华中师范大学：数学物理方法：4

第四章 留数定理及其应用 已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值 有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公 式及其推论。 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的 积分值与函数的奇点的关系。 §4.1 留数定理 一、留数定理 若函数 f(z)在 内除有限个孤立奇点 外解析，则 L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。 ： f(z)在 的无心邻域 0 k zb R<? < 中的罗朗级数 的系数 () 1 k a ? ，称为 f(z)在 k zb= 的留数。 ： f(z)在它的第 k 个孤立奇点 的邻域内罗朗展开式 中 () 1 k zb ? ? 的系数。 D D k b ∑ ∫ = = m k k L bsfidzzf 1 )(Re2)( π D )(Re k bfs )( 1 k a ? k b 证明：在 内，以各个奇点 为圆心，作小圆周 12 ,.. k LL L 分 别包含各奇点 外边界线 L 与所有小圆周为边界构 成闭复通区域。 由柯西定理： 分别在各个 的无心邻域 0 k zb R<? < 中将 f(z)展开成罗朗 级数： () () ( ) kn nk n fz a z b ∞ =?∞ ∑ 1,2...km= 代入积分公式： D k b ? k b ∫ ∑ ∫ = L k L k dzzfdzzf )()( )(Re22 2)()( )( 1 1, )()( k k L nn n k n L n k k n bfsiia iadzbzadzzf kk ππ δπ =?= =?= ? ∞ ?∞= ∞ ?∞= ? ∫ ∑∑ ∫ (1) 方程左边：解析函数的积分值 ；方程右边：函数的奇点。 留数定理：将上述两者建立了一种关系 。 (2) 要计算解析函数的积分 ，关键：计算留数； (3) 留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物 ； (4) 是 L 所包围的 f(z)的所有奇点 ，而不是 f(z) 所有的奇点 。 ∑ ∫ = =? m k k L bsfidzzf 1 )(Re2)( π ),2,1( null=kb k 二、留数的计算方法 针对不同类型的奇点，有不同的计 算公式，见以下公式表。 证明 ： 1. f(z)以可去奇点为中心的无心邻域中的罗朗级数没有负幂项 0 () ( ) k k k fz a z b ∞ = =? ∑ 1 0a ? ∴= 2. f(z)以 m 阶极点为中心的无心邻域中的罗朗级数为 ： 1 1 01 1 () .. ( ) .. ()() mm aa a fz a az b zb zb zb ??+ ? ? =+ ++++?+ 怎样求 ？两边乘 得 ： 1 110 ()() (). () () m mm zb fz a a zb a zb azb ? ??+ ? ?=+?++?+? 两边对 z 求 (m-1)阶导数 ： 1? a m bz )( ? 1 2 10 1 1 !(1)! [( ) ( )] ( 1)! ( ) ( ) ... 1! 2! m m m dmm zb fz m a azb azb dz ? ? ? + ?=?+?+ ?+ 两边除以 (m-1)!后取 zb→ 的极限： 1 1 1 1 lim [( ) ( )] (1)! m m m zb d azbfz mdz ? ? ? → =? ? 3.令 m=1，得 4.有时 f(z)具有分式的形式： () () () z fz z ? ψ = (b是 f(z)的一阶极点，则是 () () z z ? ψ 的一阶零点 ) )()( lim 1 zfbza bz ?= → ? 式中 ()z? ， ()zψ 均在 b 点解析， () 0b? ≠ ，而 b 为 ()zψ 的 一阶零点 (即 ) 1 () lim( ) ( ) lim( ) () zb zb z azbfzzb z ? ψ ? →→ =? =? 由罗比达法则： 1 () ( ) '() () lim '( ) '( ) zb zzbz b a zb ??? ψψ ? → +? == 5.对本性奇点，没有简单的公式，要在 b 点的无心邻域将 f(z)展开成罗朗级数，求得 。 0)(',0)( ≠= bb ψψ 1? a 例：求 在其奇点的留数。 解： (1) 奇点为 (均为一阶奇点 ) (2) 计算 Res f(2i) 方法一： 方法二： 是 f(z)的一阶极点，且 满足： ，即 z=2i为 的一阶零点。 