第七章 导数的应用 1 函数的升降、凸性和函数作图 1．应用函数的单调性证明下列不等式： （1） （2） （3） （4） （5） 2．确定下列函数的单调区间： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 3．求下列函数的极值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4．设 （1）证明：是函数的极小值点； （2）说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5．证明：若函数在点处有，则为的极大值点. 6．设在处都取的极值，试定出和的值；并问这时在和是取得极大值还是极小值； (1) 求函数在上的极值； (2) 求方程有两个正实根的条件. 8.设，在实轴上连续可微，且  求证：的两实根之间一定有的根. 9.确定下列函数的凸性区间与拐点： （1） （2） （3） （4） 10.证明曲线有位于同一直线上的三个拐点. 11.问，为何值时，点为曲线的拐点？ 12.证明： (1) 若为下凸函数，为非负实数，则为下凸函数； (2) 若、均为下凸函数，则为下凸函数； (3) 若为区间上的下凸函数，为上的下凸递增函数，，则为上的下凸函数. 13.设为区间上严格上凸函数，证明：若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点. 14.应用下凸函数概念证明如下不等式： (1) 对任意实数有  (2) 对任何非负函数有 . 15.如何选择参数，方能使曲线  在（为给定的常数）处有拐点. 16.求的极值及拐点，并求拐点处的切线方程. 17.作出下列函数的图形： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）. 2 函数的最大值最小值问题 1．求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 （1） （2） （3） （4） （5） 2．给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大. 3.设用某仪器进行测量时，读得次实验数据为问以怎样的数值表达 所要测量的真值，才能使它与这个数之差的平方和为最小. 4.求内接于椭圆而边平行于坐标轴的面积最大的矩形. 5.点到抛物线最短距离. 6.做一个圆柱形锅炉，已知起容积为，两端面材料的每单位面积价格为元.侧材料的每单位面积价格为元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省？ 7.某村计划修建一条断面面积为的梯形渠道，侧面的坡度为（即底边与斜高间夹角满足），底边与斜高为多长时湿周最小.（根据经验，湿周最小时渠道过水能力最大.） 8.设炮口的仰角为，炮弹的初速为，炮口取作原点，发炮时间取作，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为：  若初速不变，问如何调整炮口的仰角，使炮弹射程最远.