实变函数 简介
序言
微积分基本定理
)())()(( xfdttfRdxd x
a
??
?若 f(x)在 [a,b]上 连续,则
)()()(')( aFxFdttFR xa ???
?若 F `(x) 在 [a,b]上 连续,则
导数（切线斜率）
xi-1 xi
定积分（面积）
微积分发展的三个阶段
创立（ 17世纪）,Newton（力学） Leibniz（几何）
(无穷小 )
严格化（ 19世纪）, Cauchy,Riemann,Weierstrass
(极限理论 (ε-N,ε-δ语言 )，实数理论 )
外微分形式（ 20世纪初）,Grassmann,Poincare,Cartan
（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
微积分继续发展的三个方向
?外微分形式 (整体微分几何 )
（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
?复数域上的微积分（复变函数）
?微积分的深化和拓展（实变函数）
1.Riemann积分回顾
(1) Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）,
函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
i
n
i
iT
b
a
xfdxxfR ?? ??
?? 10||||
)(lim)()( ?
其中
iii
iii
xx
xxx
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1
(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
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i
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b
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lim)( dxxfxm b
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n
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1
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iii
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xi-1 xi xi-1 xi
(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
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1
,0,使得分划
iii
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1
1
其中,
xi-1 xi
(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
注：连续函数、
只有有限个间
断点的有界函
数和闭区间上
的单调函数
Riemann可积
?
????
的总长度不超过的小区间
，使得所有振幅分划，
i
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iiiii
n
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1
上的振幅在为其中 ],[)],,([ baffba?
ii xxfba
ii
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xi-1 xi
)()],,([ abfba ??? ???
例,Dirichlet函数不 Riemann可积。
注,D(x)的下方图形
可看成由 [0,1]中每个
有理点长出的单位线
段组成。
1
1
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i
n
i
i xT ?，有分划
1lim)(
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i
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上积分
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i
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下积分
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0 1
（ 3)Riemann积分的局限性
' ( ) ( ) ( )x
a
f t d t f x f a???
a.微积分基本定理
定理：若 f(x)在 [a,b]上可微且 f `(x)在 [a,b]上
Riemann 连续,则
注：推荐大家看看龚升写的
?,话说微积分,,, 简明微积分,,
?数学历史的启示（, 数学教学,, 2001.1）,
?微积分严格化后 (,高等数学研究,,2002,1-3）
? 1881年 Volterra作出一可微函数，导函数有界但不 Riemann可积；
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设 {r
n}为 [0,1]中全体有理数 (因为其为可数集，故可把它排成序
列 )，作 [0,1]上的函数列
? ?? ?,3,2,1)( },,,,{1 },,,,{]1,0[0 321
321
?? ? ?? nxf n
n
rrrrx
rrrrxn
?故对一般收敛函数列，在 Riemann积分意义下极限
运算与积分运算不一定可交换次序，即,
dxxfdxxf n
n
b
an
b
an )(lim)(lim ???? ?? ?
不一定成立。
? Qx Qxnn xDxf ?? ???? ?? ]1,0[1 ]1,0[0)()(lim
则 {fn(x)}在 [a,b]上 Riemann可积,但
不 Riemann可积。
Riemann积分
i
n
i
iT
b
a
xfdxxfR ?? ??
?? 10||||
)(lim)()( ?
xi-1 xi
为使 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积,
按 Riemann积分思想，必须使得
分划后在多数小区间上的振幅
足够小，这迫使在较多地方振动
的函数不可积。 Lebesgue提出,
不从 分割定义域 入手,
而从 分割值域 入手；
(积分与分割、介点集的取法无关 )
2.Lebesgue积分思想简介
1902年 Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中
提出（参见,Lebesgue积分的产生及其影响，数学
进展,2002.1）
i
n
i
iba mEdxxfL ??
??
?
10],[
lim)()( ?
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yi
yi-1
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iii yy ??? ?1
用 mEi 表示 Ei 的,长度,
Lebesgue积分思想
i
n
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10],[
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取“极限”
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yi
yi-1
f(x)在 Ei上的振幅不会大于 δ
i
n
i
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?
?