ziz zf )2( 1 )( ? = 0,2 21 == aia iziz izzfizifs iziz 2 1 )2( 1 )2()()2()2(Re limlim 22 = ? ?=?= →→ ia 2 1 = )( )( )2( 1 )( z z ziz zf ψ ? ? ? = zizzz )2()(,1)( ?== ψ? 01)2( ≠=i? )(zψ 2 (2 ) 1 (2 ) (2) 2 zi i Resf i ziz i ? = ∴= ?+ (3)计算 Resf(0) 方法一： 00 11 (0)lim( 0)()lim (2) 2 zz Resf z f z z ziz i →→ =? = =? ? 方法二： 是 f(z)的一阶极点，且 1() () (2) () z fz ziz z ? ψ =? ? 满足： ， z=0 为 的一阶零点。 0 (0) 1 1 (0) (0) 2 2 z Resf zz ii ? = ∴= =? ?+ ? zizzz )2()(,1)( ?== ψ? 0 2 =a 01)0( ≠=? )(zψ 例：求 sin () z fz z π = ? 在奇点处的留数。 解： (1)奇点在 z π= 是可去奇点。因为 limsin 0 z z π→ = 由罗比达法则： sin cos lim ( ) lim lim 1 1 zz z zz fz z ππ π π →→ → ===? ? 可见有确定的极限，是可去奇点。 (2)对可去奇点，无负幂项，故 (3)如果在 展开 f(z)，则： () () 21 0 sin sin sin 1 ( ) () (1) (2 1)! k k k zz fz zz z z k ππ π ππ π π + ∞ = ?? ? == =? =? ? ?? ? ? + ∑ 1 0a ? ?= 0)(Re =πfs π=z 以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留 数的概念可以推广到无穷远点的情形。 三、无穷远点的留数 若函数 f(z)在 L 的外部除 点外解析，则 其中 称为函数 f(z)在 点的留数， 是 f(z)在 点的无心邻域 的罗朗系数。 ∞ )(Re2)( ∞= ∫ fsidzzf L π 1 )(Re ? ?=∞ afs ∞ 1? a ∞ ∞<< zR 证明：将 f(z)以 ∞ 点为中心展开成罗朗级数： () k k k fz az ∞ =?∞ = ∑ (实际上： 相当于在 t=0 邻域内展开 ) 为计算 f(z)沿 L 的积分，以原点 o 为心作一个大圆 ， 则 f(z)在 L 与 包围的闭复通区域 内是解析的。 由柯西定理： t z 1 = R C D R C ∑ ∫∫∫ ∫∫ ∞ ?∞= ?=?=? =+ k C k k CL CL RR R dzzadzzfdzzf dzzfdzzf )()( 0)()( ,1 1 222() kk k a i ia iResfπδ π π ∞ ?? =?∞ =? =? = ∞ ∑ 注： (1) 与有限远处奇点的留数定义不同； (2) 奇点 是什么类型，是根据 f(z)在 的无 心邻域的罗朗级数有没有或有多少正幂项来划分的， 所以可去奇点、极点、本性奇点都有可能有含 的 项，也都可能没有含 的项。 1 )(Re ? ?=∞ afs ∞=z ∞ 1? z 1? z 例：求 () 1 z fz z = ? 的 ()Resf ∞ 。 解： () 1 z fz z = ? 在 1 z<<∞ 内解析，所以 z =∞ 为 ()fz 的孤立 奇点， ()fz 以 z =∞ 为展开中心，在 1 z<<∞ 的罗朗展开为 2 111 () 1 .. 1 1 1 z fz zzz z ===+++ ? ? 1 1C ? ?= 1 () 1Resf C ? ∞=? =? 四、关于留数和的定理 1.定理 ：若函数 f(z)除有限个孤立奇点外解析，则 f(z)在所有 奇点的留数之和为零： 证明：作很多小圆周 分别将有限远处奇点 包围起来，然后再作一个大回路 L 将所有 包围起来，则 改变 L 的积分方向并移项： 0)(Re)(Re =∞+ ∑ k k fsbfs null,, 21 LL null,, 21 bb k L ∫ ∑ ∫ = L k L k dzzfdzzf )()( 0)()( =+ ∫ ∑ ∫ L k L k dzzfdzzf 又： 无穷远处的留数与 f(z)沿 L积分的关系： ——求 处留数的另一种方法；可将求许多有限点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。 )(Re2)( k L bfsidzzf k ∫ = π ∑ ∑ ∫ =? kk k L bfsidzzf k )(Re2)( π )(Re2)( ∞= ∫ fsidzzf L π 0)(Re)(Re 0)(Re2)(Re2 =∞+? =+∞? ∑ ∑ fsbfs bfsifsi k k k k ππ ∞=z 2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。 例：求 2 () 1 z e fz z = ? 在各奇点的留数。 解：因 f(z)在 内解析，则 为 f(z)的孤立奇点 又 1z =±∵ 也是 f(z)的奇点 ()fz∴ 的奇点有： 1, 1,zz z==?=∞ (1) 2 1 (1) lim ( 1) 1112 z z eee Resf z z → =? == ?+ (2) 1 2 1 1 (1) lim( 1) 111 2 z z ee Resf z ze ? →? ?= + = =? ??? (3) 2 1 0 1 () ( ) 2 k k e Resf Resf b e = ? ∞=? =? ∑ ∞<< z1 ∞=z §4.2 几种典型实积分的计算 留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分 原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联 系起来。 把实变定积分联系于复变回路积分的要点： 1.定积分 () b a fxdx ∫ 的积分区间 [a,b]可以看作是复数 平面上的实轴上的一段 ； 1 L 2. 利用自变量的变换把 变换成某个新的复数平面的 回路，这样就可以应用留数定理了。 或者另外补上一段曲线 ，使 合成回路 L， L 包围 区域 D。把 f(x)解析延拓到 （往往： () ()fx fz→ ） ，再 沿 L 积分。 上式左边积分：利用留数定理求 上式又边第一个积分：要求的 上式又边第二个积分：比较容易计算 (往往证明为 0) 1 L 2 L 21 , LL D ∫∫∫ += 21 )()()( LLL dzzfdxxfdzzf 一、 2 0 (cos ,sin )fd π θθθ ∫ 型积分 1.特征： (1)被积函数是 cos ,sinθθ 的有理实函数； (2)积分区间为 [] 0, 2π ，若不是，要先变为 [] 0, 2π 。 2.方法： (1)令 i ze θ = ——将自变量作变换： zθ → ，把被积 函数变为复变函数 i dz dz de izd d iz θ θθ==?= ：沿区间 的积分变成沿单位圆的回路 积分 ) 1 ( 2 1 )( 2 1 sin) 1 ( 2 1 )( 2 1 cos z zee iz zee iiii ?=?=+=+= ?? θθθθ θθ 1]2,0[ =→ zπ ]2,0[ π (2)利用留数定理 设 于是： 例： P52 [例 1] [例 2] zi dz i zzzz fdfI z ∫∫ = ?? ?+ == 1 11 2 0 ) 2 , 2 ()sin,(cos θθθ π zii zzzz fzg bgsidzzgI k k z 1 ) 2 , 2 ()( )(Re2)( 11 1 ?? = ?+ = == ∑ ∫ π 二、 ()fxdx ∞ ?∞ ∫ 型积分 无穷积分 ()Ifxdx ∞ ?∞ = ∫ 实际上应理解为： 2 112 , lim ( ) R RRR Ifxd ?→∞ = ∫ （如果极限存在） 积分主值：有时 2 112 , lim ( ) R RRR Ifxd ?→∞ = ∫ 当上下限分别趋于 ∞ 时，积 分的极限值不存在，但是当 12 RR=→∞ 时极限存在，这一极 限值称为积分主值，用 .. () lim () R RR VP fxdx fxdx ∞ ?∞ ?→∞ = ∫∫表示。 方法： 1.把实变数 x 换成复变数 z，积分 ()Ifxdx ∞ ?∞ = ∫ 是 z 平 面上沿实轴从 到 的积分的极限值。对 f(z)有以 下假设（或特征） ： (1) f(z)在上半平面除了有限个孤立奇点外处处解析，在实轴 上没有奇点； (2)当 z 在上平面及实轴上趋于 时 ,z f(z)一致地趋于零。 2. 闭合回路 L 的构成：沿实轴从 -R 到 R 的直线（涉及到积 分主值积分上下限）和以 0z = 为中心，半径等于 R 的 半圆 。 的原因： (1) 时， z f(z)一致地趋于零； (2)可把 f(z)在上半平面所有的奇点（只有有限个）都包围在 L 内。 2 R 1 R? ∞ )( ∞→RC R ∞→R ∞→R 留数定理： 又 1 () 2 ( ) lim () R n k CR k fxdx i Resfb fzdzπ ∞ ?∞ →∞ = ?