4.5 绝对连续函数
本讲目的,掌握绝对连续函数的定义,，
熟悉绝对连续函数的基本性质 。 熟练掌
握 Newton-Leibniz公式成立的充要条件 。
重点与难点, Newton-Leibniz公式的
证明 。
第四节 微分与不定积分
第五节 绝对连续函数
一,绝对连续函数的定义
现在回到我们最初的问题上来,
牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？
第五节 绝对连续函数
从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，
有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使
牛顿 — 莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，
这正是下面要引入的
定义 8 设 f是 [a,b]上的函数，若对任意,
存在,使得对于 [a,b]中的任意一组分点,
,
只要,便有
,
则称 f是 [a,b]上的 绝对连续函数,或称 f在 [a,b]
上 绝对连续 。
0??
0??
nn bababa ??????,..2211
?
?
??
n
i
ii ab
1
)( ?
?
?
??
n
i
ii afbf
1
|)()(| ?
第五节 绝对连续函数
二,牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件
从定义立知,[a,b]上的绝对连续函数一定是一致连
续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？
假设 是 [a,b]上的绝对连续函数，于是对任意,
存在,使得只要,
就有
,
取正整数 N，使得,
将分成 N等分，设分点为
f 0??
0?? ?
?
??
n
i
ii ab
1
)( ?
????
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n
i
ii afbf
1
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???N ab
byyya N ????? ?10
第五节 绝对连续函数
对 [a,b]的任一分划 添
加进去，得新的分划,于是
010 }{,,??????? kkn Nybxxxa 将?
)(~~~:~ 10 Nnmbxxxa m ??????? ?
?NxfxfxfxffVfV ii
yxxy
m
j
ii
m
i iiij
???????? ?
????
?
?
???
??
|)~()~(||)~()~(|),~(),( 1
~~111 11
因此, 。 这就是说,连续函数一定是
有界变差函数 。 下面的定理指出,对绝对连续函数,
牛顿 — 莱布尼兹公式是成立的 。
???? ?NfV ba )(
第五节 绝对连续函数
定理 9 设 上 的绝对连续函数,
则 上几乎处处可微,
上 Lebesgue可积, 且
],[)( baxf 是
],[)( baxf 在
],[)(' baxf 在
? ??],[ )()()('ba afbfdxxf
证明：由上面的讨论, 显然仅需证明等式
? ??],[ )()()('ba afbfdxxf 成立 。
第五节 绝对连续函数
对于 记令 ),()(,bfxfbx ??
)],()
1
)([
1
)()
1
(
)( xf
n
xfn
n
xf
n
xf
xn ???
??
?
则 上的可积函数, 且
],[ ban是?
].,[..)(')(lim baeaxfxnn ??? ?
第五节 绝对连续函数
往证 上积分等度绝对连续的函数序列。任取
使得定义 8中的不等式成立。设
内一列互不相交的区间,使
得,则对任意正整数,有
],[}{ ban 是?
?
?
?
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1
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],[,,2,1),,( baiba ii 是??
0,0 ?? ?? 存在
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第五节 绝对连续函数
],[ bax ?从而对任意, 有
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进而
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第五节 绝对连续函数
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由积分的绝对连续性易知
，,
?? ?? ?
?
|)(|
1
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i
ii ba
n dxx
?,3,2,1?n
第五节 绝对连续函数
进而对任意开集, 只要, 便有
],[ baG ? ??mG
?? ?? |)(| G n dxx ?,3,2,1?n
若 ],[ baA ? 是 型集,是开集
?G ?
?
?
?
1
,
k
kk GGA
??mA,则可设, 当 k充分大时, 也有 kk GG ?? 1
??kmG,因此由 ? ??
?? kG
A
nnk dxxdxx )()(lim ??
（ 为什么？ ） 立得
第五节 绝对连续函数
?? ?? |)(|
A
n dxx ?,3,2,1?n
现设 是任意可测集，,则可找到
],[ baA ? ??mA
??G 型集 AG ? 。使,??? mAmG
于是
,|)(||)(| ??? ?? ??
G
n
A
n dxxdxx
?,3,2,1?n
这说明 具有积分等 )}({ x
n?
度绝对连续性, 由 Vitali
定理立知
第五节 绝对连续函数
? ?? ??? ?? ]1,[ ]1,[ ])()([lim
n
bb
n
aan
dxxfdxxfn
? ??? ?? ],[ )]()1([lim ban dxxfnxfn
?? ???? ],[],[ )(lim)( ba nnba dxxdxxf ?
)()( afbf ??
