华中师范大学：数学物理方法：8

第八章 行波法与平均值法 用行波法求解波动方程的基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程。 8.1无界弦的自由振动 一、无界弦的自由振动 (1) 无界弦的涵义： 不是无限长的弦，是所关心的那一段弦远 离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦 上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条 件。定解问题 初值问题 (2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程齐次 定解问题： 2 0 tt xx uau?= (,0) ()ux x?= x?∞< <∞ x?∞< <∞ ：初位移； ：初速度 ? ? )(x? )(xψ )()0,( xxu t ψ= 二、用行波法解方程 1. 求偏微分方程的通解 泛定方程： 2 0 tt xx uau?= ()()0aau txtx ???? ?+ ? = ???? 作变量代换： xat xat ξ η =+ =? )( 2 1 )( 2 1 ηξηξ ?=+=? a tx 2 00 tt xx uau u ξη ?=?= 对 积分 ： ()uf ξ ξ= 再对 积分 ： 12 12 () () () ()() ufdf f ufxat fxat ξξ ξ η==+ ?= + + ? ∫ 2 2 2 2 22 2 2 4 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 a uau t u ax u taxtax u u tax t t x x tax t t x x xxtt ? ?= ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? + ? ? = ?? ? = ? ? ? ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? ξη ηηη ξξξ ξη η ξ 2 . 利用定解条件来确定 由初始条件得： 12 (,0) () () ()ux f x f x x?=+= (1) 12 (,0) () () () t ux af x afx x? ′ ′ =?= (2) 由（ 2）积分： 00 12 1 [() ()] () xx fx fxdx sds a ? ′ ′ ?= ∫∫ 0 12 1020 1 () () () ( ( ) ( )) x x fx fx sdsc c fx fx a ??= + =? ∫ 其中 (3) 由 (1)和 (3)： 0 0 1 2 11 () () () 22 2 11 () () () 22 2 (,) [ ( ) ( ) () x x x x xat xat c fx x sds a c fx x sds a uxt x at x at sds a ?ψ ?ψ ?? ψ + ? =+ + =? ? ?=++?+ ∫ ∫ ∫ ——达朗贝尔公式 21 , ff 一、解的物理意义 1. 只有初始位移时，即 () 0xψ = )]()([ 2 1 ),( atxatxtxu ?++= ?? 假设初始位移是在区间 12 [, ]xx 上的等腰三角形，从 t=0 开始画出 每经过 21 8 xx t a ? Δ= 弦的相继位置。可见： 1 () 2 xat? ? 代表以速度 a 沿 x 轴正向传播的波 1 () 2 xat? + 代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波 2. 只有初始速度时： 1 (,) () 2 xat xat uxt sds a ψ + ? = ∫ 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于 0 (,) ( ) ( )uxt x at x at?=Ψ+?Ψ? 0)( =x? ],[ 21 xx 0 ψ 其中 0 1 () () 0 2 x x xsds a ψΨ= = ∫ 1 xx≤ 10 1 () 2 xx a ψ=? 12 xxx≤≤ 210 1 () 2 xx a ψ=? 2 xx≥ 则 ()xΨ 和- ()xΨ 的图形分别为： 从 t=0 开始，画出每经过 21 8 xx t a ? Δ= 的波与其差的相继位置 弦振动传播情况(见图) 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加。 ? 第三章 分离变量法 1. 补充：三角函数的正交性 （ 1） 0 cos cos ? l mx nx Id ll ππ == ∫ (mn≠ 及m=n ) 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 αβ αβ αβ=++? 0 1() () [cos cos ] 2 l mnx mnx Id ll ππ+? =+ ∫ m=n 时： 0 12 (cos 1) 22 l nl Ixdx l π =+= ∫ 时 ： 0 0 1() () [cos cos ] 2 1() () [sin sin ] 2( ) ( ) 0 l l mnx mnx Id ll l mnx l mnx mn l mn l ππ ππ +? =+ +? = ∫ nm ≠ , 0 cos cos 2 l mn mx nx l dx ll ππ δ∴= ∫ （ 2） 0 sin sin ? l mx nx Idx ll ππ == ∫ 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 αβ αβ αβ=? + ? ? 