= ? ∑ ∫∫ 关键：计算 lim ( ) R C R fzdz →∞ ∫ ∑ ∫ = = n k k L bsfidzzf 1 )(Re2)( π ∫∫ ∫∫∫ ∞→ ∞ ∞? ? ∞→ += += R R C R R RC R L dzzfdxxf dzzfdxxfdzzf )()( ])()([)( lim lim () () () max () RR R R CC C C dz dz fzdz fz dz zfz zfz zz ≤= ≤ ∫∫ ∫ ∫ ∵ max ( ) max ( ) 0 R zf z zf z R π π==→ 0)( ??→? ∞→R zzf∵ lim ( ) 0 R C R fzdz →∞ ∴= ∫ 1 () 2 ( ) n k k fxdx i Resfbπ ∞ ?∞ = ?= ∑ ∫ 说明： (1)设 f(z)在上半平面有无穷个孤立奇点 ，此时， 如果存在曲线序列 ，每一 都与实轴上从 到 的直线段构成一闭合回路 ，在 上没有 f(z)的奇点，又 当 时， 上的点 z 的模 和 都趋于 ，并且使 得 ，则 (2) f(z)在实轴上没有奇点这一限制在一定条件下可以放宽。 例题：见 P53[例 3][例 4] nullnull n bbb 21 , ∞→m }{ m C m C m R? m R m L m L m C ∞ z m R 0)( lim = ∫ ∞→ m C m dzzf ∑ ∫ ∞ = ∞ ∞? = 1 )(Re2)( k k bsfidxxf π 三、 型积分 (这类积分常见于傅立叶变换中 ) () ()cos ()sin imx fxe dx fx mxdx i fx mxdx ∞∞ ∞ ?∞ ?∞ ?∞ =+ ∫∫ ∫ 注 : () imx fxe dx ∞ ?∞ ∫ 理解为它的积分主值 . 对 f(z)有以下假设 : 1. f(z)在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析 ,在实轴上没 有奇点； 2.在 z 在上半平面及实轴上趋于时 , f(z)一致地趋于零。 )0()( > ∫ ∞ ∞? mdxexf imx ∞ 闭合回路 L 的构成 : 原积分路线上增加半圆 C R : F(z)在上半平面的孤立奇点。 在以上推导中，还需 。 （实际上是求在引入曲线 C R 上的积分） )( ∞→R ])()([)(Re2 )()( ])()([)( 1 lim imz k k LL imz R RC imzimx R imx ezfzFbFsi dzzFdzezf dzezfdxexfdxexf R ===== == += ∑ ∫∫ ∫∫∫ ∞ = ? ∞→ ∞ ∞? π 留数定理 k b ∫ = ∞→ R C imz R dzezf 0)(lim 约当引理： 若 z 在上半平面及实轴上趋于 时， f(z)一致地趋 于零，则 其中 m>0， C R 是以 z=0 为圆心， R 为半径的位于上半 平面的半圆。 证明： 1.令 sin ()g θ θ θ = 因为在 (0, ],cos 0, 0. 2 tg π θθ>> 所以 22 cos sin cos '( ) ( )gtg θθ θ θ θθ ? ==? 设 ()Gtgθθ θ=? 0, 0 (0) 0tg Gθθ==?= ∞ ∫ = ∞→ R C imz R dzezf 0)(lim 22 2 cos sin 1 cos 1 '( ) 1 1 0 cos cos cos G θθ θ θ +? =? =? = < (0, ] 2 π θ∈ 这说明 tgθθ? 单调递减，且 G(0)=0 0'()0tg gθθ θ∴? <? < 即 ()g θ 在 (0, ] 2 π 是递减函数，则 sin 2 2 () ( ) 2 2 gg π π θ π π ≥== 即 sin 2 2 () sing θθ θθ θπ π =≥?≥ 2.令 Re i z θ = Re i dz id θ θ= (半圆上 ) (cos sin ) 0 () (Re) Re imz i imR i i CR f ze dz f e id π θθθθ θ + = ∫∫ cos sin 0 (Re ) R e iimR mR i fee d π θθθθ θ ? ≤ ∫ sin 0 max (Re ) imR fRed π θθ θ ? ≤ ∫ ：实数，且 (逆时针 ) 对于积分 sin sin sin 2 00 2 mR mR mR ed ed ed π ππ θθθ π ??? =+ ∫∫∫ θθ dd = θ 0>θd 0 sin sin( ) 2 0 2 () mR mR ed e d π ?πθ θπ? π θ? =? ??? ???→ + ? ∫∫ sin sin 22 00 mR mR ed ed ππ θ??? =+ ∫∫ sin sin 22 00 mR mR ed ed ππ θθ?? =+ ∫∫ 2 sin 22 00 mR mR ed ed θππ θ π θθ ? ? =≤ ∫∫ 2 2 0 2(1) 2 mR mR e e mR mR π θ π π θ π ? ? == ? () max (Re) (1 ) 0 imz i mR CR fze dz f e m θ π ? ?