第七章 定解问题
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏
微分方程和积分方程
重点讨论：二阶线性偏微分方程
补充：关于二阶线性偏微分方程分类 (两个自变量的情况 )
的说明
两个自变量的二阶偏微分方程最普遍的形式：
F：给定的函数； x,y:自变量 (实数 )； u(x,y):未知函数
： u 的一阶和二阶偏导数
)1(0),,,,,,( =
yyxyxxyx
uuuuuyxF
yyxyxxyx
uuuuu ,,,,
如果 (1)式中 u 的二阶偏导数都是一次的，即
其中： a,b,c,g 都是 的函数，则方程称为准
线性的。
如果方程具有
的形式，其中 a,b,c,d,e,f,g 都只是自变量 x 和 y 的函数，则方程
称为线性的。
设 a,b,c 是 x， y 平面上某区域中的连续可微函数，对方程（ 3）
进行简化和分类，为此，引进新的变量 （实数）
于是
)2(02 =+++ gcubuau
yyxyxx
yx
uuuyx ,,,,
)3(02 =++++++ gfueuducubuau
yxyyxyxx
ηξ,
)4(),(),,( yxyx ψη?ξ ==
)5(
2
)(
2
,
22
22
?
?
?
?
?
?
?
++++=
+++++=
++++=
+=+=
yyyyyyyyyy
xyxyyxxyyxyxxy
xxxxxxxxxx
yyyxxx
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
ψ?ψψ??
ψ?ψψψ?ψ???
ψ?ψψ??
ψ?ψ?
ηξηηξηξξ
ηξηηξηξξ
ηξηηξηξξ
ηξηξ
代入 (3)式：
其中：
)6(0),,,,(2 =Φ+++
ηξηηξηξξ
ηξγβα uuuuuu
)9(2
)8()(
)7(2
22
22
yyxy
yyxyyxxx
yyxx
cba
cba
cba
ψψψψγ
ψ?ψ?ψ?ψ?β
????α
++=
+++=
++=
:, ,uu u
ξη
Φ
的线性函数
注意到 (7)， (9)式的形式完全相同，仅是 变换成了 。因此，如果
能选择到方程
22
20
xxyy
az bz z cz++=
(10)
的两个互相独立的解，则 (6)式中的 等于 0
设 z(x,y)是方程 (10)的一个特解，则 z (x,y)=C(常数 )必满足
2
() 2 0(1)
dy dy
abc
dx dx
?+=
证明如下：
? ψ
βα,
22
2
(10), 0( 0, 10 0
( , ) ( 0) 10
)2( ) 0
() 2 0
x
x
y
zz
zdy
zxy c
dx
dy dy
bcz
dx dx
dy dy
abc
dx dx
≠? ≠ = ? =?≡
=? =? ≠
++=
??+=
yy
y
y
yyy
由因a0z 如果z 则由 （） 常数）
于是沿曲线 z 代入（ ）：
z
a(- z - z z
反过来，如果 是方程 (11)的一个通解，则
必满足 (10)。方程 (11)可以分为两个一次方程：
2
2
dy b b ac
dx a
dy b b ac
dx a
+?
=
??
=
(12) ——特征值方程（其解称为特征线）
Cyx =),(? ),( yxz ?=
讨论（ 12）的解，分三种情况：
2
2
2
1. 0 : ( , , , , ) 0
2. 0 : ( , , , , ) 0
3. 0 : ( , , , , ) 0
bac uuu
bac uuu
bac uuu
ξη ξ η
ξη ξ η
ηη ξ η
ξη
ξη
ξη
?> +Φ =
?< +Φ =
?= +Φ =
双曲型方程；u
椭圆型方程；u
抛物线型方程；u
1.物理规律的数学表示 ——泛定方程
物理规律 物理量 u在空间和时间中的变化规律，
即物理量 u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
这种联系
(1) 有可能从边界条件和初始条件去推算 u在任意地点 (x,y,z)
和任意时刻 t的值 u(x,y,z,t)
(2) 直接表现只能是 u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的
关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系往往是偏微分
方程。泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条
件无关。
例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条
件无关。
→
数学语言
翻译
?