0 1() () [cos cos ] 2 l mnx mnx Id ll ππ+? =? ? ∫ m=n: 2 0 sin 2 l mx l Idx l π == ∫ :mn≠ 0 1() () [sin sin ] 2( ) ( ) 0 l lmnxlmnx I mn l mn l ππ ππ +? =? ? +? = , 0 sin sin 2 l mn mx nx l dx ll ππ δ∴= ∫ (3)若 1 () sin n n nx xc l π ? ∞ = = ∑ ，求 n c =？ 两边乘以 sin mx l π 后，对 x 由 0 到 l 积分 , 00 11 ( )sin sin sin 22 ll nnmn mx mx nx l l xdxc dxc c lll πππ ?δ ∞∞ == = ∑∑ ∫∫ 0 2 ()sin l m mx cxdx ll π ?∴= ∫ （ m=1,2,3….） 即 0 2 ()sin l n nx cxdx ll π φ= ∫ (n=1,2,3……) (4)若 0 () cos n n nx xc l π ψ ∞ = = ∑ ，求 n c =？ , 00 00 ( ) cos cos cos 22 ll nnmn mx mx nx l l xdxc dxc c lll πππ ψδ ∞∞ == = ∑∑ ∫∫ 0 2 ()cos l n nx cxdx ll π ψ∴= ∫ （ 5） 若 0 3 cos 2 50cos n n nx x c ll ππ ∞ = =+ ∑ ，求 n c = ? 0 3 2 50 0(0,3) n c c cn = = =≠并且 2. 分离变量法的基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由 叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠 加系数。 (1) 叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不 同原因单独产生的效果的累加。 (物理上 ) 这种因果规律如果用数学关系式来描述（代数式、微分方程、 积分方程等） ，那么所得的关系式是线性的。叠加原理对于用线性 方程描述的物理现象来说都是成立的。 (数学上 ) (2) 驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。 1 2 12 cos( ) cos( ) 2 cos 2 cos 2 uA tkt uA tkt uuu A t kx ω ω ω =? =+ =+= ←时间变量与空间变量分离 驻波的一般表示： 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分 方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试 解的正确性。 (3) 分离变量法的特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 (4) 分离变量法的适用范围： 波动问题、输运问题、稳定场问题等 (比行波法适用的范围要广 ) )()(),( tTxXtxu = 8.1 直角坐标系中的分离变量法 例：求两端固定的弦自由振动的规律 解：定解问题 2 0 tt xx uau?= 0 xl<< t>0 (1) (0, ) 0ut= (,) 0ult = (2) (3) 1. 分离变量 令 (4) 将 (4)代入泛定方程 (1)，得到： 2 () () ()() 0xT t a xTt ′′ ′′ Χ?Χ= 2 () () () () xTt xt xaTt ′′ ′′ Χ ?== Χ 常数（与 ， 均无关） )()0,( xxu ?= )()0,( xxu t ψ= )()(),( tTxXtxu = 设常数为 λ? ，得到两个常微分方程 () () 0xxλ ′′ Χ+Χ= (5) 2 () () 0Tt aTtλ ′′ += (6) 说明： 在分离变量过程中引入的参数的取值要由边界条件来确定。 将 (4)代入边界条件——边界条件分离变量 (0, ) 0 (,) 0 ut ult = = ? (0) ( ) 0 () () 0 Tt lTt Χ= Χ= 这有两种可能 (1) T(t)=0 则 u(x,t)=0——弦保持静止 u(x,t)=0 是平庸解，略去 (2) ，则得到 X(x)的边界条件 () 0 () 0 x l Χ= Χ= (7) 0)( ≠tT 2. 求解本征值问题 (5)及 (7)式构成了常微分方程的边值问题 () () 0xxλ ′′ Χ+Χ= () 0 () 0 x l Χ= Χ= ()xλ Χ=即求 ＝？和 ？ 以后发现： 只有取某些特殊值，方程才有满足边界条件的非 平庸解。这些 值称为本征值，相对应的解 称为本征函数。 求解 与 的问题称为本征值问题。 对于 ，分三种情况讨论： (i)若 ，方程的通解为： 由边界条件可得到： 0 0 LL AB Ae Be λλ??? += += 因此， A=0， B=0， X(x)=0 (平庸解，略去 ) λ λ )(xX λ λ )(xX λ λ 0<λ xx BeAexX λλ ??? +=)( (ii) 若 0λ = ，方程的通解为： ()xAxBΧ =+ 由边界条件可得到： 0()0AB x==?Χ = (平庸解，略去 ) (iii) 若 ，方程的通解为： () cos sinxA xB xλλΧ= + 由边界条件可得到： 0 sin 0 A Blλ = = 若 B=0，则又得到平庸解，所以要得到非零解，有： sin 0 n l l π λλ=? = n=1,2,3… 2 () n n l π λ?= 1, 2........n =± ± (8) 相应的本征函数： n=1,2,3…. (9) （ n 只取 正整数 的原因？） 0>λ l xn BxX nn π sin)( = 3. 