华中师范大学：数学物理方法：2

第二章 复变函数的积分 § 2.1 复变函数的积分 —复平面上的线积 分 一、复变函数积分的定义 在微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要 方法。 在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的 重要方法和解决实际问题的有力工具。 与实数函数的积分相似，复变函数的积分定义为和的极限。 1． 定义： (1) 设 L 为复平面上由A 到 B 的一条光滑的曲线， w=f(z)在L 上有定义； (2)将L任意分成n段， 为第k段 上的任意一点; (3)当 ，且 时，若和式的极限 存在，并且极限值与 和 的选取方式无关，则称它 为f(z)沿 L从 A 到 B的积分，记作： max 0 1 () lim ( ) n kk z k L fzdz f zζ Δ→ = =Δ ∑ ∫ 积分存在的条件： （1） 积分曲线 L 是分段光滑的曲线； （2） 被积函数 f(z)是积分曲线上的连续函数。 k ξ ],[ 1 kk zz ? ∞→n 0max →Δ k z ∑ = →Δ Δ n k kk z zf k 1 0max )( lim ξ k zΔ k ξ 2．复变函数积分的计算 —分解为实变函数的积分的计算 方法一 ： f(z)=u+iv dz=dx+idy () ( )( ) ( ) ( ) LL L L f z dz u iv dx idy udx vdy i vdx udy=+ + = ? + + ∫∫ ∫ ∫ ——复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分 方法二 ：若曲线 L 用参数方程 z=z(t)表示 ，则 ()dz z t dt ′ = () [()] () L fzdz fztztdt β α ′ = ∫∫ βα ≤≤ t 1. AB BA L dz z z=? ∫ 2. () () AB BA LL fzdz fzdz=? ∫∫ 3. ( ) ( ) LL kf z dz k f z dz= ∫∫ 12 1 2 4.[ () ()] () () L fz fzdz fzdz fzdz±=± ∫ 12 1 2 5. () () () LL L L fzdz fzdz fzdz + =+ ∫∫∫ 6. ( ) ( ) LL f z dz f z dz≤ ∫∫ k：复常数 二、复变函数积分的性质 （可由实变函数积分性质得到） 证明：三角不等式 12 1 2 zz z z+≤+ 推广为： 11 nn kk kk zz == ≤ ∑∑ max 0 max 0 () lim ( ) lim ( ) () kk kk zz L L f zdz f z f z fzdzζζ Δ→ Δ→ =Δ≥Δ= ∫∫ 7．若 ()fz 在曲线 L 上的最大值为 M，曲线 L 的长度为 S，则 () L fzdz MS≤ ∫ 证明： () () L LL fzdz fz dz M dz MS≤≤≤ ∫∫ ∫ 例：计算 Re L zdz ∫ 01 . 2. 0 1 1 i Li →+ →→+ 1.L取为由 的直线 取为由 的折线 解： 1.直线方程 y=x 的参数方程为 ? ? ? ? ? ≤≤ = = 10 t ty tx 则有： z=x+iy=(1+i)t 和 dz=(1+i)dt 11 00 1 Re( ) (1 ) (1 ) 2 L i zdz t idt i tdt + =+=+ = ∫∫ ∫ 11 1 0 01 , 0,0 1, , 1 Re 2 LL xty t z t dz dt zdz tdt tdt →==≤ == === ∫∫∫ 由 的直线方程 则 2 12 1 2 1 0 ,01, 1, Re 1 Re Re Re Re 2 L LLL LL ixytt zitdzidt zdz idt i zdz zdz zdz zdz i + →+ = = ≤≤ =+ = == ==+=+ ∫∫ ∫∫∫∫ 由1 的直线方程 则 结论：对于函数 Re(z), 积分 与路径有关 dzz L )(Re ∫ 例：计算 24 2 1 i i zdz + + ∫ 1.沿抛物线 2 yx= 2.沿连接点 124ii++到的直线段 3. 12 24ii i++ +沿 到 然后再到 的折线 解 :1．抛物线参数方程为 2 2 , ()(12) xtyt dz d t it i t dt == ≤≤ =+=+ 2 其中1 t 2 则z=x+iy=t+it 24 2 2 2 222 44324 11 1 1 ()(12)[()] [22()] i i zdz tit itdt tt tdtit tttdt + + =+ + = ?? + + ? ∫∫ ∫ ∫ ２． 