证毕 。
第五节 绝对连续函数
定理 9告诉我们, 绝对连续函数的确可以表示成
其导函数的 Lebesgue积分, 但问题尚未得到圆满解
决, 因为我们还不知道绝对连续性是否为牛顿一莱
布尼兹公式成立的必要条件, 现在就来讨论这个问
题 。
定理 10 设 上的 Lebesgue可积函
数，且对任意 则
],[)( baxf 是
,则 。
? ?],[ 0)(xa dxxf
],.[.0)( baeaxf ?
],,[ bax ?
第五节 绝对连续函数
证明：由
? ?],[ 0)(xa dxxf
及积分的基本性质不难得知对 [a,b] 内任意区间 I，有
? ?1 0)( dxxf,于是对 [a,b]内任意开集 G,也有
? ?G dxxf 0)(,对 [a,b]内任意闭集 F,令,),( FbaG ??
则 G是开集，注意到 ?? ?
],[),( )()( baba dxxfdxxf
,从而
?? ?? GbaF dxxfdxxf ),( )()(
0)()(),( ??? ?? Gba dxxfdxxf
第五节 绝对连续函数
现设 E是 [a,b]内任一可测集，则对任意正整数 n,
存在闭集,使得,由 EF
n ? nFEm n
1)( ?? 积分的绝对
连续性知对任意,存在 N,0?? 当 时 Nn ?
.|)(| ?
?
?
nFE
dxxf ?
,有
因此,|)(||)(||)(| ??? ??
? nn FFE
E
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??? ? ? |)(|
nFE
dxxf
第五节 绝对连续函数
由 的任意性知 。
? ? ?
E
dxxf 0)(
如果,则,
}0)(|],[{2 ??? xfbaxE
}0)(|],[{1 ??? xfbaxE0)( ?xf
,至少有一个是 正测度集。
从而存在正整数 n,使 或 0}1)(|{
1 ?? nxfxmE
0}1)(|{2 ??? nxfxmE
不妨设 0}1)(|{
1 ?? nxfxmE
。
，则
dx
n
dxxf
n
xfxE
n
xfxE
??
??
?
}1)(|{}1)(|{ 11
1
)(
第五节 绝对连续函数
0}1)(|{1 1 ??? nxfxmEn
这与上面的证明矛盾, 故必有 证毕 。
,.0)( eaxf ?定理 11 设 是 上的 Lebesgue可积函数,
],[ ba)(xf
? ?? ],[ )()( xa cdxxfxF,bxa ?? 其中 c是任意常数，则
是)(xF 上的绝对连续函数,],[ ba 且 。 ],.[.)()( baeaxfxF ??
证明：由积分的绝对连续性立得 上的绝对连 是)(xF ],[ ba
续函数,于是 几乎处处可微,)(xF 且 在 上可积,)(xF? ],[ ba
第五节 绝对连续函数
并有
]),[()()()(
],[ baxdttFaFxF xa ???? ?
。
又由 F的定义知
dttfaFxF xa )()()( ],[???,所以
对任意 ],[ bax ?,有
0)]()([],[ ???? dttftFxa 。
由定理 10便得 证毕..)()( eaxfxF ?? 。
至此我们得到了：一个函数等于其导数的 Lebesgue积
分当且仅当该函数为绝对连续函数 。 由此可以证明, 对
于绝对连续函数, 分部积分公式及换元公式都是成立的 。
具体说来即有下面的
第五节 绝对连续函数
推论 1（ 分部积分法 ） 设, 均为 上的绝
对连续, 则
],[ ba)(xg)(xf
?? ?? ],[],[,)()('|)()()(')( baba ba dxxgxfxgxfdxxgxf
推论 2（换元法） 若设 是 上的可积函数,
是单调绝对连续函数,
)(xf )(xg],[ ba
则),(),( ?? gbga ??
?? ?? ],[],[ )(')(()()()( ?? dttgtgfxgxfdxxfba
推论 1与推论 2的证明作为练习留给读者 。
本讲目的,掌握绝对连续函数的定义,，
熟悉绝对连续函数的基本性质 。 熟练掌
握 Newton-Leibniz公式成立的充要条件 。
重点与难点, Newton-Leibniz公式的
证明 。
第四节 微分与不定积分
第五节 绝对连续函数
一,绝对连续函数的定义
现在回到我们最初的问题上来,
牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？
第五节 绝对连续函数
从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，
有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使
牛顿 — 莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，
这正是下面要引入的
定义 8 设 f是 [a,b]上的函数，若对任意,
存在,使得对于 [a,b]中的任意一组分点,
,
只要,便有
,
则称 f是 [a,b]上的 绝对连续函数,或称 f在 [a,b]
上 绝对连续 。
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第五节 绝对连续函数
二,牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件
从定义立知,[a,b]上的绝对连续函数一定是一致连
续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？
假设 是 [a,b]上的绝对连续函数，于是对任意,
存在,使得只要,
就有
,
取正整数 N，使得,
将分成 N等分，设分点为
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第五节 绝对连续函数
对 [a,b]的任一分划 添
加进去，得新的分划,于是
010 }{,,??????? kkn Nybxxxa 将?