求解关于 T(t)的常微分方程 将 2 () n n l π λ = 代入 (6)，得到： 2 () ( ) () 0 na Tt Tt l π ′′ += 通解为： () cos sin nn n na na Tt C t D t ll ππ =+ , nn CD 任意常数 （ 10） 由此得到 u（ x， t）的特解： ( , ) ( cos sin )sin nn n na na nx uxt C tD t lll πππ =+ （ n=1,2,3…） （ 11） 4. 利用叠加原理，将特解进行叠加 ,得到通解 一般说来 , 不可能满足初始条件，但特解的线性叠加 仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加，得到通解： 11 ( , ) ( , ) ( cos sin )sin nn na na nx uxt u xt C t D t lll πππ ∞∞ == + ∑∑ （ 12） ),( txu n 5.由初始条件确定傅立叶系数 , nn CD 将 (12)代入初始条件： 1 () (,0) sin n n nx xux C l π ? ∞ = == ∑ (13) 1 () (,0) sin tn n na nx xux D ll ππ ψ ∞ = == ∑ (14) 利用正弦函数的正交性，得到： 0 0 2 ()sin 2 ()sin l n l n nx Cxdx ll nx Dxdx na l π ? π ψ π = = ∫ ∫ 6. 解的物理意义 (i) 特解的物理意义 引入新的常数 , nn E ? 代替 , nn CD ： sin nn n CE ?=令 cos nn n DE ?= 22 nnn ECD=+即令 1 tan n n n D C ? ? = 则有： 可见 (,) n uxt 代表一个注波，对弦上一点 x，给出一个简谐振动， 其振幅为 () sin nn nx Nx E l π = ，角频率为 ，初相位 波节（振幅的零点）的位置为： 21 sin 0 0, , ,..........., nx l l n xl lnn π ? ==即 波腹（振幅为最大值的点）的位置为： 321 sin 0 , ,..........., 22 2 nx l l n xl lnn π ? ==即 对角频率 ： n=1 的项 为基波， n>1 的项 为 n 次谐波 (ii) 解的物理意义 各种不同频率、不同振幅、不同初位相的驻波的叠加。 l xn tEtxu nnnn π ?ω sin)cos(),( ?= l an n π ω = n ? l an n π ω = ),( 1 txu ),( txu n 7. (12)式与达朗贝尔解的关系 引入 n 次谐波的波数： 又： (a：相速度 ) 1 1 11 (12) ( , ) ( cos sin )sin 1 { [sin ( ) sin ( )] [cos ( ) cos ( )]} 2 [ sin ( ) sin ( )] sin 22 nn nn n n nn n n n n n xat nn nn nn n xat uxt C kat D kat kx C kxat kxat D kxat kxat C k x at C k x at k D k sds ∞ = ∞ = ∞∞ + ? == ?= + =++?+?+ =++?+ ∑ ∑ ∑∑ ∫ 将 (13)、 (14)代入： (,) [( ) ( )] () 22 xat xat u x t x at x at s ds a ?? ψ + ? =++?+ ∫ ——达朗贝尔公式 lnlk nn /2)/2/(2/2 ππλπ === ak nn =ω 区别：本题讨论是有界弦的振动， 和 只定义在区 间 [0,l]上， t充分大时， 就会超出这个区间。将 和 分别延拓为周期为 2l的初位移、初速度。 延拓问题：见吴崇试《数学物理方法》（ P298） 分离变量法的解题步骤： P126表 )(x? )(xψ atx± )(x? )(xψ 二．非齐次方程及齐次边界条件的定解问题 前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力的作用， 振动纯粹是由位移和初速度引起的。 现在研究：有外力作用的情况 为了把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，考虑 纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次的，边界条 件和初始条件是齐次的。 例:求两端固定弦的受迫振动的规律 ),( 2 txfuau xxtt =? 0<x<l, t>0 (1) 0),(,0),0( == tlutu (2) 0)0,(,0)0,( == xuxu t (3) 解:对于齐次方程 (1),如果直接用分离变量的方法,设 特解 u(x,t)=X(x)T(t),不能把方程 (1)化为两个常微分 方程。但对应的齐次方程在分离变量后得到本征函 数系 ，可将 u(x,t)及非齐次项 f(x,t)对 展开: }{sin l xnπ }{sin l xnπ ∑ ∞ = = 1 )sin()(),( n n l xn tTtxu π ∑ ∞ = = 1 )sin()(),( n n l xn tftxf π ∫ = l n dx l xn tx l tf 0 )sin(),( 2 )( π (4) (5) (6) 其中： 把 (4)和 (5)代入 (1),得 : ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = =+ 11 1 22'' )sin()()sin()()()sin()( nn n nnn x l n tfx l n tTa l n x l n tT ππππ 再由 { )sin( l xnπ }的正交性 : )()()()( 2'' tftT l an tT nnn =+ π n=1,2,……….