4.3 单调函数的可导性
目的,熟悉左, 右导数的概念, 理解为
什么单调函数几乎处处有有限导数 。
重点与难点,单调函数的可导性及其证
明 。
第四节 微分与不定积分
基本内容,
一, 导数定义
问题 1：回忆微积分中导数的定义,
如何判断导数是否存在？
第三节 单调函数的可导性
从数学分析知道,上的函数
在 处的可导性等价于
这也是我们讨论函数可导性的一个常用
的方法。因此，我们也给上面的左、右
极限一个名称，这就是
第三节 单调函数的可导性
],[ ba )( xfy ?
],[0 bax ?
.)()(lim)()(lim 00
0
00
0 h
xfhxf
h
xfhxf
hh
?????
?? ??
(1) 左下、左上、右下、右上导数
定义 3 设 是 上的有限
函数，,记
第三节 单调函数的可导性
)( xfy ? ],[ ba
),(0 bax ?
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
00
???
??
?
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
0
0
???
???
第三节 单调函数的可导性
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
00
???
??
?
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
0
0
???
???
分别称 为 f 在
点 右上、右下、左上、左下导数 。
fDfDfDfD ????,,,
0x
当 f 在 点有有限导数时，也称
f 在 点 可微 。
第三节 单调函数的可导性
显然, f 在 点有导数当且仅当
0x
)()( 00 xfDxfD ?? ?
).(')()( 000 xfxfDxfD ??? ??
0x
0x
第三节 单调函数的可导性
(2) 导数的存在性与可导性
上述定义与数学分析中导数定义有一点
差别。事实上，在数学分析中，讲导数
通常都是指可导，也就是说，其导数是
一个有限数，此处则不同，导数值可以
取 ∞，因此，当 时，
我们称 f 在该点有导数，而不说在该点
是可导的，就是由于这个缘故。
fDfDfDfD ???? ???
第三节 单调函数的可导性
(3) 导数值为 ∞的例子
,
0,1
0,0
0,1
s g n)(
?
?
?
?
?
??
?
?
??
x
x
x
xxf
0?x
从 这个例子不难看到，函数在一点有
导数并不意味着它在该点连续，上述
函数在 点就是间断的。
例 设
则 。 ??)0('f
定义 4 设 f 是 上的连续函数,
若存在 使得
,
则称 x 是 f 的 右受控点,简称为 右控点 。
若 存在，使
,
则称 x 是 f 的 左受控点,简称为 左控点 。
二, 单调函数的可导性
(1) 左, 右控点的定义
第三节 单调函数的可导性
],[ ba ),,( bax ?
),(' bxx ?
)'(')( xfxf ?
),(~ xax ?
)~()( xfxf ?
第三节 单调函数的可导性
(2) 左、右控点集的性质
问题 2：为什么要引入左、右控点概念？
其实质是什么？
第三节 单调函数的可导性
引理 2(F.Riesz) 设 f 是 [a,b] 上的连续
函数，则 f 的右 ( 或左 ) 控点集 E 是
一开集，而且，若 是 E 的构
成区间全体，则有
或 ( )。
)},{( kk ba
)()( kk bfaf ? )()( kk afbf ?
证明：设 E 是 f 的右控点集，,于
是存在,使得 。
取,使,由 f 的连
续性知存在,当 时，
有,故当
时,。这
就是说,中点都是 f 的右控点，
从而 是 E 的内点，即 E 是开集。
第三节 单调函数的可导性
Ex ?0
),( 01 bxx ? )()( 10 xfxf ?
0?? )()( 10 xfxf ?? ?
0?? ),( 0 ?xOx ?
?? ???? )()()( 00 xfxfxf
),( 0 ?xO
?x
)()()( 10 xfxfxf ??? ?
),( 0 ?xO
0x
设 是 E 的构成区间，
往证对任意,有 。若
不然，则有,使,
由于 是右控点，故存在,
使 。记,
,则显然有,所
以 必不等于 。
第三节 单调函数的可导性
?
k
kkkk babaE ),(),,(?
),( kk bax ? )()( kbfxf ?
),(0 kk bax ? )()( 0 kbfxf ?
Ex ?0 ),( 01 bxx ?
)()( 10 xfxf ?
)(|s u p {~ 110 xfxx ?
)~()( 00 xfxf ?
0~x kb
)},( 01 bxx ?