2. 定解条件的提出
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即
个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历
史，即个性。
例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛
t=0(初始 )：
方程：两种情况下都为
?
?
?
=
=
?
?
?
=
=
00
0
0
0
0
0
0
vv
v
y
x
y
x
第一种情况
?
?
?
=
=
?
?
?
=
=
θ
θ
sin
cos
0
0
00
00
0
0
vv
vv
y
x
y
x
第二种情况
?
?
?
?
?
++?=+?=?=
+==?=
'
2
1
,0
',0
2
dtdgtydgtyym
cctxcxxm
由初始条件得特解：
(1) 对竖直上抛：
(2) 对斜向上抛：
?
?
?
?
?
=?+=
=?==
=
=
0'0
00
0
0
xcx
vcx
t
xt
?
?
?
?
?
?=?=
?=?==
=
=
2
00
000
2
1
' gttvydy
gtvvvdy
t
yt
?
?
?
?
?
=?=
=?==
=
=
tvxcx
vvcvx
t
xt
)cos('
coscos
00
000
θ
θθ
?
?
?
?
?
?=?==
?=?==
=
=
2
00
000
2
1
sin0'
sinsin
gttvydy
gtvvvdy
t
yt
θ
θθ
结论：不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿
第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法：
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，
解出某个物理量 u 在给定的区域里随着地点（ x,y,z）和时刻
t怎样变化，即求 u(x,y,z,t)。另外，还有数理方程理论的三个
个主要问题：
(1) 解的存在问题
(2) 解的唯一性问题
讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类，方程的解是唯
?
一的。通过唯一性问题的研究，可以明确：对于一定的方程，需要
多少个以及哪一些定解条件才能唯一确定一个解。此外，用不同方
法解同一个问题时，得到的解式可能不一样，如果在理论上能证明
解是唯一的，则这两个形式不同的解必相等。
(3)稳定性问题 (初始条件微变时，解的变化也很小，称解是稳定的 )
讨论当定解条件略微改变时，解的变化如何。这个问题的重要
性在于把一个物理问题表示成数学问题时，一般总是作了一些简化
或理想化的假定，与真实情况有出入。研究稳定性问题，就可以对
解的近似程度作出估计。
若解不稳定，定解条件的细小误差导致了解的极大变化，则定
解问题的解就不能正确地反映其确定的物理现象。
7.1 波动问题
一、杆的纵振动方程 (非刚性杆 )
设：均匀细棒 (杆 )，沿杆长方向作微小振 动
u(x,t):平衡时坐标为 x 的点在 t 时刻沿 x 方向的位移。
求：细杆上各点的运动规律
研究对象：取一不包含端点的小段（ x,x+dx） ,并设杆的横截面积
为 s，密度为
ρ
，杨氏模量为 Y
该小段在 t 时刻的伸长量 u(x+dx,t)-u(x,t)
相对伸长量：
(,)(,)ux dxt uxt u
dx x
+? ?
=
?
胡克定律 P(x,t)=Y
(,)uxt
x
?
?
(P：应力，作用于单位横截面的内力 )
对该小段，有两个侧面
?
两侧均受到应力的作用
→
略去垂直于杆长
方向的形变
沿 x方向的合力：
由牛顿第二定律：
得
令 ，并记： ，有
dx
x
u
SYdx
dx
txutdxxu
x
SY
txutdxxu
x
SY
x
u
x
tdxxu
SY
txptdxxpStxFtdxxF
2
2
]
),(),(
[
)],(),([]
),(
[
)],(),([),(),(
?
?
=
?+
?
?
=
?+
?
?
=
?
?
?
?
+?
=
?+=?+
),(
2
2
sdxdvm
t
u
aFma ρρ ==
?
?
==
)]([
2
2
2
2
2
2
x
u
xx
u
dx
x
u
SY
t
u
sdx
?
?
?
?
=
?
?
?
?
=
?
?