24 2 22 11 124 32 32 12 (32) [(32)](13) 86 [(32)](13) 6 3 i i ii yx xty t tzxiytit dz d t i t i dt zdz t i t idt i + + ++ =? ==? ≤≤ =+ =+ ? =+?=+ =+? + =?? ∫∫ 到 的直线方程为： 参数方程为： 和 则 ３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; ≤≤1t2 则 22 2 2 11 1 1 , 4 () (1) 2 3 3 i i ztidzdt z dz t i dt t dt i tdt i + + =+ = =+ = ?+ =+ ∫∫ ∫ ∫ (2)从 2+i 到 4+2i 线段的方程 x=2; y=t; 14t≤≤ 则 ;z x iy dz idt=+ = 24 4 4 4 22 2 11 11 (2 ) 4 (4 ) 30 9 i i z dz it idt i tidt i t dt i + + =+ = +? =?? ∫∫ ∫∫ 12 486 (3)(309) 6 33 LLL iii=+ = + +?? =? ? ∫∫∫ 结论：对于函数 沿着不同的路径积分相同 2 )( zzf = § 2.2 柯西定理 复习：二元函数积分的格林公式 实变线积分 L Pdx Qdy+ ∫ 在单连通区域 D 内与路径无关 的充要条件： P(x,y)、 Q(x,y)在 D 内的偏导数 PQ PQ yx yx ?? ?? = ?? ?? 和 连续，并且 由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分： 22 2 11 1 () ( ) ) zz z zz z f z dz udx vdy i vdx udy=?++ ∫∫ ∫ 因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件。 一、单通区域的柯西定理 定理 1. 若 f(z)在单通区域 D 内解析，则 f(z)在 D 内 的积分与路径无关。 证明： 22 2 11 1 () ( ) ( ) zz z zz z f z dz udx vdy i vdx udy=?++ ∫∫ ∫ 由 () , , , uuvv fz xyxy ???? ? ???? 解析 存在且连续，并且 满足 C-R 条件 积分与路经无关要求： (1) () ,,, uvvu yxyx ??? ?? ???? 连续（已满足） (2) 第一个积分要求： ()uvv yx x ??? ? ==? ?? ? 第二个积分要求： vu yx ?? = ?? 此两等式正是 C-R 条件 两个实变线积分与路径无关，这样 2 1 () z z fzdz ∫ 与路径无关 ? 定理 2——定理 1 的另一种形式 若 f(z)在单通区域 D 内解析，则 f(z)在 D 内沿任意闭曲 线的积分为零。 证明： 在 D 内任做一闭曲线。在闭曲线上任取两点 两部分和将闭曲线分成和 2121 LLzz 12 2 21 2 () () () () () () 0 L LL LL L fzdz fzdz fzdz fzdz fzdz fzdz ?? = =? ? + = ∫∫ ∫∫∫∫ 定积分性质: 和 构成闭合曲线 L，所以 1 L ? 2 L ∫ = L dzzf 0)( 定理 3 . 若 f(z)在闭单通区域 中解析，则 f(z)沿 的边界线 L的 积分为零。 证明略。 二、复通区域的柯西定理 定理 4. 若 f(z)在闭复通区域 中解析，则 f(z)沿所有边界线正 方向积分之和为零。 正方向：沿边界线的正方向环绕时， 保持在左边。 D D D D 证明：作割线将闭复通区域变成闭单通区域。闭单通区域 的边界线 L由 和 组成，则 又 所以 推广：对于 n连通区域，有 n条独立的边界线，则 21 ,', LLL ''L ∫ = L dzzf 0)( ∫∫∫∫∫ +++= ''' 21 LLLLL ∫∫ ?= ''' LL ∫∫ =+ 12 0)()( LL dzzfdzzf ∫ ∑ ∫ =+ = 1 0)()( 2 L n k L k dzzfdzzf 定理 5——定理 4 另外一种形式 若 f(z)在闭复通区域 中解析，则 f(z)沿外边界线 (逆 时针方向 )的积分等于各内边界线的积分之和。 证明：由定理 4 得： 推论：在 f(z)的解析区域内，当积分回路连续变形时，积分 值不变。 连续变形——闭合回路变形时不能跨过 f(z)不解析的区域。 证明：设积分回路 L 1 连续变形为 L 2 ， f(z)在 L 1 ,L 2 及它们之 间的区域解析，则可把 L 1 和 L 2 分别看作闭复通区 域的内外边界线，所以 D ∑ ∫∫ ∑ ∫ == =?