第五章 解析延拓与黎曼面
§5.1 解析延拓 Γ函数
解析延拓：将解析函数定义域加以扩大
一、解析延拓的一个例子
幂级数：
2
1 ...zz++ +
在以
0z =
为圆心的单位圆内代表一个
解析函数，令为
1
()fz
，即
2
1
0
1
( ) 1 ...
1
k
k
fz z z z
z
∞
=
==+++=
?
∑
(1)z <
在圆外，级数是发散的。
1
()fz
在圆内一点
1
2
zi=
的泰勒展开：
()
1
2
1
00
() ( )
22
() ( )
!2
(1 )
2
kk
k
k
ii
fz
i
fz z
i
k
∞∞
+
==
?
=?=
?
∑∑
但这级数的收敛半径为：
1
1
(1 )
5
2
lim 1
1
22
(1 )
2
k
R
k
i
i
R
i
→∞
+
?
==?=
?
故相应的收敛圆 跨出原来的收敛圆 之外，而级数 (1)在收敛圆
内 代表解析函数 ，于是称 为 在 内的解析延拓。
2
D
1
D
2
D
)(
2
zf )(
2
zf )(
1
zf
2
D
对于
22
2
123 2
0
() () ()
11
222 2
( ) ... 1 ...
(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 )
2222 22
k
k
k
iii ii
zzz zz
Fz
iiii iii
∞
+
=
??
??? ??
??
==+++=+++
???? ???
??
∑
又
1
1
()
2
(1 )
22
1
() 1
22
(1 )
2
k
k
k
k
i
z
ii
z
q
ii
z
i
+
+
?
??
==<
??
?
2
1
11 1 1 1 1
2
()
11 11()
222222
1
1
2
i
Fz
iiiiii
qz
zz
i
?
?= = = =
??
??????
?
?
可见
1
()fz
和
2
()fz
这两个解析函数只是同一个解析函数
1
1 z?
在不同区域内的不同表达式而已 。两个表达式各有自己的范围
112 2
((): , (): )fz Dfz D
，同时也有公共的有效范围 （两圆重叠部分
12
D
） 。
当然常常不能得到这样一个在函数的全部解析区域内都有
效的统一表达式，而是需要用解析延拓的方法推出分别在不同
区域中有效的表达式 。
二、解析延拓的概念
1. 概念：
若
1
()fz
和
2
()fz
分别在 12
,DD
内解析，且在 与 重叠的区域
中有
12
() ()fz fz=
，则称 2
()fz
为
1
()fz
在 中的解析延拓， 为
2
()f z
在 中的解析延拓。
定义：解析元素——区域与解析函数的组合
{}
11
,()Dfz
{}
22
,()Dfz
2
D
1
D
2
D
1
D
)(
1
zf
2. 应用：
(1) 已知在某区域中有定义的解析函数，用解析延拓的方法扩大
其定义域和解析范围。
(2) 已知数学问题的解是某区域 D 内（除个别奇点外）的解析函
数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表达式推算出解
在 D 的其他子区域中的表达式。
三、解析延拓的幂级数方法
设给定解析元素
{}
11
,()Dfz
，现采用幂级数方法将
1
()fz
解析延拓。
1. 在
1
D
内任取一点 ，将
1
()fz
在 的邻域展开成泰勒级数
()
11
21
0
()
() ( )
!
k
k
k
fb
fz zb
k
∞
=
=?
∑
设级数的收敛区域为 。如果 超出了 的范围。由于在 和
的重叠区域 12
() ()fz fz=
，所以 就是 在 中的解析延拓。
这样不断作下去，得到一系列的解析
{}
,()
nn
Dfz
( 2,3...)n=
。
一个解析元素
{}
11
,()Dfz
的全部解析延拓的集合，称为
1
()fz
所产生的完
全解析函数 F(z)， F(z)的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。
11
22
()
() ()
... ...
fz z D
Fz f z z D
∈
?
?
=∈
?
?
?
2
D
1
b
1
b
2
D
1
D
1
D
2
D
)(
2
zf
)(
1
zf
2
D
四、 Γ函数的解析延拓
（思考：解析延拓的方法）
1.实变函数中 Γ 函数的定义
1
0
()
xt
xtedt
∞
??
Γ=
∫
(0)x>
(1)
说明： (1)
()xΓ
是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函数的一
种重要表达式，这种表达式特别适于求函数的渐近表
示，或作解析延拓；
(2) (1)式右边的积分收敛条件是
0x >
，因此 (1)式只定义
了
0x >
的 Γ 函数。
对 进行分部积分，可得递推公式
递推公式本来是在 x>0 的情况下推导出来的，通常又用它把 函
数向 x<0 的区域延拓。
设
(1,0)x∈?
