx ff ? βθ αθ +=Δ+ +=Δ+Δ+ ),(),( ),(),( ' 2 ' ' 1 ' yxfyxxf yxfyyxxf xx yy )0( , 0 0 → →Δ →Δ βα y x yxyyxfxyxfu yx Δ+Δ+Δ+Δ=Δ αβ),(),( '' 时： 由定义可知 f(x,y)在点 (x,y)可微。 三、导数存在的充分必要条件 f(z)在 D内点 z可导的充要条件是： u(x,y)及 v(x,y)可微且满足 C-R条件。 0,0 →Δ→Δ yx 0 )()( 22 → Δ+Δ Δ+Δ yx yx αβ 证明： 1.充分性。 由于 u,v 可微，故 u,v 的全微分存在， 即 22 1 () () uu uxy xy xy ε ?? Δ= Δ+ Δ+ Δ +Δ ?? 22 2 () () vv vxy xy xy ε ?? Δ= Δ+ Δ+ Δ +Δ ?? 12 ,εε ： 无穷小量 对于任意的 ，有： yixz Δ+Δ=Δ 22 12 ()() ()()()() uv xiy i xiy ixyfz u iv xx zxiy xiy xiy εε ?? Δ+Δ + Δ+Δ +Δ+ΔΔΔ+Δ == + ΔΔ+Δ Δ+Δ Δ+Δ 22 12 () () () iuv ix xxxiy εε+?? =+ + Δ+Δ ??Δ+Δ 22 12 12 0, 0 () () () 0 0 xy i xy i xiy εε εε Δ→ Δ→ + Δ + Δ ? = + ????? → Δ+Δ 而 即 22 12 0 ()()() lim 0 x ixy xiy εε Δ→ +Δ+Δ = Δ+Δ 0 () '( ) lim z fz u v fz i zxx Δ→ Δ?? ?= =+ Δ?? 0zΔ ???? → 任意方式 ，极限存在且相同 可导 ? 2.必要性。 由在点 z 可导，则 0 ()() '( ) lim z fz z fz fz z Δ→ +Δ ? = Δ 有确定 极限，即 0 ()() '( ) lim , z fz z fz fz i z ξηξη Δ→ +Δ ? ==+? Δ 存在 由上式得： ()()()fz z fz i z zξη λ+Δ ? = + Δ + Δ ：当 时趋于零的复数。 设 12 ()() ()( )fz z fz u iv i x iy iξη λλ+Δ ? =Δ +Δ = + Δ +Δ + + 则有： 0→Δz λ )Im(),Re( 2121 zziz Δ=Δ=+=Δ λλλλλλλ 2 1 ληξ ληξ +Δ+Δ=Δ +Δ?Δ=Δ xyv yxu 令 0, 0 : , uv yx xx ξη ?? Δ= Δ→ = = ?? ——对 x 求偏导，因为 ,ξη 存在，所以导数存在 0, 0 : , uv xy yy ηξ ?? Δ= Δ→ =? = ?? ——对 y 求偏导，因为 ,ξη 存在，所以导数存在 C-R 条件： , uv u v xy y x ξη ?? ? ? == =?=? ?? ? ? ? 12 , uu vv uxyvxy xy xy λλ ?? ?? Δ= Δ+ Δ+ Δ= Δ+ Δ+ ?? ?? —— u, v 可微 说明：复变函数的可导比实变函数的可导严格得多，具 体表现之一是： 函数的实部和虚部通过 C-R 条件 而联系起来。 ? 四、复变函数导数的几何意义 设 w=f(z)在 可导，即有： 复变函数的几何意义：当 z在 Z平面沿曲线 L变动时， w在 W 平面沿曲线 L’变动。 的表示式： 0 zz = z w z zfzzf zf zz Δ Δ = Δ ?Δ+ = →Δ→Δ limlim 0 00 0 0 )()( )(' )(',, 0 zfwz ΔΔ )(' 00 0 )(')(' ziArgf wiArg ziArg ezfzf eww ezz = Δ=Δ Δ=Δ Δ Δ 由导数的定义式可得： 0 '( ) () 00 00 00 '( ) '( ) lim lim lim lim iArg w iArgf z i Arg w Arg z iArg z zz zz we w w fz fze e zze Δ Δ? Δ Δ Δ→ Δ→ Δ→ Δ→ ΔΔ Δ ==== ΔΔ Δ 00 00 '( ) lim , '( ) lim ( ) zz w fz Argfz ArgwArgz z Δ→ Δ→ Δ ?= = Δ?Δ Δ 导数的几何意义 1.导数的模 0 '( )fz 表示通过点z 0 的无穷小线段 映射为 W 平面的 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 0 '( )Argf z 表示曲线L 上点z 0 的切线与曲线 L’ 上的点w 0 的切线的夹角，即从 z 平面到W 平面映射前 后切线的转动角。 ? zΔ wΔ § 1.5 解析函数 思考：解析函数的性质 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)——复变函数是两个二元实变 函数的有序组合 上式表示的是普遍的复变函数。在此研究的是一类 具有特殊性质的复变函数 ——解析函数。 一、解析函数的定义 1.若函数 f(z)在点 的ε邻域内点点可导，则称在点 解 析； （注： a. 点 的ε邻域是指满足 的点的集合，包 含 点本身。 b.在点 解析比在点 可导要求高，若说在 点可导，则仅意味着在该点的导数存在） 2.若函数在区域 D内点点可导，则称 f(z)在区域 D内解析； 3.若 f(z)在包含 的某个开区域解析 ,则称在闭区域 中解析 (那个开区域比 大 )； 4.若函数在点 a不解析 ,则称点 a是 f(z)的奇点。 0 z 0 z 0 z 0 z ε<? 