第三节 Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
第五章 积分论
yi
yi-1
i
n
i
i
ba
mEdxxfL ??
??
?
10],[
l i m)()( ?
?
Lesbesgue积分 对值域作分划
xi-1 xi
i
n
i
iT
b
a
xfdxxfR ?? ??
?? 10||||
)(lim)()( ?
Riemann积分 对定义域作分划
本节主要内容,
?若 f(x) Riemann可积，则 f(x)在 [a,b]上 Lebesgue可积，且积分值相等
?f(x) Riemann可积 当且仅当 f(x) 的不连续点全体为 零测度集
Riemann可积的充要条件
iii
iii
iii
mM
xxxxfm
xxxxfM
??
???
???
?
?
?
}:)(in f {
}:)(s u p {
1
1
0 1
??? ?????? ?
?
i
n
i
i xT
1
,0,使得分割
i
n
i
iT
b
a
xMdxxf ??? ??
?? 10||||
lim)( dxxfxm b
ai
n
i
iT )(lim
10||||
?? ??
??
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
Darboux上、下积分
对 [a,b]作分划 序列
??,3,2,1,)()(2)(1)(0)( ??????? nbxxxxaT nknnnn n
0||lim}1:m a x {|| )()( 1)()( ????? ??? nnnninin TkixxT
}:)(in f {
}:)(s u p {
)()(
1
)(
)()(
1
)(
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
xxxxfm
xxxxfM
???
???
?
?
令（对每个 i及 n）
Darboux上积分
)(lim)( )( 1)(
1
)( n
i
n
i
k
i
n
in
b
a
xxMdxxf
n
?
???
?? ??
)(l i m)( )( 1)(
1
)( n
i
n
i
k
i
n
in
b
a
xxmdxxf
n
?
???
?? ??
Darboux下积分
xi-1 xi
引理：设 f(x)在 [a,b]上为有界函数，记 ω(x)为 [a,b]
上的振幅函数，则
dxxfdxxfdxx b
a
b
aba
)()()(
],[ ???
???
故 ω(x)为 [a,b]上的可测函数，从而 f(x) L可积 。
证明：由于 f(x)在 [a,b]上为有界函数,
故 ω(x)为 [a,b]上 有界函数,
})(:{ txEx ?? ?又 对任意实数 t,为 闭集,
xi-1 xi
0||lim
}1:m a x {||
)(
)(
1
)()(
?
????
??
?
n
n
n
n
i
n
i
n
T
kixxT
作函数列
??,3,2,1,,,3,2,1
0
),(
)(
)(
)()(
1
)()(
)(
??
??
?
?
? ??
?
?
nki
Tx
xxxmM
x
n
n
n
i
n
i
n
i
n
i
T
n
的分点是
?
??,3,2,1,)()(2)(1)(0)( ??????? nbxxxxaT nknnnn n
对 [a,b]作分划序列
xi-1 xi
引理的证明
引理的证明
EbaxxxmE
nTxbaxE
nT
n
n
????
???
??
],[),()(lim,0
},),3,2,1(:],[{
)(
)(
??且则
的分点是令 ?
由控制收敛定理可知有则对一切
上的上、下确界，在为令
,|)(|
],[)(,
)( ABxn
baxfBA
nT ???
,)()(lim ],[],[ )( ?? ??? baba Tn dxxdxxn ??
xi-1 xi
引理的证明
另一方面
,)()(lim
],[],[
)( ?? ?
?? baba Tn
dxxdxxn ??
dxxfdxxf
xxmxxM
b
a
b
a
n
i
n
i
k
i
n
i
n
n
i
n
i
k
i
n
i
n
nn
)()(
)(lim)(lim
)(
1
)(
1
)()(
1
)(
1
)(
??
??
??
????
?
?
??
?
?
??
从而结
论成立
xi-1 xi
))((lim)(lim )( 1)(
1
)()(
],[
)(
n
i
n
i
k
i
n
i
n
inTban xxmMdxx
n
n ?
