数学分析教学大纲 2005年3月修订 一、课程基本信息 1、课程中文名称：数学分析 2、课程类别：必修 3、适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 4、课程地位：基础课（主干课） 5、总学时：270学时 6、总学分：15学分 7、先修课程：①高中数学 ②空间解析几何 ③高等代数 ④普通物理 8、课程编码05111101 二、课程目标 1、本课程是高等师范院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。与中学数学的许多内容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。 2、通过本课程的讲授与作业应使学生： （1）使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，培养学生的辩证唯物主义观点； （2）正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。 （3）通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义史观。 3、本课程在第一、二、三学期开设， “大纲内容”括号内所注学时数是指讲授时数。 4、实施本大纲时，请注意以下几点： （1）在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排，可作适当调整。 （2）为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后，又如定积分中“上和与下和”，“可积条件”的证明可移到积分法之后，亦可移入实变函数中进行，可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。 （3）作为中学数学教师，应对“实数理论”有一定的理解。本大纲把“实数理论”作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。 （4）本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。 （5）体现师范性，重视应用性。 （6）强调素质教育，将素质教育贯穿于整个课程教学之中。 三、课程内容 第一章 函数（6学时） [教学目的与要求] 要求学生深刻理解函数概念，掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理和初等函数的概念，进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数。 [教学内容] 1、实数、区间与邻域 2、有界集、确界与确界原理 3、函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。函数的四种运算。复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数 4、具有某些特殊类型的函数：有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数 [附注] （1）为了与中学数学相衔接，建议用无限十数定义实数，并指出它的性质。 （2）在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“映射”的观点定义函数，并引用记号。 （3）在中学数学中的应用。 第二章 数列极限（10学时） [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握数列极限的定义，并会用定义证明数列的极限，能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。 [教学内容] 1、数列，数列极限的定义，无穷小数列 2、收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算及子列 3、有界单调数列极限存在定理。=e。柯西收敛准则 [附注] 在中学数学中的应用。 第三章 函数极限（10学时） [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握各种趋势函数极限的定义，学会用定义证明函数的极限，能熟练用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限，能利用极限存在准则判定函数极限存在或不存在，掌握无穷小量、无穷大量及其阶的概念。 [教学内容] 1、函数极限，定义，定义，单侧极限 2、函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算 3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），函数极限的单调有界定理和函数极限的柯西准则 4、两个重要极限：， 5、无穷小量及其阶的比较。记号0、、～。广义极限：，，的定义，无穷大量及其阶的比较，应用等价无穷小（大）量的代换法求极限 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）用等价关系的观点去处理等价无穷小量。 （3）可介绍函数情形的stolz公式和等价无穷大量。 第四章 函数的连续性（10学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握连续函数的概念，熟悉连续函数的局部性质及初等函数的连续性；了解函数间断点的分类，牢记闭区间上连续函数的性质，并能应用这些性质解决一些有关问题。 [教学内容] 1、在一点函数的连续性、单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数 2、连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。反函数的连续性 3、初等函数连续性 [附注] （1）在讲授“初等函数连续性”时，应给出“实指数的乘幂”的定义。 （2）在中学数学中的应用。 （3）在证明不等式中的应用。 （4）闭区间上连续函数性质的几个定理的证明可移入拓扑学中，教学时可直接用其结论。 （5）可引入记号。 第五章 导数与微分（14学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握导数、微分的概念和基本导数公式；掌握求导和微分法则，能熟练地计算初等函数的各阶导数和微分。 [教学内容] 1、导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义 2、求导法则：和、差、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数 3、微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性 4、高阶导数与高阶微分 5、由参量方程所确定的函数的导数 [附注] （1）结合求导举例，可介绍对数求导法。 （2）高阶导数的莱布尼茨（Leibniz）公式可述而不证。 （3）凑微法的应用。 （4）可引用记号。 第六章 中值定理与导数应用（16学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握中值定理与泰勒公式；理解中值定理的几何意义和证明方法，能熟练地利用洛必达法则求不定式的极限。能熟练地利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性及作函数的图象。 [教学内容] 1、费马（Fermat）定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西（Cauchy）中值定理 2、不定式极限 3、泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）。近似计算 4、函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值 5、函数的凸性与曲线的拐点 6、函数图象的讨论。洛必达（L'Hospital）法则。导数在经济学上的应用 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）可简介最优化动态。 第七章 实数的完备性（18学时） [教学目的与要求] 要求学生熟悉实数的基本定理及了解它们的等价性；掌握闭区间上连续函数性质的证明方法。 [教学内容] 1、确界与确界存在定理。区间套定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则。有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理 闭区间上连续函数性质的证明 上极限与下极限 [附注] （1）建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。 （2）在中学数学中的应用。 （3）可介绍附录：实数理论为了与分析的其它分支联系得更紧密，可主要介绍康托尔的基本序列说，戴德金的分割说仅介绍其大意。 第八章 不定积分（12学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握原函数与不定积分概念和性质，牢记基本积分公式，并能熟练应用换元积分法、分部积分法以及有理函数和三角函数有理式的积分法求不定积分。 [教学内容] 1、原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则 2、换元积分法。分部积分法 3、有理函数积分法。三角函数有理式的积分。几种无理函数的积分）等 [附注] （1）连续函数的原函数存在性的证明留待下一单元“定积分”中进行。 （2）可简介“积不出”问题。 第九章 定积分（20学时） [教学目的与要求] 要求学生理解定积分概念、掌握定积分性质、可积的必要条件和充要条件，熟悉几何可积函数类；能熟练运用牛顿一莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。 [教学内容] 1、引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义 2、可积的必要条件。上和、下和及其性质。可积的充要条件。可积函数类——在闭区间上连续函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、在闭区间上的单调函数 3、定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理 微积分学基本定理。牛顿-莱布尼茨公式。换元积分法。分部积分法。用定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）引入记号。 （3）的优缺点。 （4）为Lebesgue积分出现铺平道路。 第十章 定积分的应用（6学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握定积分在几何上的应用。 [教学内容] 1、简单平面图形面积 2、由截面面积求立体体积 3、曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面积函数的立体体积 4、旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等），积分在经济学上的应用 定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式方面的应用 [附注] （1）在定积分应用中，介绍“微元法”。 （2）在中学数学中应用。 第十一章 反常积分（8学时） [教学目的与要求] 要求学生能正确地判断反常积分的敛散性，能求简单的反常积分的值。掌握无穷限非正常积分概念，柯西收敛准则，绝对收敛与条件收敛，无穷限反常积分收敛性判别法（比较原则、柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法）。