(7) 由 (3),(4)可得到初始条件 0)0(,0)0( ' == nn TT (8) 求 u(x,t)的问题变为在初始条件 (8)下解非齐次常微分方程。 由常数变易法可求得 ∫ ? = t nn d l tan f an l tT 0 ) )( sin()()( τ τπ τ π (9) 把 (9)代入 (4)式，即为所求 。 讨论 :若振动不仅是由初速度 ,初位移引起 ,而且还有强迫力 ,见 P129 [例子 3]此时方法一样 ,只是 (8)式变为 ∫ == l nn xdx l xn x l T 0 )()sin()( 2 )0( ? π ? (8’) n l n dx l xn x l T ψ π ψ == ∫ 0 ' )sin()( 2 )0( 则有 :(参见 p207) ∫ ++ ? = t nnnn l atn an l l atn d l tan f an l tT 0 )sin()cos() )( sin()()( π ψ π π ?τ τπ τ π n=1,2…. 其中第一项为强迫力对振动的贡献，第二项为初位移对振动的贡 献，第三项为初速度对振动的贡献。 将 )(tT n 代入 ∑ ∞ = = 1 )sin()(),( n n l xn tTtxu π 即得非齐次方程非齐次初始条件的 解。 三、非齐次方程及非齐次边界条件的定解问题 定解问题 : ),( 2 txfuau xxtt =? 0<x<l,t>0 (1) )(),(),(),0( 21 tutlututu == (2) )()0,(),()0,( xxuxxu t ψ? == (3) 思路 : 把非齐次边界条件齐次化 1. 设 : u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) (4) w(x,t)满足 u(x,t)的边界条件： w(0,t)= ， w(l,t)= (5) 于是 ,v(0,t)=0,v(l,t)=0 (6) 满足条件 (5)的 w(x,t)很多 ,最简单的是设 w(x,t)为 x的线 性函数： w(x,t)=A(t)x+B(t) 由条件可得 : (7) )( 1 tu )( 2 tu )()]()([),( 112 tututu l x txw +?= 2. 求解 v(x,t)的定解问题 )0,()()0,(),0,()()0,( 0),(,0),0( ),( 22 xwxxvxwxxv tlvtv wawtxfvav tt xxttxxtt ?=?= == +?=? ψ? 此类问题已解决。 说明： (1)由于 w(x,t)的选取有一定的任意性 ,故用以上方法得到的解 将随 w(x,t)的不同而不同。但可证明对定解问题 (1)-(3)的解 是唯一的； (2)这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、第三类 边值问题也可齐次化。 四、高维的定解问题 —以一个长方体中的热传导问题 的定解问题为例 例 :求边长分别为 a,b,c的长方体中的温度分布。 设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 ),,()0,,,( zyxzyxu ?= 解 :定解问题 ,0)( =++? zzyyxxt uuuku 0,0,0,0 ><<<<<< tczbyax (1) 0),,,(),,,0( == tzyautzyu (2) 0),,,(),,0,( == tzbxutzxu (3) 0),,,(),0,,( == tcyxutyxu (4) (5) 1. 时空变量的分离 令 )(),,(),,,( tTzyxvtzyxu = (6) 代入 (1): (7) 0 2 =+++ vvvv zzyyxx λ (8) 2. 空间变量的分离 令 v(x,y,z)=X(x)w(y,z) (9) ),,()0,,,( zyxzyxu ?= 0)()(' 2 =+ tkTtT λ 代入 (8)及 (2) X(x)的常微分方程及边界条件，构成本征值问题 : 0)()()( 22'' =?+ xXxX μλ (10) 0)(,0)0( == aXX (11) 同理 : 0 2 =++ www zzyy μ (12) 再令 )()(),( zZyYzyw = (13) 代入 (12)及 (4)、 (5)，可得到另外两个本征值问题 0)(,0)0( 0)()()( 22'' == =?+ bYY yYvyY μ 0)(,0)0( 0)()( 2'' == =+ cZZ zZvzZ ? 3. 求解本征值问题 本征值与本征函数分别为 : ,....2,1),sin()(, ,...2,1),sin()(, ,.....2,1),sin()(, 2 22 22 2 22 22 2 22 2 ===? ===? === p a xp xZ a p m b ym yY b m v n c zn zZ c n v p m n ππ μλ ππ μ ππ v 的本征值为 2 λ 、本征函数 )( 2 2 2 2 2 2 22 ,, c n b m a p nmp ++=πλ )sin()sin()sin(),,( ,, c zn b xm a xp zyxv nmp πππ = 4. 求解关于 T(t)的常微分方程，得 )()( 2 ,,,, ktExpAtT nmpnmp λ?= 5. 特解的线性组合 特解 : )()sin()sin()sin(),,,( 2 ,,,,,, ktExp c zn b ym a xp Atzyxu nmpnmpnmp λ πππ ?= 线性组合： )()sin()sin()sin(),,,( 2 ,, 111 ,, ktExp c zn b ym a xp Atzyxu nmp pmn nmp λ πππ ?= ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = 6．