)(~~~:~ 10 Nnmbxxxa m ??????? ?
?NxfxfxfxffVfV ii
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m
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因此, 。 这就是说,连续函数一定是
有界变差函数 。 下面的定理指出,对绝对连续函数,
牛顿 — 莱布尼兹公式是成立的 。
???? ?NfV ba )(
第五节 绝对连续函数
定理 9 设 上 的绝对连续函数,
则 上几乎处处可微,
上 Lebesgue可积, 且
],[)( baxf 是
],[)( baxf 在
],[)(' baxf 在
? ??],[ )()()('ba afbfdxxf
证明：由上面的讨论, 显然仅需证明等式
? ??],[ )()()('ba afbfdxxf 成立 。
第五节 绝对连续函数
对于 记令 ),()(,bfxfbx ??
)],()
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)( xf
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??
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则 上的可积函数, 且
],[ ban是?
].,[..)(')(lim baeaxfxnn ??? ?
第五节 绝对连续函数
往证 上积分等度绝对连续的函数序列。任取
使得定义 8中的不等式成立。设
内一列互不相交的区间,使
得,则对任意正整数,有
],[}{ ban 是?
?
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第五节 绝对连续函数
],[ bax ?从而对任意, 有
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这说明 具有积分等 )}({ x
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度绝对连续性, 由 Vitali
定理立知
第五节 绝对连续函数
? ?? ??? ?? ]1,[ ]1,[ ])()([lim
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第五节 绝对连续函数
定理 9告诉我们, 绝对连续函数的确可以表示成
其导函数的 Lebesgue积分, 但问题尚未得到圆满解
决, 因为我们还不知道绝对连续性是否为牛顿一莱
布尼兹公式成立的必要条件, 现在就来讨论这个问
题 。
定理 10 设 上的 Lebesgue可积函
数，且对任意 则
],[)( baxf 是
,则 。
? ?],[ 0)(xa dxxf
],.[.0)( baeaxf ?
],,[ bax ?
第五节 绝对连续函数
证明：由
? ?],[ 0)(xa dxxf
及积分的基本性质不难得知对 [a,b] 内任意区间 I，有
? ?1 0)( dxxf,于是对 [a,b]内任意开集 G,也有
? ?G dxxf 0)(,对 [a,b]内任意闭集 F,令,),( FbaG ??
则 G是开集，注意到 ?? ?
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,从而
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第五节 绝对连续函数
现设 E是 [a,b]内任一可测集，则对任意正整数 n,
存在闭集,使得,由 EF
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连续性知对任意,存在 N,0?? 当 时 Nn ?
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因此,|)(||)(||)(| ??? ??
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第五节 绝对连续函数
由 的任意性知 。
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,至少有一个是 正测度集。
从而存在正整数 n,使 或 0}1)(|{
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不妨设 0}1)(|{
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第五节 绝对连续函数
0}1)(|{1 1 ??? nxfxmEn
这与上面的证明矛盾, 故必有 证毕 。
,.0)( eaxf ?定理 11 设 是 上的 Lebesgue可积函数,
],[ ba)(xf
? ?? ],[ )()( xa cdxxfxF,bxa ?? 其中 c是任意常数，则
是)(xF 上的绝对连续函数,],[ ba 且 。 ],.[.)()( baeaxfxF ??
证明：由积分的绝对连续性立得 上的绝对连 是)(xF ],[ ba
续函数,于是 几乎处处可微,)(xF 且 在 上可积,)(xF? ],[ ba
第五节 绝对连续函数
并有
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又由 F的定义知
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对任意 ],[ bax ?,有
0)]()([],[ ???? dttftFxa 。
由定理 10便得 证毕..)()( eaxfxF ?? 。
至此我们得到了：一个函数等于其导数的 Lebesgue积
分当且仅当该函数为绝对连续函数 。 由此可以证明, 对
于绝对连续函数, 分部积分公式及换元公式都是成立的 。
具体说来即有下面的
第五节 绝对连续函数
推论 1（ 分部积分法 ） 设, 均为 上的绝
对连续, 则
],[ ba)(xg)(xf
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推论 2（换元法） 若设 是 上的可积函数,
是单调绝对连续函数,
)(xf )(xg],[ ba
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推论 1与推论 2的证明作为练习留给读者 。