≤ → ∫ lim ( ) 0 imz CR R fze dz →∞ ∴= ∫ 1 () 2 ( ) n imx k k fxe dx i ResFbπ ∞ ?∞ = ?= ∑ ∫ (() () ) imz Fz f ze= 由上式，可得以下几个公式： 1 ()cos Re2 ( ) n k k fx mxdx i ResFbπ ∞ ?∞ = ?? = ?? ?? ∑ ∫ 1 ()sin Im2 ( ) n k k fx mxdx i ResFbπ ∞ ?∞ = ?? = ?? ?? ∑ ∫ 若 f(x)为偶函数，则 0 1 2()cos 02 () n k k fx mxdx i ResFbπ ∞ = += ∑ ∫ 0 1 ()cos ( ) n k k fx mxdx i ResFbπ ∞ = ?= ∑ ∫ 若 f(x)为奇函数，则 0 1 02 ()sin 2 () n k k ifx mxdx iResFbπ ∞ = += ∑ ∫ 0 1 ()sin ( ) n k k fx mxdx ResFbπ ∞ = ?= ∑ ∫ 例：求 22 0 cos mx Idx xa ∞ = + ∫ (0,0)ma>> 解：作函数 22 1 ()fz za = + () () imz Fz f ze= f(z)的奇点（在上半平面） ： ()zia fz=? 在上半平面有一个 孤立奇点，且实轴上无奇点， f(z)满足： 22 1 lim 0 z za →∞ = + F(z)的留数： 在上半平面有一阶极点 z=ia，在该点的留数为： 22 () lim( ) 2 imz ma zia ee ResF ia z ia za ai ? → =? = + f(x)为偶函数，则 22 0 cos 22 ma ma mx e dx i e xa ai a π π ? ∞ ? == + ∫ 解题步骤可从定理的证明中归纳出。 imz ezfzF )()( = 四、实轴上有一阶极点的无穷积分 问题：当被积函数在积分曲线（如在实轴上）有奇点 时，则不符合前面所列举的条件，上面的计算方法不完全 适用。这时 () b a fxdx ∫ （奇点在 a, b 之间）属广义积分。 复习：广义积分 考虑实变函数的积分 () b a Ifxdx= ∫ 其中 c 点 (a<c<b)是 f(x)的奇点。 若 I 不存在，但 都存在，则称 I 的广义积分存在，且等于 00 lim ( ) lim ( ) cb ac fxdx fxdx ε ηεη ? +→→ + ∫∫ 若上式中的极限至少有一个不存在，那么 I 的广义积分发散。 然而，如果 0 lim ( ) ( ) cb ac fxdx fxdx δ δδ ? +→ ?? + ?? ?? ∫∫ （即 0εη=→ ，条件放宽了） 存在，则称 I 在柯西主值的意义下存在，通常以符号 .. () b a VP f xdx ∫ 表示积分 的柯西主值，简称积分主值，即 0 .. () lim () () bcb aac VP fxdx fxdx fxdx δ δδ ? +→ ?? =+ ?? ?? ∫∫∫ )0,()(lim)(lim 00 → ∫∫ +→ ? → 独立地和 ηε ηη ε ε b c c a dxxfdxxf ∫ b a dxxf )( 对于无穷积分： 设实轴上的点 b 是 f(z)的一阶极点，若极限 1 1 0 lim ( ) b fxdx ε ε ? ?∞→ ∫ 及 22 0 lim ( ) b fxdx εε ∞ +→ ∫ 存在，则 1 212 00 () lim () lim () b b fxdx fxdx fxdx ε εεε ∞?∞ ?∞ ?∞ +→→ =+ ∫∫ ∫ 12 (, 0)εε →独立地 (I) 若上式的极限至少一个不存在，但 0 lim ( ) ( ) b b fxdx fxdx ε εε ?∞ ?∞ +→ ?? + ?? ?? ∫∫ 存在，则此极限称为 ()fxdx ∞ ?∞ ∫ 的积分主值，即 0 .. () lim () () b b VP fxdx fxdx fxdx ε εε ∞?∞ ?∞ ?∞ +→ ?? =+ ?? ?? ∫∫∫ (II) ])()([lim)(.. 0 ∫∫∫ ∞ + ? ∞?→ ∞ ∞? += ε ε ε b b dxxfdxxfdxxfPV 若 (I)式的极限存在 ,则 (I)式等于 (II)式，可略去 V. P.。当然有 (II) 式的极限存在 ,而 (I)式的极限不存在 ,不能略去 V. P.。 对 f(z)的假设：与第二 ,第三种类型积分相同 ,除了在实轴上有一 阶极点 b 外。 