由初始条件定系数 )sin()sin()sin()0,,,(),,( 111 ,, c xn b xm a xp Azyxuzyx pmn nmp πππ ? ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = == ——三重傅立叶级数 由本征函数的正交性： dxdydz c zn b ym a xp zyx abc A abc nmp )sin()sin()sin(),,( 8 000 ,, πππ ? ∫∫∫ = 8.2 柱坐标系中的分离变量法 （ 复习：正交曲线坐标系中的梯度，散 度，旋度度和拉普拉斯算符） 补充：坐标系的选择 (1) 通过弦的振动问题，说明了在直角坐标系下分离变量法 的基本步骤 了解到不仅对于方程本身，而且对于边界条件都要进行变 量的分离。 (2) 能否用分离变量法，除了与方程的形式有关外，还与用 什么坐标系有关， 而坐标系的选择则是根据边界的形状或者对 称性决定的。例：柱形区域——柱坐标。用直角坐标不能将边 界条件中的变量分离。 (3) 各种类型的数理方程都含有拉普拉斯算符 。 在不同 的坐标系中形式不同。 2 ? 2 ? 一 柱坐标系中三类典型数理方程的分离变量 1 时空变量的分离 (i) 波动方程： () ()0,,,,,, 22 =?? tzyxwatzyxw tt (1) 令 ()()()tTzyxutzyxw ,,,,, = (2) 代入 (1)式得： () () () () β?== ? tTa tT zyxu zyxu 2 ''2 ,, ,, (3) 亥姆霍兹方程???=+? =+ 0 0 2 2'' uu TaT β β (4) (ii) 热传导方程： () ()0,,,,,, 22 =?? tzyxwatzyxw t (5) 令 ( ) ( ) ( )tTzyxutzyxw ,,,,, = 代入(5)式得 0 2' =+ TaT β (6) 0 2 =+? uu β (7) (iii) 稳定场的方程 0 2 =? u (8) (亥姆霍兹方程中 的 特例) 结论：对三个典型方程的进一步分离变量，都涉及到亥姆霍兹 方程的分离变量。 0=β 2 柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 柱坐标系中，拉普拉斯算符 的形式： 2 2 2 2 22 2 2 11 z? ? + ? ? + ? ? + ? ? =? ?ρρρρ 亥姆霍兹方程： 0 11 2 =++++ uuuuu zz β ρρ ??ρρρ (1) 分离变量，令 () ()()zZRzu ?ρ?ρ Φ= )(,, (2) 2 ? 代入 (1)式，乘以 zRΦ 1 移项后得 () () () () () () () μβ ?ρ ? ρρ ρ ρ ρ =?=+ Φ Φ ++ )( '' 2 ''''' zZ zZ R R R R 于是，有： () 0)( '' =+ zuZzZ (3) () () () () () () 0 '' 2 ''' =?+ Φ Φ ++ u R R R R β ?ρ ? ρρ ρ ρ ρ (4) 由(4)可推出 () () () () () () () 2 '' 2 ''' 2 ν ? ? μβρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = Φ Φ ?=?++ R R R R 从而 0 2'' =Φ+Φ ν (5) 0])[(''' 222 =??++ RR νρμβρρ (6) 方程 (6)根据 u?β 的正负又可分为 (i) () ()0'''0 22222 =?++?=?≥? RR νρλρρλμβμβ (7) (ii) () ()0'''0 22222 =+?+??=?≤? RR νρλρρλμβμβ (8) 进一步令 )()(, ρλρ Rxyx == (7) 0)( 22'''2 =?++? yxxyyx ν ——贝塞尔方程 (9) (8) 0)( 22'''2 =+?+? yxxyyx ν ——虚宗量贝塞尔方程(10) 亥姆霍兹方程可分离为三个常微分方程 () ? ? ? ? ? =?±++ =Φ+Φ =+ 0''' 0 0 2222 2'' '' RR ZZ νρλρρ ν μ 说明 : 在分离变量的过程中引入的参数 等要由边界条件来 确定 2 ,νμ 8.3球坐标系中的分离变量法 一、球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量 球坐标系中的拉普拉斯算符 为： 2 2 222 2 2 2 sin 1 sin sin 11 ?θθ θ θθ ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? rrr r rr 拉普拉斯方程： 0 sin 1 sin sin 11 2 2 222 2 2 = ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?θθ θ θθ u r u rr u r rr (1) 分离变量，令 ()()()?θ?θ ,,, YrRru = (2) 2 ? 代入方程 (1)乘以 RY r 2 ，移项得 )1( sin 1 sin sin 11 2 2 2 2 += ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ll Y Y Y Yr R r rR ?θθ θ θθ 0)1( 2 =+? ? ? ? ? ? ? ? Rll dr dR r dr d (3) 0)1( sin 1 sin sin 1 2 2 2 =++ ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Yll YY ?θθ θ θθ (4) 方程(3)为欧勒型方程，可化为 () () () 0)1(2 ''2 =+?