第十四章 幂级数 1 幂级数的收敛半径与收敛区域 求下列各幂级数的收敛域. ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  ⑼  ⑽  ⑾  ⑿  ⒀  ⒁  ⒂  ⒃  2．设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ . 3．设︱︱≤M ，求证：当0＜＜时，有 ⑴ 收敛； ⑵ . 2 幂级数的性质 1．设当︱︱＜时收敛，那么当收敛时有 ， 不论当时是否收敛. 利用上题证明. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ; ⑸ ; ⑹ ; ⑺ ; ⑻ ; ⑼ ; ⑽ . 求下列级数的和： ⑴ ; ⑵ . 证明： ⑴ 满足方程； ⑵ 满足方程. 6．设是幂级数在上的和函数，若为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项. 7．设. ⑴ 求证：在连续，在内连续； ⑵ 求证：在点可导； ⑶ 求证：； ⑷ 求证：在点不可导. 3 函数的幂级数展开 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间. ⑴ ; ⑵  ⑶  ⑷ ; ⑸ ; ⑹  ⑺ ; ⑻  ⑼  ⑽ ; ⑾  ⑿  ⒀  ⒁  2．利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式： ⑴  ⑵ ; ⑶  3．将下列函数在指定点展开为泰勒级数： ⑴  ⑵  ⑶ ; ⑷  4．展开为的幂级数，并推出 5．试将展开成的幂级数. 6．设函数在区间内的各阶导数一致有界，即存在＞0，对一切，有 , 证明：对内任意点与，有