?????
??? ?? ?
1.Riemann可积的 内在 刻画
定理：有界函数 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积的
充要条件 是 f(x)在 [a,b]上的不连续点全体为零
测度集
教材 p-104有另一种证明
，从而 0)()()(
],[
??? ??? dxxfdxxfdxx b
a
b
aba
?
证明：若 f(x) Riemann可积,则 f(x) 的
Darboux上、下积分相等,
上几乎处处为零。在故
于又
],[)(
],,[..0)(
bax
baeax
?
? ?
上几乎处处为零。在故
于又
],[)(
],,[..0)(
bax
baeax
?
? ?
上述过程反之也成立。
从而 f(x)在 [a,b]上的不连续点全体为零测度集,
引理：设 f(x) 是 E上有限实函数，则 f(x)在 x0∈ E
处 连续 的 充要条件 是 f(x)在 x0处的 振幅为 0
证明参照教材 p-102
2.Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
(Lebesgue积分是对 Riemann积分的推广 )
定理：若 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积，则 f(x)在
[a,b]上 Lebesgue可积，且
?? ? baba dxxfRdxxfL )()()()( ],[
证明,f(x)在 [a,b]上 Riemann可积,
故 f(x)在 [a,b]上几乎处处连续,
从而 f(x)在 [a,b]上有界可测，并且 Lebesgue可积,
Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系的证明
}:)(i n f {},:)(s u p { 11 iiiiii xxxxfmxxxxfM ?????? ??其中
)()()( 1],[1
1
iiixxiii xxMdxxfxxm
ii
???? ?? ?
?
另外
其次,对 [a,b]的任一分划
bxxxxaT n ?????? ?210:
? ??
? ?
?
n
n xxba ii
dxxfdxxf
1 ],[],[ 1
)()(
根据 Lesbesgue积分的可加性,我们有
Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系的证明
}:)(i n f {},:)(s u p { 11 iiiiii xxxxfmxxxxfM ?????? ??其中
)()()( 1],[1
1 iiixxiii
xxMdxxfxxm
ii
???? ?? ?
?
另外
11 [,]
11
( ) ( ) ( )
nn
i i i i i iab
ii
m x x f x d x M x x??
??
? ? ? ??? ?从 而
对上式左、右端关于一切分划各取
上、下确界，即得
dxxfdxxfdxxf bababa )()()(],[ ??? ??
xi-1 xi
例
? Qqpxq QxxR ??? ??? )1,0(//1 )1,0(0)(
在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）
?Riemann函数 Riemann可积
? Qx QxxD ?? ??? ]1,0[1 ]1,0[0)( 处处不连续
?Dirichlet函数不 Riemann可积 0 1
注,Lebesgue积分与广义 Riemann积分无必然联系
例,f(x)有无穷积分,但不 Lebesgue可积,
20 )()(
??? ?? dxxfR
5 10 15 20 25 30
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
),0()( s i n ???? xxf x x
注,Lebesgue积分与广义 Riemann积分无必然联系
例,f(x)有暇积分但不 Lebesgue可积
nn
n xn
xxf
1
1
11)1(
00{)(
???
?
?
??
1/5 ? 1/3 ? 1
2ln1)()( 10 ??? dxxfR
?? ???????? ?n n 1)1(41312112ln
例 设 f(x)是 [a,b]上 Lebesgue可积函数，如果对任
意实数 c(0≤ c≤ 1)总有
那么 f(x)=0 a.e.于 [0,1] 0)(],0[ ?? c dxxf
0)(],1,0[ ],0[ ??? ? c dxxfc证明：由于
(,) ( 0,) ( 0,][0,1 ],,( ) ( ) ( ) 0a b b aa b a b f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ? ?? ? ?故, 有
，上大于在，不妨令值不为上的且在
，若结论不成立，则存在
0)(0)(
,0]1,0[
ExfxfE
mEE ??