= n k LL n k L kk dzzfdzzfdzzf 22 )()()( 1 ∫∫∫ =?= 221 )()()( LLL dzzfdzzfdzzf 例：试证 证： 1 ()fz za = ? 的奇点为： z=a 1. a 在 L 外， f(z)在包括 L 的闭区域内解析，由单通区域 柯西定理 ? ? ? = ? ∫ iaz dz L π2 0 (a在 L之外 ) (a在 L之内 ) 0= ? ∫ L az dz 2. a 在 L 之内 点 a 是 1 ()fz za = ? 的奇点，现以 a 为圆心， ε 为半径作一小圆 L’, L’可认为是由 L 连续变形而来，则 在任意小圆 L’上， za ε?= ，即小圆 L’的方程为： ，则 i dz i e d θ εθ= ，于是： ∫∫ ? = ? 'LL az dz az dz θ ε i eaz =? idi e dei az dz i i L πθ ε θε ππ θ θ 2 2 0 2 0' === ? ∫∫∫ 例：计算 解：外边界线为 L： 在 L 内，第一个积分有奇点 z=0，第二个积分有奇点 z=1， 由上例可知： 2328Ii iiπππ=+×= ∫ = ? ? = 2 )1( 14 z dz zz z I 2=z ∫∫ ∫ ∫ == = = ? += ? += ? ? = 22 2 2 1 3 ) 1 31 ( )1( 14 zz z z z dz z dz dz zz dz zz z I 三、解析函数的定积分公式 在单通区域内，解析函数的积分值只与端点 有关而与路径无关，可定义一个以终点 z 为自变 量的单值函数： 0 () () z z Fz f dξξ= ∫ 定理： 设 f(z)是单通区域 D 内的解析函数， 是 D 的内点，则 是 D 内的解析函数，且 F’(z)=f(z) F(z)是 f(z)的原函数： F’(z)=f(z) 定理证明略。 0 z ξξ dfzF z z ∫ = 0 )()( 由于 ()Fz 是 ()fz 的一个原函数， 所以 ()Fz C+ 构成原函数族， 则有： 0 () () z z fd FzCξξ=+ ∫ 上式中令 ，则有 从而 0 0 () () ( ) z z f d Fz Fzξξ=? ∫ ——形式上与牛顿——莱布尼兹公式相似 0 zz = 0)( 0 =+czF )( 0 zFc ?=? § 2.3 柯西公式和高阶导数公式 一、单通区域的柯西公式 ——柯西定理推出的公式 设 ()fz 在 D 内解析， a 为 D 的内点，则 注意： a 为 D 内一点， z 在 L 上取值 ∫ ? = L dz az zf i af )( 2 1 )( π L： 的边界线 D 柯西公式说明：解析函数 f(z)在其解析区域内任一点的 值可由 ()fz za? 沿边界线的积分确定。 证明： f(z)在 D 内解析，但被积函数 ()fz za? 在 D 内不解析，积 分不为 0。如果以 a 为圆心， ε 为半径作圆 C ε ，则 ()fz za? 在这 个双通区域中解析，则由柯西定理的推论知： ∫ ∫∫ ∫∫∫ ? ? += ? ? + ? = ? ?+ = ? = ? ε εε εε π C CC CCL dz az afzf aif dz az afzf dz az zf af dz az afzfaf dz az zf dz az zf )()( )(2 )()()( )( )()()()()( 计算： 由于 L 连续变形 ,可变大也可变小，故可利用 来计 算。 设在圆周 C ε 上， 又由积分性质： f(z)在 a 点解析 f(z)在 a 点连续 ε→ 0 时： f(z)- f(a) 所以 M=max|f(z)-f(a)| → 0,从而 ∫ ? ? L dz az afzf )()( 0→ε Mafzf =? )()(max M M dz M dz az afzf dz az afzf C CC ππε εε ε εε 22 )()( )()( =?=≤ ? ? ≤ ? ? ∫ ∫∫ ?? 0→ ∫ ? = L dz az zf i af )( 2 1 )( π 讨论： 1. 不一定取边界，取由 L 连续变形得到的 包围 a 的任意闭曲线，积分都相等。 2. a 点在 内任意变动 ,柯西公式也成立。 ,:za zξ?? →??→ 有 利用柯西公式求积分的例子——求积分的又一方法 ∫ D ∫ ? = L d z f i zf ξ ξ ξ π )( 2 1 )( 解题要点： 1. 柯西公式：解析函数函数值 ?? → ←? ? 沿闭曲线的积分值 2. 观察被积函数的形式：出现 11 1 , ()zaza z a = ?+ ?? 3. ()f ξ 的解析性 计算 : 方法 : 利用柯西公式 令 1 ()fz za = + ,它在圆周 za a?