第六章 不定积分 6.1 不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导数、微分的概念。我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很多的运算。例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与这些已知的很熟悉的运算相类比。（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它的逆运算是什么？ 问题1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。例如（1）已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度；（2）已知曲线，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜式很快就能得到。如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称为不定积分。 定义：函数在区间上有定义，如果存在函数，使  称是函数（在区间上）的原函数。 例如：  （是const），所以是的原函数。 ，所以是的原函数。 ，所以是的原函数。 ，所以是的原函数。 问题2：函数的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。如果存在，其原函数是否唯一？ 对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。 显然由是的原函数，即，则  ， （是const） 即也是的原函数。由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个函数就有无限多个原函数。 问题3：函数的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为，是否每一个原函数都可表示为形式？换句话说，除了形式之外，是否还有其它形式的函数，也是的原函数？ 定理：如果是函数的原函数，则函数的无限多个原函数仅限于（是const）的形式。 证明：已知是的原函数，即  （1） 设是函数的另一个原函数，即  （2） 与（2）相减，有  由第6.1节，例1，（c是某个常数）或，亦即函数的任意一个原函数都是的形式。 这就给出了函数的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。 另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得到。 定义：函数的所有的原函数（是const），称为函数的不定积分。表为  （） 其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分常数。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如：  ， 有  ，  ，  我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算，积分运算是微分运算的逆运算。 对于一个运算有它的运算法则，有它的公式表，例如乘法运算的法则及其乘法表。 不定积分的性质及运算法则： 1． 或  亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。 证明：设是函数的原函数，即，则  2． 或  亦即函数的导数（或微分）的不定积分等于函数族。 证明：已知是函数的原函数，则 。 例如：     3．（齐次性），是常数，且。 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。 证明： ， 即 。 4．（可加性）。 即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和。 证明：  ＝ 即 。 此法则可推广到n个（有限）函数，即n个函数的代数和的不定积分等于n个函数不定积分的代数和。 3．4．表明积分运算是线性运算，亦即 。 当然，上式也可推出3．4。 类似于从乘法表得到除法表，我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表： 1．, 2． 3． 4． 特别 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 公式3的补充说明： （1）。 （2）。 于是，对或，都有 。 乘法表对于乘法运算相当重要，所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。 例1：求。 解：  ＝ ＝ ＝ ＝ 值得注意的是，等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数的代数和还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。 例2：求。 解：  ＝ ＝ ＝ 例3：求。 解：  ＝ 例4：求。 解：  ＝ ＝ 例5：求。 解：  ＝ ＝ ＝ 例6：求。 解：  ＝＝ ＝ 例7： 6.2分部积分法与变量替换法 虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则，以及积分公式表，但我们仅对较简单的函数易求不定积分，而对较复杂的就较难求了。 例如：就不能用运算法则来求。 另外，如亦不能用运算法则和公式来求。