+ rRllrrrRr γ (5) 其解为 () 1?? += ll BrArrR (6) 方程(4)为球函数方程，进一步分离变量，令 ()()()?θ?θ ΦΘ=,Y （ 7） 代入(4)式，乘以 ΘΦ θ 2 sin ，移项得 () 2 2 2 2 1 sin1sin sin m d d ll d d d d = Φ Φ ?=++ ? ? ? ? ? ? Θ Θ ? θ θ θ θ θ 0 2 2 2 =Φ+ Φ ? m d d ? (8) ()01 sin sin sin 1 2 2 =Θ++Θ? ? ? ? ? ? ? Θ ll m d d d d θθ θ θθ (9) 方程(8)加上周期性条件 ()()?π? Φ=+Φ 2 构成本征值问题 () ()() ? ? ? Φ=+Φ =Φ+Φ ?π? ? 2 0 2'' m (10) () ? ? ? +=Φ = ? ??? mBmA mm mmm sincos )2,1,0( 2 本征函数 本征值 …… (11) ()? ? ? ? ? =Φ ±= ? )13( )12()1,0( 2 ? ? im m e mm …… 欧拉公式 对方程(9)进行简化： (i)作变量代换： () ( ) ()θθθ Θ=== cos,cos yxyx ? ? ? ? ? ? ? =Θ ?=?= ?= = )()( cossin )1(sin cos 2 1 2 xy dxdd x x θ θθθ θ θ 将 0] 1 )1([])1[( 0)1( )1( ] sin )1[( 2 2 2 2 2 2 1 2 = ? ?++?? =++Θ ? ? ? Θ ? ? y x m ll dx dy x dx d ll x m dx d x dx d θ 其解为：缔合勒让德函数 代入方程得 缔合勒让德方程 ),...2,1,0....2,1,0(,)1( !2 )1( )( 2 || || 2 || 2 || lmlx dx d l x xP l ml ml l m m l ±±±==? ? = + + (14) 方程具有轴对称性， u 与 无关 m=0 由方程 (9)得： 0)1(])1[( 2 =++? yll dx dy x dx d ——勒让德方程 其解为：勒让德多项式 ....1,0)1( !2 1 )( 2 =?= lx dx d l xP l l l l l (15) 二、球函数 将 (13)、 (14)代入 (7) ),....1,0....1,0()(cos),( || ,, lmlePCY imm lmlml ±±=== ? θ?θ ——球函数方程 (4)的解 ? ? 独立的 l 阶球函数有 2l+1 个。 ml C , 为归一化常数，计算如下： π π π θθθπθθ?θ? πππ 4 12 |)!|( |)!|( 12 4 |)!|( |)!|( 12 2 |)!|( |)!|( 2 )](cos[21sin|),(| , 2 , 2 , 0 2||2 , 0 2 , 2 0 + ? + =? +? + = +? + = == ∫∫∫ l ml ml C lml ml C lml ml C dSinPCdYd ml ml ml m lmlml 归一化球函数： ),....2,1,0....;2,1,0( )(cos 4 12 |)!|( |)!|( ),( || , lml eP l ml ml Y imm lml ±±±== + + ? == ? θ π ?θ )},({ , ?θ ml Y 的正交归一关系式： ',', 0 , 2 0 ),(),( '', mmllml dSinYYd ml δδθθ?θ?θ? ππ = ∫∫ ? 常用的球函数： ? θ π θ ππ i eYYY ± ± === sin 8 3 ,cos 4 3 , 4 1 1,10,100 二、拉普拉斯方程的通解 将（ 6） 、 （ 7） 、 （ 11） 、 （ 14）代入（ 2）得拉普拉斯方 程的一个特解。 将所有可能的 l 值和对应的特解线性 叠加，得到拉普拉斯方程的通解： ?θ ?θ?θ inmsPrDrC mPrBrAru ml m l l ml l ml ml m l l ml l ml ∑ ∑ ?? ? ++ += , ||1 ., , || ., )(cos)( cos)(cos)(),,( 特殊情况： (i) u 和 ? 无关：轴对称情况。 m=0，则 ∑ ?? += l l l l l l PrBrAru )(cos)(),( 1 θθ (ii)u 和 ?θ, 无关：球对称情况。 L=m=0，则 r B ABrAru +=+= ?1 )( 四 球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 方程： 0 2 =+? uu λ 球坐标系中： 0 sin 1 )(sin sin 1 )( 1 2 2 222 2 2 =+ ? ? + ? ? ? ? + ? ? ? ? u u r u rr u r rr λ ?θθ θ θθ 将 λ 记为 2 k ，且令 ),()(),,( ?θ?θ YrRru = 代入方程得 0 sin )(sin sin )( 2 2 2 222 2 2 =+ ? ? + ? ? ? ? + RYk r r Rr r R dr dR r dr d r Y ?θθ θ θθ 用 kY r 2 通乘以各项，并移项，得： )1( sin 1 )(sin 1 )( 1 2 2 2 222 += ? ? ? ? ? ? ? ?=+ ll r r r Y rk dr dR r dR d R ?θθ θ θ 于是 球贝塞尔方程 缔和勒让德方程 0)]1([)( 0)1( sin 1 )(sin sin 1 222 2 2 2 =+?+ =++ ? ? + ? ? ? ? Rllrk dr dR r dr d Yll YY ?