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法（比较原则、柯西判别法等）。 [教学内容] 1、反常积分概念 2、无穷限反常积分收敛性判别法。柯西准则。线性运算法则。绝对收敛。反常积分与数项级数的关系 3、瑕积分（无界函数反常积分概念），无界函数反常积分收敛性判别法 第十二章 数项级数（12学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握级数收敛、绝对收敛与条件收敛的概念；掌握判别级数收敛性的一些判别法，并能熟练运用适当的判别法判定级数的收敛性；了解绝对收敛级数的性质。 [教学内容] 1、级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基本性质 2、正项级数。比较原则。比式判别法与根式判别法。拉贝（Raabe）判别法与高斯判别法* 3、一般项级数的绝对收敛与条件收敛。交错级数。莱布尼茨判别法。阿贝尔（Able）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法*。绝对收敛级数的重排定理。条件收敛级数的黎曼（Riemann）定理* 第十三章 函数列与函数项级数（10学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握函数列、函数项级数收敛和一致收敛概念；并能熟练运用适当的判别法判定函数列和函数项级数的一致收敛性；掌握一致收敛函数列和函数项级数的性质，会利用一致收敛函数项级数的逐项可微和可积性求级数的和。 [教学内容] 1、函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念。一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法*。 函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分。 [附注] （1）强调应用。 （2）为L积分的控制收敛定理出现设入伏线。 第十四章 幂级数（10学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法；熟悉幂级数在收敛区间内的分析性质；会用直接和间接法将初等函数展开成幂级数。 [教学内容] 1、阿贝尔第一定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性。连续性。逐项积分与逐项微分。幂级数的四则运算 2、函数的幂级数展开，泰勒级数。泰勒展开的条件。初等函数的泰勒展开。近似计算。用幂级数定义正弦、余弦函数*。复变量的指数函数与欧拉（Euler）公式*。幂级数与母函数。在差分方程中应用 [附注] （1）幂级数的除法运算可通过举例作介绍。 （2）在近似计算中应包括e的计算与无理性证明，的计算等。 （3）在中学数学中应用。 第十五章 傅里叶（Fourier）级数（12学时） [教学目的与要求] 要求学生了解傅里叶级数收敛定理的条件与结论；能熟练地将函数展开为傅里叶级数。 [教学内容] 1、三角级数。三角函数系的正交性。傅里叶级数。贝塞尔（Bessel）不等式。黎曼-勒贝格（Riemann-Lebesgue）定理。傅里叶级数的部分和公式。按段光滑且以为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里叶级数 2、以为周期的函数的傅里叶级数。一致收敛性定理。傅里叶级数的逐项积分与逐项微分。维尔斯特拉斯的函数逼近定理* 第十六章 多元函数的极限与连续（12学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握平面点集和多元函数的有关概念；弄清二重极限与累次极限之间的区别和联系，深刻理解二元函数连续性；熟悉有界闭域上连续函数性质。 [教学内容] 1、平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。平面点集的基本定理——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理 2、二元函数概念。二重极限。累次极限 3、二元函数的连续性。复合函数的连续性定理。有界闭域上连续函数的性质。 n维空间与n元函数（距离、三角不等式、极限、连续等）* [附注] （1）建议用映射观点定义多元函数。 （2）有界闭域上连续性质的几个定理的证明可放入拓扑学中去，教学时可直接引用结论。 第十七章 多元函数的微分学（18学时） [教学目的与要求] 要求学生理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念，能熟练地计算多元函数偏导数和全微分；弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系。记住混合偏导数与求导顺序无关的条件；会求二元函数极值。 [教学内容] 1、可微性与全微分，偏导数及其几何意义。全微分概念。全微分的几何意义。全微分存在的充分条件。全微分在近似计算中的应用 2、复合函数的偏导数与全微分。一阶微分形式的不变性 3、方向导数与梯度 4、高阶导数及其与顺序无关性。高阶微分。二元函数泰勒定理。二元函数极值 5、多元函数微分学在经济学上的应用 [附注] 在极值举例中可介绍“最小二乘法”。 第十八章 隐函数定理及其应用（14学时） [教学目的与要求] 要求学生理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论。会求平面曲线的切线和法线、空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线；会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。 [教学内容] 1、隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导 2、隐函数组概念。隐函数组定理。隐函数组求导。反函数与坐标变换。函数行列式。