第十章 定积分及其应用 1 定积分的概念 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2． 设在可积，证明在上可积，且 . 3． 设  求证. 4． 若函数在上可积，其积分是，今在内有限个点上改变的值使它成为另一函数，证明也在上可积，并且积分仍为. 2 定积分的基本性质 设在连续，，不恒为零，证明 . 设在连续，，证明在上恒为零. 举例说明在可积，但在不可积. 比较下列各对定积分的大小： (1) ； (2) ； (3) . 5． 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 6． 证明： (1) ； (2) . 7． 设在连续，证明 ， 其中 . 设在连续，且，求证： . 设，求证 . 10．(1)设在上连续，且对上任一连续函数均有，证明. (2)设在上连续，且对所有那些在上满足附加条件的连续函数，有.证明：在上同样有. 11． 设在连续，求证： ， 而且等号成立当且仅当(或)，其中为常数。 设在连续，求证： ， 而且等号成立当且仅当(常数). 设在连续，，求证： . 设是严格单调增加的连续函数，是它的反函 数，证明  用一致连续定义验证： (1) 在上是一致连续的； (2) 在上是一致连续的； (3) 在上一致连续，但在上不一致连续； (4) 在上不一致连续. 3 微积分基本定理 计算下列定积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； 2． 求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 3． 若连续，求： (1) ； (2) ； (3) ； 4． 求下列极限： (1) ； (2) ； 5． 设在连续且单调递增，求证：函数  在上连续且单调递增。 4 定积分的计算 计算下列定积分 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) ； (12) ； (13) ； (14) ； (15) ； (16) ； (17) ； (18) ； (19) ； (20) ； 2． 计算下列定积分 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)  ； (6) ； 3． 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有 一个为奇函数. 4． 设在所示区间上是连续函数，证明： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 5． 计算积分. 6． 利用分部积分法证明：  设在连续，且，求证： (1) ； (2) ； 8． 设在时连续，对任意，积分值  与a无关，求证：（c为常数）. 9． 设在任一有限区间上可积分，且  求证：  5 定积分在物理中的应用初步 有一薄版，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力. 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高 出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。 某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。 设水的比重为1000. 半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要 作多少功？ 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1的力能使弹簧伸长1cm，问 把弹簧拉长10cm要作多少功？ 有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此 细棒的平均密度. 6 定积分的近似计算 已知，试把积分区间分成10等分，分别用梯形公式和抛物线 公式计算的近似值，精确到小数点后三位. 把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三 位： (1) ； (2) .