积分回路 :原积分路径上增加半圆 C R 及半圆 已证明 : lim ( ) 0 R CR fzdz →∞ = ∫ 要证明 : 0 lim ( ) ( ) C fzdz iResfb ε ε π → =? ∫ (b 是 f(z)在实轴上的一阶极点 ) )( ∞→R )0( →ε ε C 证明： 因为 b 是 f(z)在实轴上的一阶极点 ，在 b 的无心区域中 ， f(z)的罗朗展开为 1 () ( ) k k k fz a z b ∞ =? ∑ ，两边沿 积分， 并令 ， 有 ： 00 0 11 lim ( ) lim ( ) lim ( ) kk kk CC C f z dz a z b dz a z b dz εε ε ∞∞ →→ → =? =? =?=? ∑∑ ∫∫ ∫ 令 ， 则 ，代入上式 ： 00 1(1) 00 0 lim ( ) lim lim kkikikik C zbdz eied i e d ε θθ θ ππεε ε εεθ ε θ ++ →→ → ?= = ∫∫ ∫ ε C 0→ε θ ε i ebz =? θε θ deidz i = 当 k=-1 时： 0 11 ( 11) 00 lim lim ( ) i Ii ed i i θ π εε εθππ ?+ ?+ →→ ==?= ∫ 当 k>-1，即 k+1>0 时： 0 1(1) 1 1 00 1 lim lim 1 ( 1) 0 (1) kik k k ied i ik θ πεε εθε ++ + + →→ ?? =??= ?? + ∫ ,1 1 0 1 lim ( ) ( ) ( ) kk C k f z dz a i ia iResf b ε ε πδ π π ∞ ? → =? ?=?==? ∑ ∫ 对于第二类型积分在实轴上外加一阶极点 b 时，有： 1 2()0() () n k k i Resf b f x dx iResf bππ ∞ ?∞ = ?=+? ∑ ∫ 1 () 2 ( ) () n k k f x dx i Resf b iResf bππ ∞ ?∞ = ?= + ∑ ∫ ∫ ∫∫∫∫ → + ? ? → ∞→∞→ + ++= ε ε ε ε ε C R bL b RRCR dzzf dxxfdxxfdzzfdzzf R )(lim ])()([lim)(lim)( 0 0 同理，第三类型积分在实轴上外加一阶极点 b时，有 其中 ， 为 f(z)在上半平面的孤立奇点。 说明： (1) 如果实轴上有 n个一阶极点，则引入 n个无限小的 半圆，计算方法相同； (2) 实轴上出现高阶极点或本性奇点，略去不讲。 例： P57 [例 6] )(Re)(Re2)( 1 bFsibFsidxexf n k k imx ππ += ∑ ∫ = ∞ ∞? imz ezfzF )()( = k b §4.3 物理学中的几个实积分 利用留数定理计算实变函数积分的四种典型方法要求被积 函数满足一定的条件。实际中遇到的积分，被积函数又往往不 满足所需条件。此时利用留数定理计算积分的基本思想还是一 样的： 1. 选择一个辅助函数和一条闭合回路（增加路径上的积分要么 证明为零，要么容易计算） ； 2. 定积分化为沿闭合回路的积分； 3. 利用留数定理； 4.如遇奇点，可绕过奇点。 例 1.计算费涅尔积分： 22 00 cos , sinxdx xdx ∞∞ ∫∫ 说明： (1)已知 2 0 2 x edx π ∞ ? = ∫ ； (2)在光学中要用到费涅尔积分。 解： 1.选择辅助函数 2 22 () cos sin iz fz e z i z== + 2.闭合回路： (1)采用第二类型积分的半圆型回路，则在半圆 C R 上， Re i z θ = 故 ∫ ∫∫ ? = = π θθθ π θ θ θ θ 0 2sin2cos 0 Re Re 22 222 die diedze iRRi ieRi C zi i R 当 R →∞ 时，从 2 π 到 π （此时 2 sin 2 0 sin 2 0Rθθ<?? > ）这一 部分的积分是不收敛的。这样不能采取半圆形积分。 （ 2） 1/4 圆形回路： [0, ] 2 π θ∈ ，此时 22 22 /2 /2 cos2 sin2 cos2 sin2 00 R iz iR R i iR R i C edz e Reid e Reid ππ θθθ θθθ θ θ ?? =≤ ∫∫ ∫ 22 2 2 /2 /2 /2 cos2 sin 2 sin 2 sin 2 0 iR R i R R ee Red eRd eRd π θθθ θ θ θ θθ ??? === ∫ 2 /4 2 sin 1/2 0 2 R R ed π θ? ? θ? ? = ? = ??? ?→ ←??? ? ∫ 令 有 P54： sin sin 2 2 2 2 4 sin 4 π ?? ? π ?