第三节 单调函数的可导性
我们断言, 必有, 否则由
便知 也是右受控点，这与 矛盾。
然而，又不可能有,因为这样的
话，由 知,
于是又存在,使 。
从而,这与 的定
义矛盾。
0~xbk ?
? ? )~()( 00 xfxfbf k ??
kb Ebk ?
0~xbk ?
kbxx ?? 00 ~ Ebxx k ?? ),(~ 00
),~( 02 bxx ? )()~( 20 xfxf ?
)()~()( 200 xfxfxf ?? 0~x
因此对任意,必有,
由的连续性 。对于左控点
集可类似证明，证毕。
不连续时，只要其不连续点都是第一类
的，也可以定义右、左控点。
第三节 单调函数的可导性
)()( kbfxf ?),( kk bax ?
)()( kk bfaf ?
定义 5 设 f 是 上的函数，且只有
第一类不连续点。对,若有
,使得
,
则称 x 是 f 的 右受控点,简称为 右控点 。
类似地，若有,使
,
则称 x 是 f 的 左受控点,简称为 左控点 。
第三节 单调函数的可导性
],[ ba
),( bax ?
),( bx
)()}0(),0(),(m a x { xfxfxfxf ????
),( xax ??
)()}0(),0(),(m a x { xfxfxfxf ????
??x
第三节 单调函数的可导性
引理 3(F.Riesz) 设 f 是 上只有第
一类不连续点的函数，则 f 的右控点
( 左控点 ) 全体 E 是开集，若
是 E 的构成区间，则
。
],[ ba
)},{( kk ba
) })0(),0(),(m a x {)0( ???? kkkk bfbfbfaf
第三节 单调函数的可导性
证明：只对右控点集证之，左控点情形
可类似证得。设,则存 在,使
得 。由
左、右极限定义知对任意,存在
,使得当 时，有
,
当 时，有
。
Ex ?0 ),( 01 bxx ?
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???
0??
0??
???? 00 xx
?? ?????? )0()()0( 00 xfxfxf
???? xx 00
?? ?????? )0()()0( 00 xfxfxf
从而当 时,
,
由于,
故可选,使
,
这说明中的所有点也是右控点，所以 E
是开集。
第三节 单调函数的可导性
),( 0 ?xOx ?
)}0(),0(),(m a x {)(~ ??? xfxfxfxf
????? )}0(),0(),(m a x { 000 xfxfxf
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???
0??
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???? ?
第三节 单调函数的可导性
设 是 E 的构成区间，往证对任
意,有
。
事实上，若不然，则存在 使
。
注意到 是 f 的右控点，故存在
,使得
。
),( kk ba
)}0(),0(),(m a x {)( ??? kkk bfbfbfxf
),(0 kk bax ?
)}0(),0(),(m a x {)( 0 ??? kkk bfbfbfxf
0x ?1x
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???
),( kk bax ?
),( 0 bx
第三节 单调函数的可导性
),(m a x {|),(s u p {~ 0011 xfbxxx ??
)}0(),0(),(m a x { 000 ?? xfxfxf
) },0~(),0~(),~(m a x { 111 ??? xfxfxf
) },()}0(),0( 100 xfxfxf ???
记
显然
这说明 。
第三节 单调函数的可导性
)()}0(),0(),(m a x { 0000 xfxfxfxf ???
)}0~(),0~(,~(m a x { 111 ?? xfxfxf
kbx ?1~
) },0(),0(),(m a x { ??? kkk bfbfbf
) },0(),0(),(m a x { ??? kkk bfbfbf
因为
从而
第三节 单调函数的可导性
我们证明不可能有 。事实上，若
,则由于 是
之上确界，故对任意,存在,
使 。
kbx ?1~
1~x
),(m a x {|),({ 0010 xfbxxF x ??
0?? 0xFx ??
11 ~~ xxx ??? ??
) },()}0(),0( 100 xfxfxf ???
kbx ?1~
第三节 单调函数的可导性
从而由
,
立知
。
所以 也是 f 的右控点，这与假设
是 E 的构成区间矛盾。
)()}0(),0(),(m a x { 000 ?xfxfxfxf ???
)()}0(),0(),(m a x { ?xfbfbfbf kkk ???
kb
),( kk ba
另一方面，我们也可证明不能有 。
若不然，由 得,于是存
在,使
,
进而
。
第三节 单调函数的可导性
kbx ?1~
kbxx ?? 10 ~ Ex ?1~
),~( 12 bxx ?