所以我们必须新辟途径来求不定积分。至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求，把不能用公式表示的化为用公式来表示。 分部积分法 如果和都是的可微函数，由函数乘积的导数公式，有：  或  从而由不定积分法则与不定积分定义，有：  亦即  （1） 或  （2） （1）或（2）式称为分部积分公式。 问题1：什么样的函数用分部积分公式？ 我们先来看看首先提出的问题。 例1：求。 解： 设,则，由公式（2）有： ＝ ＝＝ 如果没有分部积分公式，是无论如何也积不出来的。一般来说： 等等的不定积分要应用分部积分公式。 但是有一个问题，例如在例1中： 选取，用分部积分公式（2）求出与，则  由分部积分公式（2），有：  这样不正当的选取使得不定积分由简化繁，把问题变得更复杂了。 问题2．究竟怎样选取u、v才能使得对具体的被积函数不定积分化得比较简单呢？ 例2．求  解：设 ，  则 ， 。从而  =   =  由例1和例2启发，我们知道在 与  中，令 ，，， 。 例3．求  解：设 ，，则 ，，有  =  =  =  例4．求   解：设 ， ，则 ，  从而  =  =  =  由此可看到，形如  的不定积分中总是令 ， 从而  例5．求  解：类似于前面的，我们只须把的幂次降下来即可。所以，我们令 ，，从而  =  =  =  例6．求  ，  解：=  =  =  =  （3） 求不定积分  再用（2）  =  =  =  =  （4） 将（4）代入（3）得  =  =  或  =  =  虽然我们解决了形如  的不定积分，但对于形如  的不定积分我们不能解决。下面我们从这个实例开始讨论： 我们知道 ，如果我们把  表示成  即可。而此时。所以  这里实际上是令  （即 ），将  化成  = 。这里作了变换 ，也即 。 一般的，如果求不定积分  不能直接应用不定积分公式，通常将自变量用新变量的函数代替，令，当然，要求函数导函数连续且存在反函数，从而  上式称为变量替换公式 证明：   =  =  =  问题2．怎样用变量替换公式？ ①要求不定积分 ， 设 ，代入后得  ②要求不定积分 ， 设 ， 代入后得  例1．  解： 设 ，，有  =  =  =  例2．  解： 设 ，，有  =  =  =  =  熟练？？  =  =  例3．  =  =  例4．  =  =  =  =  例5．  =  =  =  例6．  =  =  =  例7．  =  =  例8．  =  =  例9．  与  解：  =  =  =  =   所以  =   =  =  =  例10．   解： 设 ， 则 ， ， ，   =  =  =  =  =  =  =  =  例11．   解： 设 ， 则  当  时， 存在反函数   =  =  =  =  =  ，  则  =  =  其中 ，也是任意常数。 例12．   解： 设 ， 则   =  =  =  =  例13． 问题3．不定积分表达式的多样形式    它们都属于同一个函数族，仅差一个常数。 问题4．如果表达形式不一样，怎样判断它们是相同的？ 如上，求导，所以只须要求导，看导数是否相同而定。 上面是从整个不定积分的性质来讨论问题，也就是一致性，下面从一些特殊的不定积分来予以讨论。大家知道，最简单的莫过于多项式，而多项式的不定积分是平凡的，比多项式稍微复杂的就是多项式的比值——有理函数。  要讨论有理函数的不定积分，先要弄清楚它本身的一些性质。 的次数大于的次数， 称为有理假分式，若的次数小于的次数，称为有理真分式。 当是假分式时，一定有多项式、，，使得  =  例如：  =  对  =  +  ① ② 由于①是显然的，所以只须求②。这说明对于有理分式的不定积分的讨论，仅须对真分式进行讨论。 又是有理真分式，任意多项式总能分解为一个常数，与形如  与  诸因式之积，其中是的n重根，二次多项式没有实根，有共轭复根，即有m重复根。设  其中 是正整数。 我们考虑问题总是想把复杂的问题转化为简单的问题讨论。较复杂，，较简单，较复杂，是不是也能化成较简单的形式呢？或者化成较简单形式的和积？ 根据代数的分项分式定理，有理分式能写成下列诸形式之和：  = ++ …… ++ …… + +++ …… ++ …… + +++ …… + + …… + ++ …… + 其中 ，都是常数，求常数的方法叫做待定系数法，通分，即得：  与的同次幂的系数相等，于是，得到一次？？？方程组，所以现在先讨论怎样分解分式 例1．  解： 设  =  =   从而有 1＝A(x＋a)＋B(x－a)＝(A＋B)x＋(A－B)a 则，得 于是 例2：将分成多项分式。 解：设 解得 A = 1, B = －3, C = －4, D = －1, E = －2 例3：将分成多项分式。 解：设 令x＝1, x＝－1, x＝0, x＝2, x＝－2  既然我们知道，任意有理分式都能记为形如  分式之和。这n, m是大于1的正整数，(x2＋px＋q)没有实根，即q－p2/4＞0。所以讨论有理分式的不定积分归结为四种类型有理分式的不定积分。 1.  2.  例4： 例5： 解： 解得 A＝4, B＝－1, C＝2 3.   例6： 解：设 解得 于是 4. 其中  设则  而这是关于Jm 递归公式，重复应用这个递归公式，最后就归结为  一般的，从J2到J3……从Jn-1到Jn，例如  例7：求 解：  由Jm的递推公式（m = 2, u = 1），有  于是  结论：有理函数存在初等函数的原函数（不定积分）。 不定积分总结 1711.  解： 1712.  解：  1822.  解： 2126.  解：  2135.  解：  而  2148.  解：  2138.  解：  令，可得