第十五章 傅里叶级数 1 三角级数与傅里叶级数 1．证明 (1) ，，， ，是上的正交系； (2) ，，， ，是上的正交系； (3) 1，，，，，是上的正交系； (4) 1，，，， ，不是上的正交系； 2．求下列周期为的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) . 3．设以为周期，在绝对可积，证明： (1) 如果函数在满足，则 ； (2) 如果函数在满足，则 . 2 傅里叶级数的收敛性 1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ； (2) ； 2．由展开式 ， (1) 用逐项积分法求，，在中的傅里叶展开式； (2) 求级数，的和. 3． (1) 在 内，求的傅里叶展开式； (2) 求级数的和. 4．设在上逐段可微，且. ，为的傅里叶系数，，是的导函数的傅里叶系数，证明： ，， . 5．证明：若三角级数  中的系数，满足关系 ， M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数. 6．设，求证： . 7．设以为周期，在上单调递减，且有界，求证：. 8．设以为周期，在上导数单调上升有界. 求证：. 9．证明：若在点满足阶的利普希茨条件，则在点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子. 10．设是以为周期的函数，在绝对可积，又设是的傅里叶级数的前n项部分和 ， 则 ， 其中是狄利克雷核. 11．设是以为周期，在连续，它的傅里叶级数在点收敛. 求证： . 12．设是以为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则. 13．设是以为周期，在绝对可积. 又设满足  存在. 证明. 进一步，若在点连续，则，其中 . 3 任意区间上的傅里叶级数 1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间展开  (2) ； (3) ； (4)  2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ； (2) . 3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ； (2)  4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1)  (2) . 5．把函数在上展开成余弦级数，并推出 . 6．将函数分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中  7．应当如何把给定在区间的可积函数延拓到区间内，使得它在中对应的傅里叶级数为： (1) ； (2) . 4 傅里叶级数的平均收敛性 1．若, 以为周期，在平方可积， ， ， 则 . 2．设在上平方可积，求证： ， 其中 .