第八章 实数的完备性 1 实数连续性的等价描述 1．求数列{Jn}的上、下确界： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  2．设在上定义，求证： (1)  (2)  3．设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何? 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界． 5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 2 实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样?试举例说明． 5．若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 (为有限数)． 6．有界数列若不收敛，则必存在两个子列． 7．求证：数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列． 8．设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界． 9．设在无界，求证：存在，对任给，函数在上无界． 10．设是上的凸函数，且有上界，求证：存在． 11．设在上只有第一类间断点，定义  求证：任意的点只有有限多个． 12．设在上连续且有界，对任意， 在上只有有限个根或无根，求证：存在． 3 实数的完备性 1，设在连续，求证：在一致连续的充要条件是 与都存在， 2．求证数列当时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1)  (2)  (3)  4．证明存在的充要条件是：对任意给定，存在，当时，恒有  5．证明在点连续的充要条件是：任给，存在，当时，恒有  6．证明下列极限不存在： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  7．设在上可导，单调下降，且存在，求证． 8．设在可导，且，任给，令  求证， (1) 存在； (2) 上述极限为的根，且是唯一的． 9．设在满足条件： (1)  (2) 的值域包含在内． 则对任意，令，有 (1) 存在； (2)方程的解在上是唯一的，这个解就是上述极限值． 4 再论闭区间上连续函数的性质 1．设在上连续，并且最大值点是唯一的，又设，使，求证  2．设在上连续，可微，又设 (1)  (2) 如果，则有， 求证：的根只有有限多个． 3．设在连续，，，求证：存在，使，且． 4．设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为和，求证：必存在区间，满足条件： (1)或； (2) ，当． 5．在连续，且，求证：存在，使． 6．设在上连续，且取值为整数，求证：常数． 7．设在上一致连续，，证明在上有界； 8．若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数，使得  证明：在上一致连续． 9．试用一致连续的定义证明：若函数在和上都一致连续，则在上也一致连续． 10．设在上连续，且与存在．证明；在上一致连续． 11．若在区间 (有穷或无穷)中具有有界的导数，即，则在中一致连续． 12．求证：在上一致连续． 13．设在上可导，且，求证：在上不一致连续． 14．求证：在上不一致连续． 5 可积性 1．判断下列函数在区间上的可积性： (1) 在上有界，不连续点为； (2)  (3)  (4)  2．讨论三者间可积性的关系． 3．设都在上可积，证明：  在上也是可积的． 4．设在上可积，且，求证： (1) 在可积； (2) 在可积． 5．设在可积，求证：任给，存在逐段为常数的函数，使 6．设在上有界，定义  求证  7．设在附近有定义且有界，定义  求证：在连续的充分必要条件为． 8．若函数在可积，证明：  其中 (这一性质称为积分的连续性)． 9．对任意省仨成立，求证：  10．设在有连续的导函数，求证：  11．设在可积，求证；存在连续函数序列，使  12．设在黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列使  且； (2) 存在，使得在点连续； (3) 在上有无穷多个连续点．