，定义
1
() ( 1)xx
x
Γ=Γ+
(1)(0,1) (1)xx+∈ ?Γ+
按 (1)式有定义
这样可以得到
()xΓ
(1,0)x∈?
又设
(2,1)x∈? ?
，定义
11
() ( 1) ( 2)
(1)
xx x
xxx
Γ=Γ+= Γ+
+
(2)(0,1) (2)xx+∈ ?Γ+
有定义
这样可以得到
()xΓ
(2,1)x∈? ?
…………..
dttex
xt
∫
∞
?
=+Γ
0
)1(
)1(
1
)()()1( +Γ=Γ?Γ=+Γ x
x
xxxx
Γ
设
(, 1)xnn∈? ?+
，定义
1
() ( )
(1).( 1)
xxn
xx x n
Γ= Γ+
++?
注：
1
() ( 1)xx
x
Γ=Γ+
及
11
(1) 1 (0) (1) ( 1) (0) ...
01
Γ = ?Γ = Γ =∞?Γ? = Γ =∞
?
?
凡 x=0 或负整数： （ x 不为负整数呢？）
2.复变函数中 Γ 函数的定义
1
0
()
zt
ztedt
∞
??
Γ=
∫
(Re 0)zx=>
Γ 函数的递推公式：
(1) ()zzzΓ+=Γ
∞=Γ )(x
证明 ：
(1)1
00
(1) ()
zt zt
ztedttde
∞∞
+? ? ?
Γ+= =?
∫∫
1
00
() ()
0
zt t z z t
te e dt z t e dt z z
∞∞
?? ?
∞
=? + = = Γ
∫∫
()
lim lim 0
z
zt
t
tt
t
te
e
?
?
→∞ →∞
?=? =
将 Γ 函数进行解析延拓 。
设 ，定义域 ： Re z 解析元素
{}{}
11 1
,() ,()Dfz D z=Γ
由递推公式 ：
右边成立的条件 ：
)()(
1
zzf Γ= D
z
z
z
)1(
)(
+Γ
=Γ
0,0)1Re( ≠>+ zz
}0,1{Re:
2
≠?>? zzD
和 的重叠区域 ：就是 。在 中：
12
() ()fz fz=
2
()fz?
是 1
()fz
在 中的解析延拓
?
解析元素
2
(1)
,
z
D
z
Γ+
??
??
??
同理：解析元素
3
(2)
,
(1)
z
D
zz
??Γ+
??
+
??
3
:{Re 2, 0, 1}Dzzz>? ≠ ≠?
…
解析元素的全体构成一个完全的解析函数 F(z)
定义域：除 以外的全平面
五、Γ 函数常用公式：P64-65
1
D
2
D
12
D
1
D
1
D
2
D
"2,1,0 ??=z
?
§5.2 单值函数与黎曼面
前面：讨论单值复变函数；现在：多值复变函数
多值函数
()Wfz=
：
对于自变量 z 的每一个值，一般有两个或者两个以上的函数
值 w 与之对应。
多值函数包括根式函数、对数函数、反三角函数 ……
关心的问题：自变量 z 与函数值 w 的对应关系，特别是当 z 连续
变化时这种对应关系可能的变化。
例：对于多值函数 f(z)的积分
()fzdz
∫
，必须确定 z 与 f(z)之间的这
种对应关系和这种关系的变化。否则积分无意义，至少不确定。
一、根式函数
1. 多值性：令
i
ze
?
ρ=
， 0
arg 2 2zk k?π?π=+=+
0,1,2...k =
无限多个辐角 （注意： ）
0
1
(2)
2
ik
wz e
?π
ρ
+
?= =
0,1,2...k =
当 k=0,2,4…时，
0
2
0
i
we
?
ρ=
0
02?π≤<
当 k=1,3,5…时，
01
0
1
(2)
222
1
iii
we e e
??
?π
ρρρ
+
===?
1
24π ?π≤<
可见， Z 平面上的一个点：
i
ze
?
ρ=
，对应着 W 平面的两个点：
01
,ww
()wz?
是一个多值函数，且称 0
w
与 1
w
为
wz=
的两个单
值分支，每一个分支是一个单值函数。
∞≠ ,0z
造成根式
wz=
多值的原因：z 的辐角的多值性
0
(2)k?? π=+
考察 z 的连续变化：在复平面上可用一条曲线来描述 z 的变化
过程。
(1) z 从某一给定的
0
i
ze
?