教材 p122有另一种证明写法,
证明中用到了积分的绝对连续性
，所以 0)( ??F dxxf 从而有 f(x)在 F上几乎处处为 0
0 ( ) 0m F F f x??这 与 且 在 上 矛 盾,
所以 f(x)=0 a.e.于 [0,1]
证明（续）
????
???
???
???
?
?
FFba
n
FG
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
nn
)()()(
)()()(0
),(
1
)10(,
则有
10,( 0,1 ) (,)nnnF E m F G F a b
?
?? ? ? ? ? ?作 闭 集 使 并 令,
第四节 Lesbesgue积分的几何意义与 Fubini定理
第五章 积分论
主讲：胡努春
重积分与累次积分
??
? ],[],[
),(
dcba
d x d yyxf
重积分
?? dcba dyyxfdx ),(
累次积分
???? ?
?
d
c
b
a
dcba
dyyxfdxd x d yyxf ),(),(
],[],[
f(x,y)连续
1.截口定理
?? pR x dxEmEm )()()3(
x
Ex
证明参照教材 p-136分六种情况讨论,
区间，开集,型，零集，有界可测
集，一般可测集 ?
G
pqER ??定理 1 设 是可测集，则
）（其中 }),(|{ EyxyE x ??
(1)对 Rp中几乎所有的 x,Ex 是 Rq中的 可测集
(2)m(Ex)作为 x的函数,它在 Rp上几乎处处
有定义，且 是可测函数 ；
2.Lebesgue积分的几何意义
定理 2：设 A,B分别是 Rp和 Rq中的可测集,
则 A× B是 Rp+q中的可测集,
且 m(A × B) = mA × mB 证明参照教材 p-139
A
B
2.Lebesgue积分的几何意义
);()( fEmGdxxfE ??
证明参照教材 p-139
则 f(x)是 E上 可测函数 当且仅当
G(E;f)={(x,y)| x∈ E,0≤y < f(x)}
是 Rn+1中的 可测集 ;并且有
nRE ?定理 3 设 f(x)为可测集 上的非负函数,
f(x)
3.Fubini定理
dxdyyxfdppf
BABA
)),(()( ??? ?
?
证明参照教材 p-140
dyyxfB? ),(
qpRBA ???(1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积,
则对几乎所有的 x ∈ A,f(x,y)作为 y的函数在 B上
可积,作为 x的函数在 A上可积,且
先 重积分 后 累次积分
3.Fubini定理
dxdyyxfdppf BABA )),(()( ??? ??
证明参照教材 p-140
dyyxfB |),(|?
dxdyyxfBA )|),(|( ??(2)设 f(x)是 B上的可测函数,
存在（即 |f(x,y)|作为 y的函数在 B上可积,
且 作为 x的函数在 A上可积）,
则 f(p)在 A × B可积,且
先 累次积分 后 重积分
第五章 积分论
yi
yi-1
i
n
i
i
ba
mEdxxfL ??
??
?
10],[
l i m)()( ?
?
Lesbesgue积分 对值域作分划
xi-1 xi
i
n
i
iT
b
a
xfdxxfR ?? ??
?? 10||||
)(lim)()( ?
Riemann积分 对定义域作分划
本节主要内容,
?若 f(x) Riemann可积，则 f(x)在 [a,b]上 Lebesgue可积，且积分值相等
?f(x) Riemann可积 当且仅当 f(x) 的不连续点全体为 零测度集
Riemann可积的充要条件
iii
iii
iii
mM
xxxxfm
xxxxfM
??
???
???
?
?
?
}:)(in f {
}:)(s u p {
1
1
0 1
??? ?????? ?
?
i
n
i
i xT
1
,0,使得分割
i
n
i
iT
b
a
xMdxxf ??? ??
?? 10||||
lim)( dxxfxm b
ai
n
i
iT )(lim
10||||
?? ??
