第十三章 函数项级数 1 函数序列的一致收敛概念 1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ , ⑵  i)  ii)  ⑶   ⑷  i)  ii)  ⑸  i)  ii)  ⑹   ⑺  i)  ii)  iii)  ⑻   ⑼   ⑽   ⑾   ⑿  i)  ii)  2．设在上有界，并且在上一致收敛， 求证：在上一致有界. 3．设定义于，令  . 求证：在上一致收敛于. 4．设在内有连续的导数，且  求证：在闭区间上，一致收敛于. 5．设在上黎曼可积，定义函数序列   求证：在上一致收敛于零. 参数取什么值时，   在闭区间收敛？在闭区间一致收敛？使可在积分号下取极限？ 7．证明序列在闭区间上收敛，但  8．设在一致连续，且在一致收敛于. 求证：在上一致连续. 9．设是上的连续函数列，且在一致收敛于； 又，满足，求证  10．设在内一致收敛于，且  . 证明：和存在且相等，即 . 11．设在黎曼可积，且在一致收敛于， 证明：在黎曼可积. 2 函数项级数的一致收敛性及其判别法 1．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  2．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴  ⑵ . 3．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  ⑼  ⑽  ⑾  4．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  5．证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数虽在上绝对收敛，但并不一致收敛. 6．设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛. 7．若的一般项并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛. 3 和函数的分析性质 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性： ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  2．求证在内连续，并有连续导函数. 3．设求证： ⑴ 在上连续； ⑵ 在内无穷次可微. 4．证明在内连续. 5．设在内一致收敛，在上连续， 求证： ⑴ 在上一致收敛； ⑵ 在上连续. 6．设级数收敛，证明 . 证明  当时成立，从而证明 . 用有限覆盖定理证明迪尼定理. 9．设是内的一个数列，即，且 试讨论函数  在中的连续性.