0 zz 0 z 0 z D D D 0 z 例 : 1 ()fz z = 在 z=0 点无定义 ,故 z=0 是 f(z)的奇点 . 说明 :下述情况之一的点 z 0 都是奇点 : a f(z)在点 z 0 无定义或无确定值； b f(z)在点 z 0 不连续； c f(z)在点 z 0 不可导； d f(z)在点 z 0 可导 ,但找不到某个邻域在其内 处处可导。 二、函数解析的充要条件 函数 f(z)在区域 D(或点 z)解析的充要条件 : 在区域 D(或点 z 的 ε 邻域 )内各点 u(x,y)和 v(x,y)可微并满足 C-R 条件 . 证明略 . 说明 : 1. 由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的 条件后选出来的一类特殊的复变函数 (这一类函数在物理学中有广泛 的应用 ).这个条件不仅要求函数在严格的意义下可导 (极限值与 方式无关 ),而且还要求它在某个区域中处处可导 . 2.解析函数的实部和虚部通过柯西---黎曼条件互相联系，并不独立。 0→Δz 例一：讨论 f(z)=x+ixy 的解析性，即求解其解析区域。 解： 1.f(z)可导区域，即 u, v 可微并满足 C-R 条件的区域 () () 1, 0 , ux ux v xy v xy yx xx yy x x x y ?? ?? ?? ?? == == = = = = ?? ?? ? ? ? ? ， 可得： x=1, y=0 可见 u, v 在整个平面有连续偏导数，即在整个平面可微，但 仅在（ 1， 0）点满足 C-R 条件。所以 f(z)在 z=1 可导。 2. f(z)在 z=1 是否解析？ 不解析。因要求 z=1 点及其邻域内处处可导，才在 z=1 解析， 但 f(z)只在 z=1 可导，故 f(z)在全平面内处处不解析。 例 2．讨论 () z fz e= 的解析区域 解： ( ) (cos sin ) cos , sin zxiyx x x fz e e e y i y u e yv e y + == = + ?= = 因 u, v 有连续偏导数，故 u, v 在全平面可微。又： cos , sin sin , cos xx xx uu ey ey xy vv ey e y xx ?? ==? ?? == 显然， f(z)在全平面满足 C-R 条件。 故 () z fz e= 在整个平面解析。 三、解析函数的实部和虚部的联系 若给定解析函数 w=f(z)在某点 00 0 zxiy=+ 的值 0000 ()wfz uiv==+ ，则可由 v(x,y)求 u(x,y) 或由 u(x,y)求 v(x,y)，进而求出 w=f(z)。 证明： w=f(z)解析 ? u, v 可微并满足 C-R 条件，则 uu vv du dx dy dx dy xyyx ???? =+=? ???? 上式左边是全微分，起始点确定后，上式积分后左边的 值就确定了，因此等式右边积分与路径无关。 作由 00 (, )xy 到任一点 (, )xy 的线积分，则 00 (,) 00 (,) (, ) ( ) ( , ) xy xy vv uxy dx dy ux y yx ?? =?+ ?? ∫ 同理： 00 (,) 00 (,) (, ) ( ) ( , ) xy xy uu vxy dx dy vx y yx ?? =?++ ?? ∫ 例：见 P18[例 4] 四、解析函数与调和函数的关系 定义 ：调和函数——二维拉普拉斯方程 2 0u?= 的解 直角坐标系下： 22 2 22 0 uu u xy ?? ?= + = ?? 命题 ：在区域 D 内的解析函数 ()fz u iv=+ 的实部 与虚部都是调和函数。 证明 ： ()fz 在 D 内解析 ? u, v 可微并满足 C-R 条件 , uvu v xyy x ??? ? ==? ??? ? 以后证明：某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶 的导数 ? 222222 ,,,,, uuuvvv xxyyxxyy ?????? ???????? 都存在 所以 () (), () () uvu v xx xy yy yx ?? ?? ?? ?? ==? ?? ???? ?? 上两式相加： 22 2 2 22 0 uu v v xyxyyx ?? ? ? += ? = ?????? 即： u 满足拉普拉斯方程。同理， v 也满足此方程。 结论：解析函数的实部和虚部均为调和函数 (u、 v 为共轭调和函数 ) 五、保角映射及其应用 设 w=f(z)在 D内解析， D内的点 有 ， 和 是通过 的两条任意曲线，过 点切线夹 角为 。 由 w=f(z)的几何意义得到： 点与 W平面的 相对 应， 与 W平面曲线 对应，过点 切线夹 角为 则有：映射前后两切线的夹角是相等的 即 0 z 0)(' 0 ≠zf 2 L 1 L 0 z 0 z 12 θθθ ?= 0 z 0 w ' 2 ' 1 , LL 21 , LL 0 w ' 1 ' 2 ' θθθ ?= 'θθ = 定理： 若 f(z)在 D 内解析，则在 () 0fz ′ ≠ 的点处，由 w=f(z)实现的映射是保角的。 证明 ：分别沿曲线 及 取 来求 。由于导数值与 的方式无关，故 0 () 00 () () iargf z fz fz e ′ ′′ = 导数的几何意义 0 arg ( )fz ′ ? 表示映射前后切线的转动角 011 1 0 022 2 0 arg ( ) ( ) arg ( ) ( ) fz z L z fz z L z θθ θθ ′′ =? ′′ =? 沿趋于 沿趋于 所以 11 22 21 21 θθθθ θθθθ θθ ′′ ′′ ′ ?=???=??= 1 L 2 L 0 zz → )(' 0 zf 0→Δz