ρ
ρ
Y
a =
2
2
2
2
,
x
u
u
t
u
u
xxtt
?
?
=
?
?
=
xxtt
uau
2
=
问题：方程中 a的物理意义？
从其表达式看出，它是反映杆本身性质的一个量。
说明：在以上推导中所作的简化假定
(1) 杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去
由于杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性
方程；
(2) 杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相
同，这样可只用一个变量 x来标志同一截面上的各个点，
否则 u将不只是 x和 t的函数。
二、 弦的横振动方程
设：均匀柔软的细弦沿 x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极
小的横振动
u(x,y): 坐标为 x 的点在 t 时刻沿 y 方向的位移
求：细弦上各点的振动规律
研究对象：选取不包括端点的一小段（ x,x+dx）
简化假设： (1)弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的
张力沿弦的切线方向
(2)振幅极小 张力与水平方向的夹角 和 很小，
仅考虑 和 的一阶小量，略去二阶小量：
?
1
α
2
α
2
α
1
α
35
35
24
sin .......
3! 5!
2
tan .................
3! 15
cos 1 ......... 1
2! 4!
αα
αα α
αα
α
αα
α
=? + ? ≈
= ++ + ≈
=? + ? =
(线性化 )
并且由此导出弦的长度近似不变：
(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
dx
dx
ds ≈≈
αcos
由牛顿第二定律：
1
()cos 0( 1Txαα?=
2
纵向：T(x+dx)cos 弦只作横振动）（）
2
21
2
()sin ()sin (,)
u
dx T x dx T x F x t dx
t
ραα
?
=+ ? +
?
横向 ：
(2)
其中：F(x,t)为单位长度弦所受到的强迫力
11 1
(,)
tan
uxt
x
αα α
?
≈≈ =
?
又sin
22 2
(,)
sin tan
ux dxt
x
αα α
?+
≈≈ =
?
(3)
由 (1)及 (4)
——张力与 x无关
将 (3)， (4)代入 (2)：
)()(1cos,1cos
21
xTdxxT =+?≈≈ αα
2
2
22
22
(,)(,)
[](,)
(,)
uuxdxtuxt
dx T F x t dx
tx
uu
TFxt
tx
ρ
ρ
??+?
=?+
??
?=+
??
定义： ，则有
讨论：
(a) 弦不受外力时，即 F(x,t)=0，则有：
2
0
xx
au?=
tt
u
比较杆和弦的振动方程，发现它们遵守完全相同的运动方程
——波动方程
(b) 二维、三维波动方程略。
ρρ /),(),(,/ txFtxfTa ==
),(
2
txfuau
xxtt
=?
—弦的强迫振动方程
— 一维波动方程
三、 波动方程的定解条件
1.初始条件——描述系统的初始状态
波动方程含有对时间的二阶偏导数 两个初始条件
——系统各点的初位移
——系统各点的初速度
2.边界条件——描述系统在边界上的状况
(1)第一类边界条件：给出未知函数 u 在边界上的值 (见教材 )
例：对于两端固定的弦的横振动，其边界条件为：
(0, ) 0
(,) 0
ut
ult
=
=
(2)第二类边界条件：给定未知函数 u 在边界上的法向导数值
例：杆在 x=0 端固定，在 x=l 端受外力 F(t)的作用，边界条件：
)()0,( xxu ?=
)()0,( xxu
t
ψ=
?
(0, ) 0ut=
（第一类 ）
()
(,)
x
Ft
ult
YS
=
（第二类 ）
考虑细杆 x=l 端的一小段 ，这一小段受到的力 ：
由牛顿第二定律 ：
令 ， 且 有限
),( ll ε?
x
lu
YtlPtlSPtF
?
??
=???
)(
),(),()(
ε
εε 其中
),()( tlSYutFSu
xtt
ερε ??=
0→ε
tt
u
YS
tF
tlu
tlSYutF
x
x
)(
),(
),()(0
=?
?=?