1
?作和
iii yy ??? ?1其中 mEi 表示 Ei 的,长度,,
Mxfmyy ii ???? ? )(,1 ?其中
Myyyym n ???????? ?210,0 作分划?即,
对此 Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说,
? 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的 面值
的大小分类,然后 计算每一类的面额总值, 再相加,
这就是 Lebesgue积分思想 ；
? 如不按面额大小分类，而是按从钱袋 取出的先后次序
来 计算总数,那就是 Riemann积分思想
（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会,
,高等理科教学,, 2000.1）
即采取 对值域作分划,相应得到对 定义域 的分划
（ 每一块不一定是区间 ）,
使得在每一块上的振幅都很小,
即 按函数值的大小对定义域的点加以归类
yi
yi-1
0 1
3.Lebesgue积分构思产生的问题
? (1) 集合 Ei 的“长度”如何定义 （第三章 测度论）；
? (2)怎样的 函数 可使 Ei 都有“长度” （第四章 可测函数）；
? (3)定义 Lebesgue积分 并研究其性质 （第五章 积分论）；
第一章 集合,第二章 点集,第六章 微分与不定积分
yi
yi-1
})(:{ 1 iii yxfyxE ??? ?
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
问题,时间 由 时刻 组成，每一时刻，甲、乙都在一 确定点 上由于
甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用,时刻数,一
样，从而跑过的 点的“个数” 也一样。
2
1
1 1 1 1 1
2 2 2 2nnn
?
?
? ? ? ? ? ??
0(甲 ) ?（乙） 3/4 7/8 15/16 1
甲的速度为 1，乙的速度为 1/2
(2) Hilbert旅馆问题
1,2,3,4,5,6,…
a1,a2,a3,a4,a5,a6,…
问下列情况是否能把新来的人安排下,
1 又来了有限个人 {b1,b2,b3,…, bn}
3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）
4 又来了 [0,1]个人
2 每个人带一个亲戚 {b1,b2,b3,…,bn,… }
Hilbert旅馆问题解答
1 b1,b2,b3,…,b n,a1,a2,a3,…
1,2,3,4,5,6,…
a1,a2,a3,a4,a5,a6,…
4 不能安排进去
（ [0,1]是不可数集 ）
2 b1,a1,b2,a2,b3,a3,…
3 a1,a2,a3,a4,…
a11,a12,a13,
a14,…
a21,a22,a23,
a24,…
a31,a32,a33,
a34,…
参考文献
? 周民强，实变函数 (论 )，北京大学出版社,1995.6(2001)
? 周性伟，实变函数，科学出版社,1998.9
? 胡适耕，实变函数，高等教育出版社,1999.7
? 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社,2002
? 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987
? 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社,1983.2
? Halmos，测度论 (Measure theory)
? Rudin,实分析与复分析 (Real and complex analysis),
? 实变函数论与泛函分析基础（第二版）,程其襄 等编,高等教育出版社,2003
年 7月,
? 北京九章图书 http://jiuzhang.chiuchang.com.tw/
? 互动出版网 http://www.china-pub.com/
教材：实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编,高
等教育出版社,2003年 7月,
序言
微积分基本定理
)())()(( xfdttfRdxd x
a
??
?若 f(x)在 [a,b]上 连续,则
)()()(')( aFxFdttFR xa ???
?若 F `(x) 在 [a,b]上 连续,则
导数（切线斜率）
xi-1 xi
定积分（面积）
微积分发展的三个阶段
创立（ 17世纪）,Newton（力学） Leibniz（几何）
(无穷小 )
严格化（ 19世纪）, Cauchy,Riemann,Weierstrass
(极限理论 (ε-N,ε-δ语言 )，实数理论 )
外微分形式（ 20世纪初）,Grassmann,Poincare,Cartan
（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
微积分继续发展的三个方向
?外微分形式 (整体微分几何 )
（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
?复数域上的微积分（复变函数）
?微积分的深化和拓展（实变函数）
1.Riemann积分回顾
(1) Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）,
函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
i
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)(lim)()( ?
其中
iii
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(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
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(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
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,0,使得分划
iii
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(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
注：连续函数、
只有有限个间
断点的有界函
数和闭区间上
的单调函数
Riemann可积
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的总长度不超过的小区间
，使得所有振幅分划，
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上的振幅在为其中 ],[)],,([ baffba?