)()}0~(),0~(),~(m a x { 2111 xfxfxfxf ???
)}0(),0(),(m a x { 000 ?? xfxfxf
)()}0~(),0~(),~(m a x { 2111 xfxfxfxf ????
第三节 单调函数的可导性
这与 的定义矛盾，综上得,
但这又与 的假设矛盾，故对任意
,有
,
证毕。
1~x kbx ?1~
0x
),( kk bax ?
)}0(),0(),(m a x {)( ??? kkk bfbfbfxf
第三节 单调函数的可导性
(3) 单调函数几乎处处有有限导数
的证明
定理 4 设 f 是 [a,b] 上的单调有限
函数，则 f 在 [a,b] 上几乎处处有
有限导数。
第三节 单调函数的可导性
证明：不妨设 f 是单调增加的 ( 递减情
形可考虑 )。由于 f 的不连续点全体
E 是可数集，故可去掉这些点，记
。我们首先证明
(1)
?F
0})(|{* ????? xfDxFm
f?
Eba ?],[
为此，对任意正整数 n，记
则存在,使
第三节 单调函数的可导性
nn FxnxfDxFF ??? ? 0},)(|{
0xx ?
( * ).)()(
0
0 n
xx
xfxf ?
?
?
令,则 仅有第一类
不连续点，且当 时,
nxxfxf ?? )()(~ f~
bx ?
),0()}0(),0(),(m a x { ???? xfxfxfxf
).()}0(),(m a x { bfbfbf ??
第三节 单调函数的可导性
于是 (*)式等价于 。因
是 的连续点，故,
由此立知 是 的右控点，故 包含
在 的右控点集 中，因,
是 的构成区间，由引理 3及 f
的单调性知 。
)(~)(~ 0 xfxf ? nFx ?0
)0(~)0(~)(~ 000 ???? xfxfxf
0x nF
f~
?
k
kk baE ),(
~ ?E~
kkkk nbbfnaaf ????? )0()0(
f~
f~
),( kk ba E~
第三节 单调函数的可导性
当 时，上式中 的换成
,由此得
bbk ? )0( ?bf
)0( ?bf
)(~* kk
k
n abEmFm ??? ?
? ????
k
kk afbfn ))0()0((
1
) ),()((1 afbfn ??
第三节 单调函数的可导性
,})(|{ nFxfDxF ?????
})(|{* ???? xfDxFm
,0})(|{* ????? xfDxFm
)(.0))()((1 ????? nafbfn
由
知
即
下证
)2(.0)}()(|{* ?? ?? xfDxfDxFm
对任意,记
则,
故仅需证明对每个,有
。
若,则存在,使得
第三节 单调函数的可导性
2121,,rrQrr ??
?
Qrr
rrFxfDxfDxF
?
?
? ??
21
21
)}()(|{
21rrF
0* 21 ?rrFm
21rrFx ?
xx ?1
.)()( 2
1
1 r
xx
xfxf ?
?
?
令,上式意味着,
于是 x 是左控点。由 Riesz引理 3,包含
于 的左控点集 中，并且
,
由于 f 单调增加，所以
,
从而 。
第三节 单调函数的可导性
xrxfxf 2)()(~ ?? )(~)(~ 1xfxf ?
21rrF
f~ ?
k
kk baF ),(
)}0(~),0(~m a x {)0(~ ???? kkk afafbf
)}0(~),0(~),(~m a x {)0(~ ???? kkkk afafafaf
)()0()0( 2 kkkk abrafbf ?????
现设,因,
由前段的证明可知 包含于
的某个开子集
中 ( 将 f 限制在 上，应用前面
的证明 )，并且
( 注意当 时,应改成
为 )。
第三节 单调函数的可导性
),(21 kkrr baFx ?? 1)( rxfD ??
),(21 kkrr baF ?
?
i
k
i
k
ik baF ),(
~ )()(?),( kk ba
)0()0()( )()()()(1 ????? kikikiki afbfabr
kki bb ?)(
)0( ?kbf
),( kk ba
)0( )( ?kibf
第三节 单调函数的可导性
从而 包含在开集 中, 且
? ???
i
k
i
k
i afbf ))0()0((
)()(
21rrF ?
ik
k
i
k
i ba
,
)()( ),(
进一步,
),()0()0( 2 kkkk abrafbf ??????