θθ θ θθ 球贝塞尔方程的解为： )()()( krBnkrAjrR lll += 亥姆霍兹方程通解： ∑ ∑ ++ += ml m llmljml ml m llmljml mPkrnDkrC mPkrnBkrAru l l , || ,,, , || ,,, sin)(cos)]()([ cos)(cos)]()([),,( ?θ ?θ?θ 8.4 斯特姆-刘维型本征值问题 分离变量法的一个步骤：求解本征值问题 本征值、本征函数 实质：在一定边界条件下，求一个含参数 (分离变量过程中引入 ) 的齐次常微分方程的非零解 例子： ? ? ? ? ? ? ? == == ? ? ? ? == =+ )2,1(sin )2,1()( 0)(,0)0( 0)()('' 2 null null nx l n y n l n lyy xyxy n n π π λ λ 本征函数 ： 本征值 ： 边界条件 方程 ? ? ? ? ? ? ±±== ±±== ? ? ? ? == =+ )2,1,0( )2,1,0( 0)(,0)0( 0)()('' 2 null null mey mm lyy xyxy imx n 本征函数 ： 本征值 ： 周期性条件 同一方程 λ λ ? ? ? =+ ? ? ? ? ? ? ≤ =++?? )()( )2,1,0()1( )(1 0)1('2'')1( 2 勒让德多项式本征函数 ： 本征值 ： 有限内 ，在自然边界条件 勒让德方程 xp lll xyx yllxyyx l null …… 以上例子都可归结为斯特姆-刘维型本征值问题 一、斯特姆 -刘维型本征值方程 二阶线性齐次偏微分方程 () ????→? 分离变量法 二阶线性齐次常微分方程 常微分的普遍形式 : bxaxyxyxcxyxbxyxa <<=+++ 0)()()()(')()('')( λ (1) 其中 : a(x),b(x),c(x)——已知函数 ——分离变量过程中引入的常数 λ 方程 (1)化为斯特姆-刘维型方程 bxaxyxxyxQ dx xdy xk dx d <<=+? 0)()()()(] )( )([ λρ (2) 其中 : dx xa xb exk ∫ = )( )( )( 核函数 )( )( )()( xa xc xkxQ ?= 已知函数 )( )( )( xa xk x =ρ 权函数 λ ：参数 勒让德方程、缔合勒让德方程、贝塞耳方程均可化为斯-刘型方程： 0)()(] )( [ 0)()( 1 ] )( )1[( 0)(] )( )1[( 2 2 2 2 2 =+? =+ ? ?? =+? xxyxy x v dx xdy x dx d xyxy x m dx xdy x dx d xy dx xdy x dx d λ λ λ 二、斯 -刘型本征值问题——在一定的边界条件下 ,求斯特姆 -刘维型 方程的本征值和相应的非零解 (本征函数 ) 斯 -刘型方程与第三类边界条件构成本征值问题： 1. 齐次边界条件 (1) 第一类边界条件 y(a)=0, y(b)=0 (2) 第二类边界条件 y’(a)=0, y’(b)=0 (3) 第三类边界条件 0)()(',0)()(' =+=? bhybyahyay 它们可归类为 : 0)()(',0)()(' 2121 =+=+ bybyayay ββαα 2121 ,,, ββαα 为实数，且不能同时为零 ，即要求 0 0 2 2 2 1 2 2 2 1 ≠+ ≠+ ββ αα 2. 周期性边界条件 )()(),(')('),()( bkakbyaybyay === 例：对于 0)()('' 2 =Φ+Φ ?? m ， 有 1)2()0(),2()0(),2()0( ..2,1,0),sin(cos)( // ==Φ=ΦΦ=Φ =+=Φ πππ ??? kk mmBA mmm 3. 自然边界条件 (有界性条件 ) 当边界点是核函数 k(x)的一阶零点时，则该边界点上存在自然边 界条件 。即 ： 在边界点 a上有 k(a)=0时 ， a点上有自然边界条件： y(a)有界 在边界点 b上有 k(b)=0时 ， b点上有自然边界条件： y(b)有界 例子：勒让德方程中 ，边界点 x=1、 x=-1为其一阶零点 ， 有自然边界条件 ： y(1), y(-1)有界 三、 斯 -刘型本征值问题的基本性质 常见的工程和物理问题中，斯特姆 -刘维型方程的 在 [a,b]中为实函数，在 (a,b)内有 ， 且 在 (a,b)连续。在这些条件下 ，讨论其性质。 2 1)( xxk ?= )(),(),( xQxxk ρ 0)(,0)(,0)( ≥>> xQxxk ρ )(),(),('),( xQxxkxk ρ 1．存在定理 (关于本征值，本征函数 ) (1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 ,且对应着 无穷多个本征函数 (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。 证明：本征值 是实的。 若 为复数，斯-刘型方程及复共轭为 0)]()([])([ =?+ yxQx dx dy xk dx d λρ 0)]()([])([ =?+ ?? ? yxQx dx dy xk dx d ρλ 用 y乘 (2)减去 乘 (1)，得： null,2,1, == n n λλ ),2,1(),( null=nxy n λ λ *y (1) (2) 2 )(*)()]'**')([ 0*)(*)(]')([*]*')([ yxyyyyxk dx d yyxyxk dx d yyxk dx d y ρλλ ρλλ ?=?? =??? （ 上式对 x从 a到 b积分： b a b a yyyyxkdxyx |)]'**')(([||)(*)( 2 ?=? ∫ ρλλ 分三种情况讨论： (i) 齐次边界条件： 0)()(' 21 =+ ayay αα 复共轭： 0)(*)(*' 21 =+ ayay αα (3) 不能同时为零 系数行列式为零 0)(*')()(*)(' )(*)(*' )()(' =?