第二章 数列的极限 数列的极限 用定义证明下列数列的极限为零： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) . 2．用定义证明： (1) ； (2) ； (3) ，其中  (4) ，其中  3．用定义证明： (1) 若，则对任一正整数，有； (2) 若，则.反之是否成立？ (3) 若，且，则存在，当时，有； (4) 若，且，则. 4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ，，当时,有； (2) ，，当时,有； (2) ，，当时,有（为常数）. 5．若 收敛，能否断定、也收敛？ 6．设 ，且，求证： ，. 7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 8．求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ，； (9) ； (10) ； (11) ； (12) . 9．证明：若，中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则是发散数列；又问和是否也是发散数列？为什么？ 10．设，证明发散. 11．若为个正数，证明： . 12．设，证明： (1) ； (2) 若，则. 13．利用单调有界原理，证明存在，并求出它： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 14．若  证明：. 15．证明：若，且，. 16．设，证明： (1) ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若，则. 17．应用上题的结果证明下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 若，则. 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 19．证明：若为无穷大量，为有界变量，则为无穷大量. 20．(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21．利用，求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) .