第三节 单调函数的可导性
?
ik ik
k
i
k
i
k
i
k
irr babamFm
,,
)()()()( )()],([)(
21 ?
???
? ????
k
kk afbfr )0()0((
1
1
? ????
ik
k
i
k
i afbfr
,
)()(
1
)0()0((1
? ????
k
kk abr
rab
r
r )()(
1
2
1
2
用 代替,重复上面的过程
可知 包含在某个开集
第三节 单调函数的可导性
],[ )()( kiki ba ],[ ba
),( )(21 kikirr baF ?
),(),( )()(
.
k
i
k
i
ki
mn
ki
mn
nm
ik babaF ?? ?
??
ki
kirr mFFm 21*
中，且 。
进而
)()( )()(
1
2 k
i
k
iik abr
rFm ??
).()()( 2
1
)()(
1
2 ab
r
rab
r
r
ki
k
i
k
i ???? ?
用归纳法不难证明，对任意自然数 n，
有
用于,故,进
而,所以
。
第三节 单调函数的可导性
).()()(*
1
2
21
ab
r
rFm n
rr ??
21 rr ? )(,0)(
1
2 ??? n
r
r n
0)(* 21 ?rrFm
0)}()(|{ ?? ?? xfDxfDxmF
再证 。 (3)
记,则 是 上的
单调增加函数，且连续点集为 。
作变换,则由
第三节 单调函数的可导性
0)}()(|{ ?? ?? xfDxfDxF
)()(1 xfxf ??? 1f
FF ???
xy ??
h
yfhyf
h
yfhyf ))(()(()()( 11 ?????????
],[ ab ??
h
xfhxf
?
??? )()(
第三节 单调函数的可导性
,
),()(
),()(
1
1
?
?
?
???
???
??
??
xyxfDyfD
xyxfDyfD得
所以 )}()(|{ xfDxfDxF
?? ?
) },()(|{ 11 yfDyfDyF ??? ??
由 (2) 知
0)}()(|{* 11 ?? ??? yfDyfDyFm
第三节 单调函数的可导性
进而
0)}()(|{* ?? ?? xfDxfDxFm
所以
证毕。
.,eafDfDfDfD ????? ????
目的,熟悉左, 右导数的概念, 理解为
什么单调函数几乎处处有有限导数 。
重点与难点,单调函数的可导性及其证
明 。
第四节 微分与不定积分
基本内容,
一, 导数定义
问题 1：回忆微积分中导数的定义,
如何判断导数是否存在？
第三节 单调函数的可导性
从数学分析知道,上的函数
在 处的可导性等价于
这也是我们讨论函数可导性的一个常用
的方法。因此，我们也给上面的左、右
极限一个名称，这就是
第三节 单调函数的可导性
],[ ba )( xfy ?
],[0 bax ?
.)()(lim)()(lim 00
0
00
0 h
xfhxf
h
xfhxf
hh
?????
?? ??
(1) 左下、左上、右下、右上导数
定义 3 设 是 上的有限
函数，,记
第三节 单调函数的可导性
)( xfy ? ],[ ba
),(0 bax ?
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
00
???
??
?
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
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0
???
???
第三节 单调函数的可导性
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
00
???
??
?
h
xfhxfxfD
h
)()(lim)( 00
0
0
???
???
分别称 为 f 在
点 右上、右下、左上、左下导数 。
fDfDfDfD ????,,,
0x
当 f 在 点有有限导数时，也称
f 在 点 可微 。
第三节 单调函数的可导性
显然, f 在 点有导数当且仅当
0x
)()( 00 xfDxfD ?? ?
).(')()( 000 xfxfDxfD ??? ??
0x
0x
第三节 单调函数的可导性
(2) 导数的存在性与可导性
上述定义与数学分析中导数定义有一点
差别。事实上，在数学分析中，讲导数
通常都是指可导，也就是说，其导数是
一个有限数，此处则不同，导数值可以
取 ∞，因此，当 时，
我们称 f 在该点有导数，而不说在该点
是可导的，就是由于这个缘故。
fDfDfDfD ???? ???
第三节 单调函数的可导性
(3) 导数值为 ∞的例子
,
0,1
0,0
0,1
s g n)(
?
?
?
?
?
??
?
?