= ayayayay ayay ayay 同理对 b点： 0)(*')()(*)(' =? bybybyby (4)、 (5)代入 (3) (3)右边为零 (ii) 周期性条件 )(*)(*),(*)(*),()(),(')('),()( byaybyaybkakbyaybyay ===== 代入 (3)式： /// ()[() () () ()] ()[() () () ()] 0kb yby b y by b ka yay a y ay a ?? ?? ′ ?? ?= (3)右边为 0 21 ,αα ? (4) ? ? (iii) 自然边界条件： a,b为 k(x)的一阶零点 k(a)=k(b)=0 (3)右边为零 a点为自然边界条件： k(a)=0, b点为齐次边界条件，则有： // / / ()[() () () ()] ()[() () () ()] 0kb yby b yb y b ka yay a y ay a ?? ?? ?? ?= 总之，在三类边界条件下，均有： ∫ =? ? b a dxyx 0||)()( 2 ρλλ 又在 [a,b]内 ，且 不小于零，故 0||)( 2 > ∫ b a dxyxρ 即本征值 为实数。 ? ? 0)( >xρ 2 y * λλ =? λ 2．非负定理 （关于本征值） 所有本征值都是非负的，即 证明：设 )(xy n 是对应于 的本征函数，满足斯 -刘型方程： )()(] )( )([)()( xyxQ dx xdy xk dx d xyx n n nn +?=ρλ 两边乘以 后对 x 从 a 到 b 积分： dxxyxQdx dx xdy xk dx d xydxxyx n b a n b a b a nnn 2 * 2 )()(] )( )([)()()( ∫∫∫ +?=ρλ 右边分部积分： dxxyxQdxxyxkayayakbybybkI b a n b a nnnnn 2 2 ''*'* )()()()()()()()()()( ∫∫ +++?= null,2,1,0 =≥ n n λ n λ )( * xy n 在 (a,b)内， 积分不小于零，而且可以 证明等式右边第一、二项大于或等于零。 0 0)()( 2 ≥? ≥? ∫ n b a nn dxxyx λ ρλ 3．正交性定理 对应于不同本征值的本征函数在区间 [a,b]上带权 正交， 即 ,0)(,0)(,0)( ≥>> xQxxk ρ )(0)()()( * nmdxxxyxy b a mn ≠= ∫ ρ )(xρ )1(0)()()()(] )( )([ =+? xyxxyxQ dx xdy xk dx d mmm m ρλ 证明：将本征值、本征函数 和 代入斯─刘型方程得 ， 然后对 x由 a到 b积分： )(, xy nn λ )(, xy mm λ )2(0)()()()(] )( )([ =+? xyxxyxQ dx xdy xk dx d nnn n ρλ ∫ ? b a mnnm dxxxyxy )()()()( * ρλλ ∫∫ ?= b a m n b a n m dx dx xdy xk dx d xydx dx xdy xk dx d xy ] )( )([)(] )( )([)( * * ∫ ?= b a mnnm dxyyyyxk dx d )]'')(([ ** 式的复共轭式 )2()1( * ×?× mn yy 仿前面的办法，可得右端为 0。所以 等本征函数集 的正交性只是这里的特殊例子。 0)()()()( * =? ∫ b a mnnm dxxxyxy ρλλ 0)()()( * =?≠ ∫ b a mnnm dxxxyxy ρλλ )}(cos{)},(cos{)},({},{},{sin )( θθρ μπ ν ν ? m ll nim pp b Je l xm b amnnm yyyyxk )]')(([ '** ?= 4．完备性定理 若函数 f(x)在区间 [a,b]有连续的一阶导数和分段连续的二阶 导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用本征函数系 将它展开为绝对且一致收敛的傅立叶级数 ∑ ∞ = = 1 )()( n nn xyfxf 展开系数： ∫ ∫ ? = b a n b a n n dxxxy dxxxfxy f )(|)(| )()()( 2 ρ ρ )}({ xy n 本征函数系 )}({ xy n 的完备性与欧氏空间的基底 }{ n e null 的比较 三维欧氏空间 复函数空间 基底 )3,2,1( =ne n null )2,1()( null=nxy n 正交性 nmnm ee , δ=? nullnull mn b a nm dxxxyxy δρ = ∫ ? )()()( 完备性 ∑ ∞ = = 1n nn eAA null null ∑ ∞ = = 1 )()( n nn xyfxf 展开系数 AeA n null null ?= ∫ ? = b a nn dxxxfxyf )()()( ρ 说明： (1)完备性：三维欧氏空间中 构成一个完备系，指不存在 任何矢量与 都正交 用 展开： 。 复函数空间，本征函数系 的完备性就是指满足一定条件的 任意函数 f(x)可用 来展开。 (2)斯-刘型本征值问题的基本定理是分离变量法的理论基础。 为什么？ 分离变量法求解问题时要由满足边界条件的特解叠加得到 一般解，就是要求它的解能用特解展开成级数。由本征函数的完 备性知道，这实际上是按本征函数系展开。 321 ,, eee nullnullnull 321 ,, eee nullnullnull A null ? }{ n e null ∑ = = 3 1n n eA null null )}({ xy n )}({ xy n (3)一些本征值具备分立的或者是量子化的特征。这为量子力 学打下基础。 (4)特殊函数：勒让德函数、缔合勒让德函数、贝赛尔函数、 诺埃曼函数、汉克尔函数…。