讨论：若 x=l 端既不固定，又不受 F(t)作用，即 x=l 为自由端，
则有
(,) 0
x
ult=
(3)第三类边界条件：给出边界上未知数 u 及其法向导数之间
的线性关系
例：杆在 x=0 端固定，在 x=l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的
拉力，其边界条件为：
(0, ) 0ut=
(第一类 )
(,) (,) 0
x
ult hult+=
(第三类 )
推导：
在 x=l 端受的力为 F(t)-ku(l, t)，则有
(,) (,) 0
x
ult hult?+=
3.衔接条件
在研究具有不同介质的问题中，在不同介质的界面处有
衔接条件
例：用两根不同介质的杆接成的一根杆的纵振动，在连接处
位移相等， 应力也相等， 在连接点 处有以下衔接条件：
00
12xx xx
uu
==
=
00
12
xx xx
uu
YY
==
??
=
其中： 、 为两根不同介质的杆的位移，
是杨氏模量
4. 其它定解条件：有限性条件，周期性条件
)(),(
),(
),(
YS
k
htlhu
YS
tlku
tlu
x
=?=?=
0
xx =
),(
11
txuu = ),(
22
txuu =
21
,YY
7.2 输运问题
一、 热传导方程
1. 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有
热量从高温处流向低温处
2. 方程的推导
设：介质中任一小体积： ，边界面： S，介质的比热 c；质量
密度：
介质中的热源： F(x， y， z， t)——热源密度：在单位时间，单
位体积中放出的热量
求：介质内各点温度 u(x， y， z， t)满足的方程
内介质吸收热量的来源：热传导，热源
对于热传导，有热传导的傅立叶定律：
vΔ
ρ
vΔ
在各向同性的介质中，热流强度 与温度的负梯度成正比：
(
0k >
：热传导系数 )
： 单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量， 即
dQ
q
dsdt
=
的方向：等温面的法线方向（由高温指向低温）
定律的物理意义： q 正比于温度的下降率
单位时间内流入 的热量：
单位时间内热源在 中释放的热量：
2
(, ,,)
v
QFxyztdv
Δ
=
∫
单位时间内， 中介质温度升高所需的热量:
q
K
ukq ??=
K
q
K
q
K
vΔ
vΔ
dvuksduksdq
vss
)()( ???=??=??
∫∫∫
Δ→
面积分
体积分
K K K
vΔ
3
312
2
2
22
22
)
()
() ()
a,
v
vv v
t
u
QcdV
t
QQQ
u
cdV kudV FdV
t
u
ckuF
t
k
ku k u k u
kF
f
cc
ua uf
V
au
ρ
ρ
ρ
ρρ
Δ
ΔΔ Δ
?
=
?
?=+
?
?=???+
?
?
?=???+
?
???? =??? =?
==
?=?+
Δ
?=?
∫
∫∫ ∫
t
能量守恒定律
（
均匀介质： 为常数
定义：
内无热源:f=0
u
二、 扩散方程
1.扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子从
高浓度处流向低浓度处。 （浓度：单位体积中的粒子数）
2.方程的推导：
设： 空间中任一小体积 ，边界面 S，粒子源强度：
F(x,y,z,t)——单位时间，单位体积内产生的粒子数。
求：空间各点粒子浓度 u(x,y,z,t)的方程
内粒子数增加的来源：扩散，粒子源
扩散浓度： ——单位时间通过垂直于 （粒子定向运
动速度）的单位面积的粒子数 N=uv，方向： 的方向
对于扩散现象，有斐克定律：
vΔ
vΔ
N
K
v
K
v
K
扩散强度
N
G
与浓度的负梯度成正比，即
NDu=? ?
G
D：扩散系数
由于扩散 内粒子增加数量：
粒子源
v?Δ
粒子增加数量：
v
Fdv
Δ
∫
导致 内粒子增加数量：
v
u
dv
t
Δ
?
?
∫
粒子数守恒：
()
()
vv v
u
dv D u dv Fdv
t
u
vDF
t
ΔΔ Δ
?
?=???+
?
?
Δ?=???+
?