ρ=
出发，对应的 w 从 出发，令 z 沿
逆时针方向环绕原点 (z=0)转一圈回到原处时，它的辐角由
变为 01
2?π?+=
，而 w 由 变为 ，即 w 从一个单值分支变到
另一个单值分支。继续令 z 沿逆时针方向绕 z=0 转一圈， z 再次
回到原处，它的辐角由
01
2?π?+=
变为 ，而 w 由 变为
。这样再转第三圈：辐角为
0
6?π+
，而 w 由 变为 ，与第
一圈上的值完全相同 ……
0
w
0
?
0
w
1
w
1
w
0
w
π? 4
0
+
0
w
1
w
（ 2）依然从 出发，但不绕原点 z=0转圈，则 z在环
绕过程中，其辐角开始增加，到达 A点后减少，到达 B后
又增加。 z回到原点时，辐角值又回到初值的 。
w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支
定义 ——支点：
对于每一个特定的多值函数，都存在一些特殊的点。当 z
环绕该点转一圈回到原处时， w(z)的值将由一个单值分支
变到另一个单值分支。这些特殊的点就称为多值函数的
支点。
显然： z=0是的一个支点。
0
?
ρ
i
ez =
0
?
?
考察 点的情况：
令
1
t
z
=
，则
1
w
t
=
，当 t 绕 t=0 转一圈（相当于 z 绕 点转
一圈）时， w 的值不会还原，可见
z=∞
是
wz=
的另一支
点。
∞
∞
2. 将多个单值分支分开的方法：
在根式函数的两个支点之间作割缝，并规定：
z 在连续变化的过程中不能跨越割缝。
(1)
wz=
的割缝：支点为 z=0，
?
从 z=0 出发，沿 x 轴正
方向作一割缝至
z=∞
。此时， z 无论在平面上怎样变化都不可能
绕 z=0 或 转一圈，则辐角的变化范围在 之内
w 的值必在一个单值分支之内。
(2) 割缝的上下岸： z 的辐角值的规定
割缝上岸 z 的辐角值为 ，割缝下岸 z 的辐角值为 。
辐角变化范围： ，对应 这一单值分支
?
π2∞=z
∞=z
0
0
=?
π? 2
'
0
=
π? 20
0
<≤
2
0
0
?
ρ
i
ew =
割缝上岸 z 的辐角值为 ，割缝下岸 z 的辐角值为 。
辐角变化范围： ，对应 这一单值分支。
3.求支点的方法及单值分支的方法：见例题： P67-69
4.
wz=
的黎曼面——形象化地描述多值函数
z
值的变化
函数
z
的值在 z 绕 z=0 转第二圈时，与 z 转第一圈时不同，设想：
z 的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平面上运行，即在 z
平面分为两叶平面组成。为了把多值函数的多个分支作为整体来
研究，两叶平面作以下粘合：第一页的下岸与第二页的上岸
粘合在一起，第二页的下岸与第一页的上岸 粘合在一起。这样，
z 的第三圈同于第一圈， z 的第四圈同于第二圈。由两叶组成的 z
平面就称为
wz=
的黎曼面。
π? 2
1
=
π? 2
'
1
=
π?π 42
0
<≤
2
1
1
?
ρ
i
ew =
π? 2=
0=?
二、对数函数
表达式：
lnwz=
令
0
(2)iki
ze e
?π?
ρρ
+
==
， 0
02?π≤<
，
0, 1, 2...k = ±±
0
ln ( 2 )wuiv i kρ? π?=+= + +
可见，其多值性来源于辐角的多值性：
对应于每一 z 值，有无穷多个 w 值，这些不同的 w
值只是虚部不同，相差 的整数倍。
π2
当 z 环绕 z=0 或 转一周时， Argz 改变 ， Lnz 改变
2i π
，故
z=0， 是对数函数的支点。
从 z=0 沿正实轴作一割线至
z=∞
，并规定：
22(1)kArgzkππ≤<+
，
则得 w=Lnz 的第 k 分支。
例： P70-71
对数函数 w=Lnz 的黎曼面：由无穷多个 z 平面重叠而成。
π2
∞
∞
三、多值函数的积分
设 f(z)为多值函数，它的两个支点 a, b 均为实数 (令 a<b， b 也可为 )
用残数定理计算积分：
()
b
a
Ifxdx=
∫
需做的事：
1. f(z)是多值， I 是多值的，为了得到确定的单值分支，需要连接支
点 a, b 作割线，然后再规定某一点 的辐角，从而得到 f(z)的一个
单值分支。
2.为运用留数定理，还必须采用适当的积分回路。
例题： P71.[例 7]
∞
0
z