函数相关* 3、几何应用（平面曲线的切线和法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线 4、条件极值与拉格朗日乘数法及其在经济学中的应用 [附注] （1）建议用映射观点阐述函数组，反函数与坐标变换的概念。 （2）强调坐标变换的应用。 （3）简介规划科学。 （4）隐函数存在定理证明可放入泛函分析之中。 第十九章 含参量积分（12学时） [教学目的与要求] 要求学生弄清含参量反常积分的一致收敛性的定义，熟悉判别含参量反常积分一致收敛性的基本方法，掌握含参量反常积分的连续性、可积性和可微性定理及其应用，了解函数与B函数概念和它们间的联系。 [教学内容] 1、含参量积分概念。连续性、可积性和可微性。积分顺序的交换 2、含参量反常积分的收敛与一致收敛。一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯判别法。连续性、可积性与可微性。积分顺序的交换* 3、函数与B函数 [附注] 强调应用。 第二十章 曲线积分（8学时） [教学目的与要求] 要求学生能利用定积分的知识求曲线积分的值及其应用。 [教学内容] 第一型曲线积分 2、第二型曲线积分概念与计算 第二十一章 重积分（19学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握二重积分与三重积分的定义和性质；能熟练运用适当的积分法计算二重积分和三重积分；熟悉重积分在几何方面的应用。 要求学生掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件和它们的应用。 [教学内容] 1、平面图形面积*。二重积分定义与存在性 2、格林公式、曲线积分的与路径的无关性 3、二重积分计算（化为累次积分）。二重积分的换元法（极坐标交换与一般交换） 4、三重积分定义与计算。三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换） 5、重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等） n重积分*。 无界区域上反常二重积分的收敛性概念。无界函数的反常二重积分 [附注] （1）用微元法讲重积分应用。 （2）在讲授无界区域上非正常二重积分时，介绍的计算。 （3）在讲重积分换元法时可介绍正交变换。 第二十二章 曲面积分（12学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握第一型和第二型曲面积分概念和计算方法；掌握高斯公式、斯托克斯公式的条件和它们的应用。 [教学内容] 1、第一型曲面积分概念计算 第二型曲面积分概念计算 3、奥斯特罗格拉特基-高斯公式。斯托克斯（Stokes）公式 4、向量函数微分学* 场论初步（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。 楔积、微分形式、外微分与一般斯托克斯公式*。 [附注] 本单元最后的*号部分仅作教学时选用之参考，教师可灵活掌握。 四、教学方法： 以讲授为主，配置一定数量的习题课。 坚持理论的严谨与直观背景相平行的方法。运用启发式进行课堂教学，注重素质创新教育。在教学过程中注意做到教书育人，注意结合数学分析课程的教学对学生进行爱国主义及献身教育事业的教育，向学生介绍我国的数学科学事业与数学教育事业的发展状况，在此领域中许多科学家的献身精神，激发学生的学习热情，即在讲授数学分析课时，以中华民族古代数学的辉煌成就，激发青年学生的爱国情感；分析中国近代数学落后的原因，激励青年学生振兴中华的宏图大志，为中华崛起而读书；以我国数学家热爱祖国的热情，进行爱国主义教育。 搞好数学分析课程改革与建设，开展教学研究，要不断更新教学方法。力争在教学上实现：（1）数学分析教改与教材建设必须融于大学与中小学数学教育改革的整体之中。（2）注意问题之间的密切相关性与系统性，从“唯有源头活水来”出发，挖掘问题的内在联系，培养学生掌握看问题的角度。（3）注意各门学科之间的交叉关系，将高等代数、实变函数、泛函分析、点集拓扑等相关内容与数学分析进行整合。在本课程教学上，逐步从单一的一块黑板、一支粉笔过渡到相应章节采用计算机多媒体辅助教学，图文并茂，形象生动，既要节省课时，又要提高学生的学习兴趣和学习积极性，逐步在教学中对所有章节都采用计算机辅助教学。使数学实验进入数学分析教学过程，促进我国加入WTO后高校课程的改革。 五、教材与参考书 教材： 华东师大数学系编 数学分析 北京：高等教育出版社，2001年6月第3版。 刘玉琏、傅沛仁编 数学分析讲议 北京：高等教育出版社，1992年6月 第3版。 张筑生编 数学分析新讲 北京：北京大学出版社 1990年1月第一版。 吉林大学数学系编 数学分析 参考书： 复旦大学数学系陈传璋编 数学分析 北京：人民教育出版社，1979年版 广阝荣雨、薛宗慈、蒋铎、陈平尚、李有兰 微积分学讲义 北京：北京师大出版社 许绍溥等编 数学分析 江苏南京：南京大学出版社，1991年版 胡适耕 现代分析引论 湖北武汉：华中理工大学出版社，1989年 Hewitt, E.StromberG,K.R. 孙广润译 实分析与抽象分析，天津：天律大学出版社，1994 李君华，姜进明，马永培编 微积分学选论 江苏南京：南京师范大学出版社，1998年版 Klambauer.G著 孙本旺译 数学分析，湖南人民出版社，1981年长沙 人民教育出版社中学数学编辑室 现行中学新课改（数学）教材 学习指导书： 郑英元、毛羽辉、宋国栋等 数学分析习题课课程（上、下册），北京：高 等教育出版社，1994年第2次印刷。 姚云飞 数学分析选讲 自编（内部使用） 姚云飞 凸函数的凸分析 自编（内部使用） 姚云飞 数学分析学习指导 自编（内部使用） Polya.G.Szego. G: Problems and Theorems in Analysis (Vol.1) Springer-Verlang, 1972. Gabriel. Klambauer: Problems and Propositions in Analysis, Printed in the United States of America 1979. 数学分析教学大纲修订小组 姚云飞 朱茱 倪秀芳 盛兴平 牛向阳