∫∫ ∫
由 的任意性
若 D 为常数，且设
2
Da=
，则
22
t
uauF=?+
vΔ?
vΔ
dvuDsduDsdN
vss
)()( ???=??=??
∫∫∫
Δ→
面积分
体积分
K K
K
vΔ
内无粒子源：F=0
22
t
ua u?=?
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两者本质不同，
但满足同一微分方程
三、 热传导方程的定解条件
1. 初始条件
热传导方程含有对时间的一阶偏导数 只需要一个初始条件——
初始时刻的温度分布：
2. 边界条件
（1）第一类边界条件：给定温度在边界上的值
导热杆（一维问题）在 x=0 端保持为零度， x=l 端保持为 T 度
(0, ) 0
(,)
ut
ult T
=
=
?
),,(),,,(
0
zyxtzyxu
t
?=
=
三维： （ S——给定区域 v 的边界）
(2) 第二类边界条件：给定温度在边界上的法向导数值
（关键：物理意义）
（一维）导热杆： x=0 端绝缘、 x=l 端有热流流出
x=0 端：
00
() 0 0 ( )
xx
uu
qt k k
nx
==
??
= ? =? =? ?
0
(,)
0
x
uxt
k
x
=
?
?=
?
即
(0, ) 0
x
ut=
:() 0
()
()
(, )
xl
x
xl qt
u
qt k
x
qt
ulx
k
=
=≠
?
=?
?
?=?
端
),,,(),,,( tzyxtzyxu
s
?=
三维：有热流流出界面：
()
n
s
qtu
nk
?
=?
?
()
n
qt
：
q
G
的法线分量，
边界面绝热：
0
s
u
n
?
=
?
（ 3）第三类边界条件：给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系。
牛顿冷却定律： 单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质
的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
11
() ( )
s
qt k u u=?
：热交换系数； ：周围介质的温度
一维： x=l 端自由冷却
11
11
()
0: ( )
xl xl
xl xl
uu
csk skuuS
tx
u
kkuu
x
ε
ρε
ε
=? =
==
??
=+?
??
?
→? = ?
?
令
1
1
k
h
k
?
=
，则
1
1
(,) (,)
x
ult h u lt u
?
+=
0
1
>k
1
u
同理： x=0 端自由冷却
101
()
xx
uu
csk kuu
tx
ε
ρε
==
??
=? + ?
11
1
1
1
1
11
1
1
0: (0, ) [ (0, ) ]
(0, ) (0, )
(0, ) (0, )
()
()
x
x
x
ss
s
ku t k u t u
k
ututu
k
uthu t u
u
kkuu
n
u
uh u
n
ε
?
?
→=?
?=?
?? =
?
?=?
?
?
?+ =
?
三维：
小结：确定边界条件的基本方法与导出方程的基本方法类似，即从所讨论
现象服从的一般规律出发，考察与边界相连的代表元，得到函数在界面上
满足的关系式。要求对物理规律熟悉。
7.3 稳定场问题
一、静电场
介质：介电常数 ，电荷分布
(, ,)
f
xyzρ ?
电场强度
(, ,)Exyz
G
满足
0E?× =
G
——无旋场 （ 1）
f
E
ρ
ε
?? =
G
——有源场 （ 2）
引入电势：
Eu=??
G
又
2
2
0()0
2()
0
0
ff
f
uEu
uu
u
ρρ
εε
ρ
?×? = ??× =??× ? =
????? = ?? =?
=
?=?
G
代入（ ）式 ——泊松方程
无电荷分布： ，则
拉普拉斯方程
ε
二、稳定温度场
温度场：温度在空间的分布构成一个标量场
规律：
22
t
ua uf=?+
稳定状态： u 不随时间变化，则
2
2
f
u
a
?=?
——泊松方程
无热源： f=0
——拉普拉斯方程
三、稳定浓度场：方法同稳定温度场
四、稳定场方程的定解条件
不含初始条件，只含边界条件或其他条件
0
2
=? u
1. 边界条件
三类：第一、二、三类边界条件
2. 衔接条件：见教材。
3. 有限性条件
4. 周期性条件