= 解析——构造了 一个解析函数 ∫ =? ? aaz az dz 22 ∫∫ =?=? ?+ = ? aazaaz dz azazaz dz ))(( 1 22 a i a i az idz az az I az aaz ππ π == + = ? + = = =? ∫ 2 2 1 2 )( 1 ∫∫ =?=+ +? = ? aazaaz dz azazaz dz ))(( 1 22 举一反三： 令 ，它在闭圆 解析 其它方法：留数定理 (见第四章 ) az zf ? = 1 )( aaz =+ a i az idz az az I az aaz π π ?= ? = ?? ? = ?= =? ∫ 1 2 )]([ 1 二、复通区域的柯西公式 设 f(z)在闭复通区域 中解析， a为 的内点 ,则 证明 : 的边界线 L:外边界线 ，内边界线 L 2 ， L 3 ， L 4 …..L n 作割线后： (1) 闭复通区域变为闭单通区域； (2) 沿割线的积分互相抵消。 于是： (积分沿的边界线 L的正方向 ) D (积分沿的边界线 L的正方向 ) 1 L D ∫ ? = L dz az zf i af )( 2 1 )( π D ∫∫∫ ∑ ? = ? + ? = = LLL n k dz az zf i dz az zf dz az zf i af k )( 2 1)()( [ 2 1 )( 2 ππ 三、高阶导数公式 定理：解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为 其中： z为 的内点， z’为 的边界点 证明：设 z为 D内任意一点，先证 n=1的情形，即 根据导数定义： D D 0 ()() '( ) lim z f zzfz fz z Δ→ +Δ? = Δ ∫ + ? = L n n dz az zf i n zf ' )'( )'( 2 ! )( 1 )( π ∫ ? = L dz az zf i zf ' )'( )'( 2 !1 )(' 2 π 由柯西积分公式得： 从而有： 设后一个积分为 I，则 ∫ ∫ Δ?? =Δ+ ? = L L dz zzz zf i zzf dz zz zf i zf ' ' )'( 2 1 )( ' ' )'( 2 1 )( π π ∫∫ ∫ ∫∫ Δ??? Δ + ? = Δ??? = ? ? Δ??Δ = Δ ?Δ+ LL L LL dz zzzzz zfz i dz zz zf i dz zzzzz zf i dz zz zf i dz zzz zf ziz zfzzf ' )'()'( )'( 2 1 ' )'( )'( 2 1 ' )')('( )'( 2 1 ]' ' )'( 2 1 ' ' )'( [ 2 1)()( 22 ππ π ππ 因为 f(z)在 L上是解析的，所以在 L上连续 f(z)有界 即（M：正数） 设 d为： z到曲线 L上各点的最小距离，则 当 足够小时，例如 时，有 则 ? ()f zM≤ zΔ ∫∫ Δ??? Δ ≤ Δ??? Δ = LL zzzzz dzzfz zzzzz dzzfz I '' ')'( 2 1 )'()'( ')'( 2 1 22 ππ dzz >?' 2 d z <Δ 2/'' ddzzzzzz ?>Δ??≥Δ?? 3 2 2 2 2 ' )')('( )'( 2 1 d MS z d d MS z dz zzzzz zfz L πππ Δ= ? Δ < ?Δ?? Δ ∫ 3 MS Iz dπ ≤Δ 所以 如果 ，则 ，从而 上式右边的积分存在 (因为： f(z)解析 连续 . 又 L连 续 积分存在 ) 即 f’(z)存在。从导数的表达式看出： (1) 在积分号下将柯西积分公式对 z求导是合法的； (2) f’(z)是解析的。 0zΔ → 0I → ? ∫ ? = Δ ?Δ+ →Δ L z dz zz zf iz zfzzf ' )'( )'( 2 1)()( 2 0 lim π 2 )'( )'( zz zf ? ? 重复以上过程可得： 依此类推，由数学归纳法可以证明： 说明： 1. 解析函数在其解析区域可以求导任意多次； ——解析函数的又一特点 2.高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通 过求导来求积分 (求导运算比积分运算要简单得多 )； 3.对于复连通区域，高阶导数公式仍适用 (积分沿内边界的正方向 )。 ∫ ? == Δ ?Δ+ →Δ L z dz zz zf i zf z zfzzf ' )'( )'( 2 !2 )('' )(')(' 3 0 lim π ∫ + ? = L n n dz zz zf i n zf ' )'( )'( 2 ! )( 1 )( π