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例,Dirichlet函数不 Riemann可积。
注,D(x)的下方图形
可看成由 [0,1]中每个
有理点长出的单位线
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1
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（ 3)Riemann积分的局限性
' ( ) ( ) ( )x
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a.微积分基本定理
定理：若 f(x)在 [a,b]上可微且 f `(x)在 [a,b]上
Riemann 连续,则
注：推荐大家看看龚升写的
?,话说微积分,,, 简明微积分,,
?数学历史的启示（, 数学教学,, 2001.1）,
?微积分严格化后 (,高等数学研究,,2002,1-3）
? 1881年 Volterra作出一可微函数，导函数有界但不 Riemann可积；
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设 {r
n}为 [0,1]中全体有理数 (因为其为可数集，故可把它排成序
列 )，作 [0,1]上的函数列
? ?? ?,3,2,1)( },,,,{1 },,,,{]1,0[0 321
321
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n
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?故对一般收敛函数列，在 Riemann积分意义下极限
运算与积分运算不一定可交换次序，即,
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不一定成立。
? Qx Qxnn xDxf ?? ???? ?? ]1,0[1 ]1,0[0)()(lim
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不 Riemann可积。
Riemann积分
i
n
i
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xi-1 xi
为使 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积,
按 Riemann积分思想，必须使得
分划后在多数小区间上的振幅
足够小，这迫使在较多地方振动
的函数不可积。 Lebesgue提出,
不从 分割定义域 入手,
而从 分割值域 入手；
(积分与分割、介点集的取法无关 )
2.Lebesgue积分思想简介
1902年 Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中
提出（参见,Lebesgue积分的产生及其影响，数学
进展,2002.1）
i
n
i
iba mEdxxfL ??
??
?
10],[
lim)()( ?
?
yi
yi-1
})(:{ 1 iii yxfyxE ??? ?
iii yy ??? ?1
用 mEi 表示 Ei 的,长度,
Lebesgue积分思想
i
n
i
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10],[
li m)()( ?
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取“极限”
})(:{ 1 iii yxfyxE ??? ?取点集
yi
yi-1
f(x)在 Ei上的振幅不会大于 δ
i
n
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1
?作和
iii yy ??? ?1其中 mEi 表示 Ei 的,长度,,
Mxfmyy ii ???? ? )(,1 ?其中
Myyyym n ???????? ?210,0 作分划?即,
对此 Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说,
? 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的 面值
的大小分类,然后 计算每一类的面额总值, 再相加,
这就是 Lebesgue积分思想 ；
? 如不按面额大小分类，而是按从钱袋 取出的先后次序
来 计算总数,那就是 Riemann积分思想
（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会,
,高等理科教学,, 2000.1）
即采取 对值域作分划,相应得到对 定义域 的分划
（ 每一块不一定是区间 ）,
使得在每一块上的振幅都很小,
即 按函数值的大小对定义域的点加以归类
yi
yi-1
0 1
3.Lebesgue积分构思产生的问题
? (1) 集合 Ei 的“长度”如何定义 （第三章 测度论）；
? (2)怎样的 函数 可使 Ei 都有“长度” （第四章 可测函数）；
? (3)定义 Lebesgue积分 并研究其性质 （第五章 积分论）；
第一章 集合,第二章 点集,第六章 微分与不定积分
yi
yi-1
})(:{ 1 iii yxfyxE ??? ?
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
问题,时间 由 时刻 组成，每一时刻，甲、乙都在一 确定点 上由于
甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用,时刻数,一
样，从而跑过的 点的“个数” 也一样。
2
1
1 1 1 1 1
2 2 2 2nnn
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? ? ? ? ? ??
0(甲 ) ?（乙） 3/4 7/8 15/16 1
甲的速度为 1，乙的速度为 1/2
(2) Hilbert旅馆问题
1,2,3,4,5,6,…
a1,a2,a3,a4,a5,a6,…
问下列情况是否能把新来的人安排下,
1 又来了有限个人 {b1,b2,b3,…, bn}
3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）
4 又来了 [0,1]个人
2 每个人带一个亲戚 {b1,b2,b3,…,bn,… }
Hilbert旅馆问题解答
1 b1,b2,b3,…,b n,a1,a2,a3,…
1,2,3,4,5,6,…
a1,a2,a3,a4,a5,a6,…
4 不能安排进去
（ [0,1]是不可数集 ）
2 b1,a1,b2,a2,b3,a3,…
3 a1,a2,a3,a4,…
a11,a12,a13,
a14,…
a21,a22,a23,
a24,…
a31,a32,a33,
a34,…
参考文献
? 周民强，实变函数 (论 )，北京大学出版社,1995.6(2001)
? 周性伟，实变函数，科学出版社,1998.9
? 胡适耕，实变函数，高等教育出版社,1999.7
? 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社,2002
? 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987
? 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社,1983.2
? Halmos，测度论 (Measure theory)
? Rudin,实分析与复分析 (Real and complex analysis),
? 实变函数论与泛函分析基础（第二版）,程其襄 等编,高等教育出版社,2003
年 7月,
? 北京九章图书 http://jiuzhang.chiuchang.com.tw/
? 互动出版网 http://www.china-pub.com/
教材：实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编,高
等教育出版社,2003年 7月,