??
x
x
x
xxf
0?x
从 这个例子不难看到，函数在一点有
导数并不意味着它在该点连续，上述
函数在 点就是间断的。
例 设
则 。 ??)0('f
定义 4 设 f 是 上的连续函数,
若存在 使得
,
则称 x 是 f 的 右受控点,简称为 右控点 。
若 存在，使
,
则称 x 是 f 的 左受控点,简称为 左控点 。
二, 单调函数的可导性
(1) 左, 右控点的定义
第三节 单调函数的可导性
],[ ba ),,( bax ?
),(' bxx ?
)'(')( xfxf ?
),(~ xax ?
)~()( xfxf ?
第三节 单调函数的可导性
(2) 左、右控点集的性质
问题 2：为什么要引入左、右控点概念？
其实质是什么？
第三节 单调函数的可导性
引理 2(F.Riesz) 设 f 是 [a,b] 上的连续
函数，则 f 的右 ( 或左 ) 控点集 E 是
一开集，而且，若 是 E 的构
成区间全体，则有
或 ( )。
)},{( kk ba
)()( kk bfaf ? )()( kk afbf ?
证明：设 E 是 f 的右控点集，,于
是存在,使得 。
取,使,由 f 的连
续性知存在,当 时，
有,故当
时,。这
就是说,中点都是 f 的右控点，
从而 是 E 的内点，即 E 是开集。
第三节 单调函数的可导性
Ex ?0
),( 01 bxx ? )()( 10 xfxf ?
0?? )()( 10 xfxf ?? ?
0?? ),( 0 ?xOx ?
?? ???? )()()( 00 xfxfxf
),( 0 ?xO
?x
)()()( 10 xfxfxf ??? ?
),( 0 ?xO
0x
设 是 E 的构成区间，
往证对任意,有 。若
不然，则有,使,
由于 是右控点，故存在,
使 。记,
,则显然有,所
以 必不等于 。
第三节 单调函数的可导性
?
k
kkkk babaE ),(),,(?
),( kk bax ? )()( kbfxf ?
),(0 kk bax ? )()( 0 kbfxf ?
Ex ?0 ),( 01 bxx ?
)()( 10 xfxf ?
)(|s u p {~ 110 xfxx ?
)~()( 00 xfxf ?
0~x kb
)},( 01 bxx ?
第三节 单调函数的可导性
我们断言, 必有, 否则由
便知 也是右受控点，这与 矛盾。
然而，又不可能有,因为这样的
话，由 知,
于是又存在,使 。
从而,这与 的定
义矛盾。
0~xbk ?
? ? )~()( 00 xfxfbf k ??
kb Ebk ?
0~xbk ?
kbxx ?? 00 ~ Ebxx k ?? ),(~ 00
),~( 02 bxx ? )()~( 20 xfxf ?
)()~()( 200 xfxfxf ?? 0~x
因此对任意,必有,
由的连续性 。对于左控点
集可类似证明，证毕。
不连续时，只要其不连续点都是第一类
的，也可以定义右、左控点。
第三节 单调函数的可导性
)()( kbfxf ?),( kk bax ?
)()( kk bfaf ?
定义 5 设 f 是 上的函数，且只有
第一类不连续点。对,若有
,使得
,
则称 x 是 f 的 右受控点,简称为 右控点 。
类似地，若有,使
,
则称 x 是 f 的 左受控点,简称为 左控点 。
第三节 单调函数的可导性
],[ ba
),( bax ?
),( bx
)()}0(),0(),(m a x { xfxfxfxf ????
),( xax ??
)()}0(),0(),(m a x { xfxfxfxf ????
??x
第三节 单调函数的可导性
引理 3(F.Riesz) 设 f 是 上只有第
一类不连续点的函数，则 f 的右控点
( 左控点 ) 全体 E 是开集，若
是 E 的构成区间，则
。
],[ ba
)},{( kk ba
) })0(),0(),(m a x {)0( ???? kkkk bfbfbfaf
第三节 单调函数的可导性
证明：只对右控点集证之，左控点情形
可类似证得。设,则存 在,使
得 。由
左、右极限定义知对任意,存在
,使得当 时，有
,
当 时，有
。
Ex ?0 ),( 01 bxx ?
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???
0??
0??
???? 00 xx
?? ?????? )0()()0( 00 xfxfxf
???? xx 00
?? ?????? )0()()0( 00 xfxfxf
从而当 时,
,
由于,
故可选,使
,
这说明中的所有点也是右控点，所以 E
是开集。
第三节 单调函数的可导性
),( 0 ?xOx ?
