习题讲解
第三章 测度理论
1 设 E是直线上的一有界集，,则对任意小
于 的正数 c，恒有子集 E1，使
0??Em
Em? cEm ?? 1
[,]E a b?证明：由于 E有界，故不妨令
令 f(x)=m*(E∩[a,x])，则 f(a)=0,f(b)=m*E,
下证 f(x)在 [a,b]上 连续
[ a x1 x2 b ]
122121
1211
1212
]),([]),[(
]),[(]),[(]),[(
]),[(]),[()()(
xxxxmxxEm
xaEmxxEmxaEm
xaEmxaEmxfxf
?????
??????
?????
??
???
??
从而 f(x)在 [a,b]上（一致）连续；
由 界值定理 知，存在 ξ ∈ [a,b],使 f(ξ)=c,
令 E1=E ∩[a,ξ]，则 E1满足要求,
任 取 x1,x2 ∈ [a,b],x1<x2，则
[ a x1 x2 b ]
f(x)=m*(E∩[a,x])
2 设 A,B是 Rn的子集,A可测,证明等式
)()()()( BmAmBAmBAm ???? ?????
)()()()( BmAmBAmBAm ???? ?????
两式一结合即得
( ) ( )
( ) ( )
c
c
T A B m A B m A m B A
T B m B m B A m B A
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
取, 有 （ ）
取, 有 （ ）
( ) ( )nc
A
T R m T m T A m T A? ? ?? ? ? ? ? ?
由 于 可 测,
故, 有
证明,
注意,不要说直接两式相减,
因为 m*B可能为无穷,
3 设 A,B是 Rn的子集，证明不等式
)()()()( BmAmBAmBAm ???? ?????
两式一结合即得
）（ )()( cOBmOBmBm ???? ???
BmAmBmOmBmOBAm
OBmOBmOBAm
OBmBAmBAmBAm
c
??????
???
????
????????
???????
???????
))((
)()())((
)()( ）（）（
)())((
))(())((
c
c
OBmOBAm
OBAmOBAm
BAm
O
?????
??????
?
??
??
?
）（
可测，故由于
AmmOOAOG ??? 且，使型集作 ?证明,
注意,不要说直接
两式相减,因为
m*B可能为无穷,
**( ) ( ) 0 ( )nm O E m B E n? ? ? ? ? ?且
为可测集，，，则证明：令 OOEBO n
n
??? ?
? 1
为可测集，故 EO ?
* ( ) 0m O E??从 而 说明：也可通过
来证明
1 nnHA
?
???令
)( HEHE ???
nRE ? nn BEA ??
)(0)( ???? nABm nn
设,存在可测集列 {An},{Bn}，使得
且,试证明 E可测,
)( EOOE ???进一步 为可测集。
4
5 直线上可测集全体 A的势为
?2
?? 2A
再由 Bernstein定理知
2 2 2 2PRA??? ? ? ?从而
?又 P,R的势都为
22PRA??
证明：令 Cantor集为 P,由于 Cantor的测度为 0,
从而它的子集都可测，故