π π ≥=?≥ 2 2 2 2 22 2 /4 /4 sin 00 1 22 42 R R R RR e ed e d R ? ππ ? π π ?? ? ? ? ? ?≤ = ∫∫ 当 R →∞ 时， 2 2 2 1 0 42 R e R π ? ? → 。所以， 2 lim 0 R iz C R edz →∞ = ∫ 在 1/4 圆形回路内， 2 () iz fz e= 在此回路无奇点，则有： 22 00 cos sin RR xdx xdx?= ∫∫ 0)( 0 )( 0 2222 =++= ∫∫∫∫ R iyi C zi L R xizi iydedzedxedze R ∫∫∫∫∫ ?==+ ? RRR iy RR dyyidyyidyeidxxidxx 0 22 0 2 00 2 0 2 sincossincos 2 R →∞ ： 22 00 cos sinxdx xdx ∞∞ = ∫∫ (不能计算积分值 ) （ 3） /4π 扇形回路：依然有 2 lim 0 R iz CR edz →∞ = ∫ 又：沿辐角为 /4π 的直线上的积分是 1 4 i zre π = 1 22 4 11 00 () 44 i ii ire r RR e e dr e e dr π ππ ? = ∫∫ 在扇形回路内 2 iz e 没有奇点，则有： 令 R →∞ ，得： 22 11 44 00 2 ii ix r edx e e dr e ππ π ∞∞ ? == ∫∫ 0 0 4 0 2222 =++= ∫∫∫∫ ? R r i C zi L R xizi dreedzedxedze R π 22 00 22 cos sin ( ) 222 xdx i xdx i π ∞∞ ?+=+ ∫∫ 22 00 2 cos sin 4 xdx xdx π ∞∞ ?== ∫∫ 例 2：计算积分 2 cos x Ie xd α β ∞ ? ?∞ = ∫ () 0, 0αβ>> 说明： (1)已知 2 x edx α π α ∞ ? ?∞ = ∫ (2)在量子力学中要用到此积分。 解： 1.选择辅助函数 2 () z fz e α? = () () iz Fz f ze β = 若选第三类型的积分回路，则不满足 lim ( ) 0 R fz →∞ = 的条件。 例：沿 y 轴向上， 22 () lim lim 0 iy y RR ee αα? →∞ →∞ =≠ 观察被积函数，是指数函数 2 x e α? 与余弦函数 cos xβ 的乘积，而 三角函数可用指数函数表示，所以先将积分变形： 2 1 () 2 xix ix Ieeedx αβ β ∞ ?? ?∞ =+ ∫ 对于 2222 () xyxix yiy yiy xix e e dx e e dy e e dy e e dx αβ αβ αβ αβ ∞?∞∞ ?=?? ? ? ? ?∞ ∞ ?∞ ?∞ ???→ ? = = ∫∫∫∫ 令 2 2 22 () 42 1 2 2 xi xix xix I e e dx e dx e e dx ββ α αβ αβ αα ??+∞∞ ?? ?? ?∞ ?∞ ?∞ ?=× = = ∫∫ ∫ （ 2）积分回路： 2 () z fz e α? =? 实轴上 2 () x fx e α? =? 已知积分 观察 I 中的被积函数 2 () 2 xi e β α α ?+ 中 2 xi β α + 是平行于实轴的直线， 于是选择如图所示的回路，选择沿 x 轴的积分已知，沿平行 x 轴 的积分求出即可得 I，关键在于求平行于 y 轴的两个积分。 (3)利用留数定理： f(z)在回路内没有奇点，所以 令 R →∞ ，上式中的第一项为： 2 x edx α π α ∞ ? ?∞ = ∫ 第三项与 I 的关系为： 2 2 () 24 lim xiR R R edxeI ββ α αα ?+? →∞ =? ∫ )(0)( )( 0 2 )( ) 2 ( 2 0 )( 2 222 aiyde dxeiydedxedze iyR R R ix iyR L R R xz =+ ++= ∫ ∫∫∫∫ +?? ? +? +? ? ?? α β α α β α α β ααα 对于第二项： 222 () 22 00 lim lim Riy R y RR eidye edy ββ ααα?+ ? →∞ →∞ ≤ ∫∫ 而 2 2 0 y edy β α α ∫ 是有界的，又当 R →∞ 时 2 0 R e α? → 所以 同理有： 2 0 () 2 lim 0 Riy R eidy α β α ??+ →∞ = ∫ 令 (a)式中的 R 趋于无穷大，并将以上结果代入得： 2 2 2 44 0cos x eI I e xdx e ββ α αα ππ β ?∞ ? ?∞ ?=?