)}0(),0(),(m a x {)(~ ??? xfxfxfxf
????? )}0(),0(),(m a x { 000 xfxfxf
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???
0??
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???? ?
第三节 单调函数的可导性
设 是 E 的构成区间，往证对任
意,有
。
事实上，若不然，则存在 使
。
注意到 是 f 的右控点，故存在
,使得
。
),( kk ba
)}0(),0(),(m a x {)( ??? kkk bfbfbfxf
),(0 kk bax ?
)}0(),0(),(m a x {)( 0 ??? kkk bfbfbfxf
0x ?1x
)()}0(),0(),(m a x { 1000 xfxfxfxf ???
),( kk bax ?
),( 0 bx
第三节 单调函数的可导性
),(m a x {|),(s u p {~ 0011 xfbxxx ??
)}0(),0(),(m a x { 000 ?? xfxfxf
) },0~(),0~(),~(m a x { 111 ??? xfxfxf
) },()}0(),0( 100 xfxfxf ???
记
显然
这说明 。
第三节 单调函数的可导性
)()}0(),0(),(m a x { 0000 xfxfxfxf ???
)}0~(),0~(,~(m a x { 111 ?? xfxfxf
kbx ?1~
) },0(),0(),(m a x { ??? kkk bfbfbf
) },0(),0(),(m a x { ??? kkk bfbfbf
因为
从而
第三节 单调函数的可导性
我们证明不可能有 。事实上，若
,则由于 是
之上确界，故对任意,存在,
使 。
kbx ?1~
1~x
),(m a x {|),({ 0010 xfbxxF x ??
0?? 0xFx ??
11 ~~ xxx ??? ??
) },()}0(),0( 100 xfxfxf ???
kbx ?1~
第三节 单调函数的可导性
从而由
,
立知
。
所以 也是 f 的右控点，这与假设
是 E 的构成区间矛盾。
)()}0(),0(),(m a x { 000 ?xfxfxfxf ???
)()}0(),0(),(m a x { ?xfbfbfbf kkk ???
kb
),( kk ba
另一方面，我们也可证明不能有 。
若不然，由 得,于是存
在,使
,
进而
。
第三节 单调函数的可导性
kbx ?1~
kbxx ?? 10 ~ Ex ?1~
),~( 12 bxx ?
)()}0~(),0~(),~(m a x { 2111 xfxfxfxf ???
)}0(),0(),(m a x { 000 ?? xfxfxf
)()}0~(),0~(),~(m a x { 2111 xfxfxfxf ????
第三节 单调函数的可导性
这与 的定义矛盾，综上得,
但这又与 的假设矛盾，故对任意
,有
,
证毕。
1~x kbx ?1~
0x
),( kk bax ?
)}0(),0(),(m a x {)( ??? kkk bfbfbfxf
第三节 单调函数的可导性
(3) 单调函数几乎处处有有限导数
的证明
定理 4 设 f 是 [a,b] 上的单调有限
函数，则 f 在 [a,b] 上几乎处处有
有限导数。
第三节 单调函数的可导性
证明：不妨设 f 是单调增加的 ( 递减情
形可考虑 )。由于 f 的不连续点全体
E 是可数集，故可去掉这些点，记
。我们首先证明
(1)
?F
0})(|{* ????? xfDxFm
f?
Eba ?],[
为此，对任意正整数 n，记
则存在,使
第三节 单调函数的可导性
nn FxnxfDxFF ??? ? 0},)(|{
0xx ?
( * ).)()(
0
0 n
xx
xfxf ?
?
?
令,则 仅有第一类
不连续点，且当 时,
nxxfxf ?? )()(~ f~
bx ?
),0()}0(),0(),(m a x { ???? xfxfxfxf
).()}0(),(m a x { bfbfbf ??
第三节 单调函数的可导性
于是 (*)式等价于 。因
是 的连续点，故,
由此立知 是 的右控点，故 包含
在 的右控点集 中，因,
是 的构成区间，由引理 3及 f
的单调性知 。
)(~)(~ 0 xfxf ? nFx ?0
)0(~)0(~)(~ 000 ???? xfxfxf
0x nF
f~
?
k
kk baE ),(
~ ?E~
kkkk nbbfnaaf ????? )0()0(
f~
f~
),( kk ba E~
第三节 单调函数的可导性
当 时，上式中 的换成
,由此得
bbk ? )0( ?bf
)0( ?bf
)(~* kk
k
n abEmFm ??? ?
? ????
k
kk afbfn ))0()0((
1
) ),()((1 afbfn ??
第三节 单调函数的可导性
,})(|{ nFxfDxF ?????
})(|{* ???? xfDxFm
,0})(|{* ????? xfDxFm
)(.0))()((1 ????? nafbfn
由
知
即
下证
)2(.0)}()(|{* ?? ?? xfDxfDxFm
对任意,记
则,
故仅需证明对每个,有
。
若,则存在,使得
第三节 单调函数的可导性
2121,,rrQrr ??
?
Qrr
rrFxfDxfDxF
?
?
? ??
21
21
)}()(|{
21rrF
0* 21 ?rrFm
21rrFx ?
xx ?1
.)()( 2
1
1 r
xx
xfxf ?
?
?
令,上式意味着,
于是 x 是左控点。由 Riesz引理 3,包含
于 的左控点集 中，并且
,
由于 f 单调增加，所以
,
从而 。
第三节 单调函数的可导性
xrxfxf 2)()(~ ?? )(~)(~ 1xfxf ?
21rrF
f~ ?
k
kk baF ),(
)}0(~),0(~m a x {)0(~ ???? kkk afafbf
)}0(~),0(~),(~m a x {)0(~ ???? kkkk afafafaf
)()0()0( 2 kkkk abrafbf ?????
现设,因,
由前段的证明可知 包含于
的某个开子集
中 ( 将 f 限制在 上，应用前面
的证明 )，并且
( 注意当 时,应改成
为 )。
第三节 单调函数的可导性
),(21 kkrr baFx ?? 1)( rxfD ??
),(21 kkrr baF ?
?
i
k
i
k
ik baF ),(
~ )()(?),( kk ba
)0()0()( )()()()(1 ????? kikikiki afbfabr
kki bb ?)(
)0( ?kbf
),( kk ba
)0( )( ?kibf
第三节 单调函数的可导性
从而 包含在开集 中, 且
? ???
i
k
i
k
i afbf ))0()0((
)()(
21rrF ?
ik
k
i
k
i ba
,
)()( ),(
进一步,
),()0()0( 2 kkkk abrafbf ??????
第三节 单调函数的可导性
?
ik ik
k
i
k
i
k
i
k
irr babamFm
,,
)()()()( )()],([)(
21 ?
???
? ????
k
kk afbfr )0()0((
1
1
? ????
ik
k
i
k
i afbfr
,
)()(
1
)0()0((1
? ????
k
kk abr
rab
r
r )()(
1
2
1
2
用 代替,重复上面的过程
可知 包含在某个开集
第三节 单调函数的可导性
],[ )()( kiki ba ],[ ba
),( )(21 kikirr baF ?
),(),( )()(
.
k
i
k
i
ki
mn
ki
mn
nm
ik babaF ?? ?
??
ki
kirr mFFm 21*
中，且 。
进而
)()( )()(
1
2 k
i
k
iik abr
rFm ??
).()()( 2
1
)()(
1
2 ab
r
rab
r
r
ki
k
i
k
i ???? ?
用归纳法不难证明，对任意自然数 n，
有
用于,故,进
而,所以
。
第三节 单调函数的可导性
).()()(*
1
2
21
ab
r
rFm n
rr ??
21 rr ? )(,0)(
1
2 ??? n
r
r n
0)(* 21 ?rrFm
0)}()(|{ ?? ?? xfDxfDxmF
再证 。 (3)
记,则 是 上的
单调增加函数，且连续点集为 。
作变换,则由
第三节 单调函数的可导性
0)}()(|{ ?? ?? xfDxfDxF
)()(1 xfxf ??? 1f
FF ???
xy ??
h
yfhyf
h
yfhyf ))(()(()()( 11 ?????????
],[ ab ??
h
xfhxf
?
??? )()(
第三节 单调函数的可导性
,
),()(
),()(
1
1
?
?
?
???
???
??
??
xyxfDyfD
xyxfDyfD得
所以 )}()(|{ xfDxfDxF
?? ?
) },()(|{ 11 yfDyfDyF ??? ??
由 (2) 知
0)}()(|{* 11 ?? ??? yfDyfDyFm
第三节 单调函数的可导性
进而
0)}()(|{* ?? ?? xfDxfDxFm
所以
证毕。
.,eafDfDfDfD ????? ????