= = ∫ 又 2 22 () () 2 4 xi xi x Ie e dx e dx e dx ββ αα β α α π α ?+ ?+ ? ∞∞ ∞ ? ?∞ ?∞ ?∞ =?= ∫∫ ∫ 0lim 2 0 )( = ∫ +? ∞→ α β α idye iyR R 例 3：计算积分 1 x x e dx e α ∞ ?∞ + ∫ (1)o α<< 解： 1.选择辅助函数： () 1 z z e fz e α = + f(z)在上半平面有无限多个极点： (2 1)zik π=+ 0,1...k = 这样 f(z)不符合第二类型积分的要求，不能用半圆形的回路。 2.积分回路：要求使回路不包围 f(z)的无限多个极点。 选择： x 轴上从- R 到 R 的直线，平行 x 轴的直线： ， 两条平行于 y 轴的直线，四条直线构成一个闭合回路。 ix π2+ 3.利用留数定理： f(z)在 L 内只有一个一阶极点： ziπ= ，则 令 R →∞ ： () (2) 2 2 lim 1 11 1 xxi x RR i R ee e dx dx e dx ααπ α απ π + ?∞ + ??∞→∞ ?? +=? ?? ++ + ?? ∫∫ ∫ απ π α π πα π αα πππ i iyR iyR R R ix ix iyR iyR L R R x x eiifsi iyd e e dx e e iyd e e dx e e dzzf 2)(Re2 )( 1 1 )( 11 )( 0 2 )( 2 )2( 2 0 )( ?== + + + + + + + = ∫ ∫∫∫∫ +? +? ? + + + + ? 第 2 项： () 22 2 2 00 0 0 () 11 11 Riy R Riy R Riy R Riy Riy ee e ee d iy i dy dy dy αα α α α ππ π π + + ++ ≤=≤ +? ∫∫ ∫ ∫ 第 4 项： () 00 0 22 2 () 2 11 11 Riy Riy R R Riy R Riy Riy ee eee diy idy dy αα ααα ππ π π ? ?+ ? ? ?+ ? ?+ ?+ ≤=≤ +? ++ ∫∫ ∫ 0)( 1 lim022~ 2 0 )( 10 )1( = + ?→= ∫ + + ∞→ ∞→ << ? π α α α α ππ iyd e e e e e iyR iyR R R R R 0)( 1 lim02 1 ~ 2 0 )( 10 = + ?→ ∫ +? +? ∞→ ∞→ << ? π α α α π iyd e ee iyR iyR R R R 于是： 2 22 11 2 xi iiii eie dx eeeeee sh i ααπ απ απαπ απ απ ππππ απ ∞ ?? ?∞ ? ?==== ?+? ∫ 例 4：计算积分 2 2 sin x dx x ∞ ?∞ ∫ ——在量子力学中用到 解： 1.选择辅助函数： 若选 2 2 sin () z fz z = ，则当 z →∞ ， 2 sin () z zf z z = 不一致地趋于 0。 例 απ α απ π i x x i eidx e e e 2 1 )1( 2 ?= + ? ∫ ∞ ∞? 沿 x 方向 2 sin 0 x x → (当 x 趋于无穷大时 )；沿 y 方向 22 () () 2 2 sin sin 1 1 1 1 [( )] [ ( )] 24 iiy iiy y y ziy ee ee ziyiyi iy ?? == ? =?? (当 y 趋于无穷大时 ) 作变换： 2 222 22 2 sin 1 1 1 () (2) 24 ix ix ix ix xee dx dx e e dx xxi x ? ∞∞ ∞ ? ?∞ ?∞ ?∞ ? ==?+ ∫∫ ∫ 可证明： 22 22 2 2 11 sin1 2 ix ix ix xe e dx e dx dx dx xx x x ∞∞ ∞∞ ? ?∞ ?∞ ?∞ ?∞ ? =?= ∫∫ ∫∫ 0 2 4 1 ])( 4 1 [ 1 22 2 → ?+ ?=?? ? ? y ee i ee iy yy yy 再选辅助函数： 2 2 1 () 2 iz e fz z ? = 奇点： z=0（一阶） 2 2 1 lim ( ) lim 0 2 iz zz e zf z z →∞ →∞ ? == 2.积分回路：采用第四类型的回路 3.利用留数定理：在 L 内 f(z)解析 2 2 sin (0) x IdiResf x π ∞ ?∞ ?= = ∫ 又 2 2 1 (0) lim( 0) 2 iz z e Resf z i z →∞ ? =? =? ()Iiiππ?= ?= ∫∫ ∞ ∞? =?= L fsidx x x dzzf 0)0(Re sin )( 2 2 π