??
f(x)在 [a,b]上 Riemann可积
Darboux上、下积分
对 [a,b]作分划 序列
??,3,2,1,)()(2)(1)(0)( ??????? nbxxxxaT nknnnn n
0||lim}1:m a x {|| )()( 1)()( ????? ??? nnnninin TkixxT
}:)(in f {
}:)(s u p {
)()(
1
)(
)()(
1
)(
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
xxxxfm
xxxxfM
???
???
?
?
令（对每个 i及 n）
Darboux上积分
)(lim)( )( 1)(
1
)( n
i
n
i
k
i
n
in
b
a
xxMdxxf
n
?
???
?? ??
)(l i m)( )( 1)(
1
)( n
i
n
i
k
i
n
in
b
a
xxmdxxf
n
?
???
?? ??
Darboux下积分
xi-1 xi
引理：设 f(x)在 [a,b]上为有界函数，记 ω(x)为 [a,b]
上的振幅函数，则
dxxfdxxfdxx b
a
b
aba
)()()(
],[ ???
???
故 ω(x)为 [a,b]上的可测函数，从而 f(x) L可积 。
证明：由于 f(x)在 [a,b]上为有界函数,
故 ω(x)为 [a,b]上 有界函数,
})(:{ txEx ?? ?又 对任意实数 t,为 闭集,
xi-1 xi
0||lim
}1:m a x {||
)(
)(
1
)()(
?
????
??
?
n
n
n
n
i
n
i
n
T
kixxT
作函数列
??,3,2,1,,,3,2,1
0
),(
)(
)(
)()(
1
)()(
)(
??
??
?
?
? ??
?
?
nki
Tx
xxxmM
x
n
n
n
i
n
i
n
i
n
i
T
n
的分点是
?
??,3,2,1,)()(2)(1)(0)( ??????? nbxxxxaT nknnnn n
对 [a,b]作分划序列
xi-1 xi
引理的证明
引理的证明
EbaxxxmE
nTxbaxE
nT
n
n
????
???
??
],[),()(lim,0
},),3,2,1(:],[{
)(
)(
??且则
的分点是令 ?
由控制收敛定理可知有则对一切
上的上、下确界，在为令
,|)(|
],[)(,
)( ABxn
baxfBA
nT ???
,)()(lim ],[],[ )( ?? ??? baba Tn dxxdxxn ??
xi-1 xi
引理的证明
另一方面
,)()(lim
],[],[
)( ?? ?
?? baba Tn
dxxdxxn ??
dxxfdxxf
xxmxxM
b
a
b
a
n
i
n
i
k
i
n
i
n
n
i
n
i
k
i
n
i
n
nn
)()(
)(lim)(lim
)(
1
)(
1
)()(
1
)(
1
)(
??
??
??
????
?
?
??
?
?
??
从而结
论成立
xi-1 xi
))((lim)(lim )( 1)(
1
)()(
],[
)(
n
i
n
i
k
i
n
i
n
inTban xxmMdxx
n
n ?
?????
??? ?? ?
1.Riemann可积的 内在 刻画
定理：有界函数 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积的
充要条件 是 f(x)在 [a,b]上的不连续点全体为零
测度集
教材 p-104有另一种证明
，从而 0)()()(
],[
??? ??? dxxfdxxfdxx b
a
b
aba
?
证明：若 f(x) Riemann可积,则 f(x) 的
Darboux上、下积分相等,
上几乎处处为零。在故
于又
],[)(
],,[..0)(
bax
baeax
?
? ?
上几乎处处为零。在故
于又
],[)(
],,[..0)(
bax
baeax
?
? ?
上述过程反之也成立。
从而 f(x)在 [a,b]上的不连续点全体为零测度集,
引理：设 f(x) 是 E上有限实函数，则 f(x)在 x0∈ E
处 连续 的 充要条件 是 f(x)在 x0处的 振幅为 0
证明参照教材 p-102
2.Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
(Lebesgue积分是对 Riemann积分的推广 )
定理：若 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积，则 f(x)在
[a,b]上 Lebesgue可积，且
?? ? baba dxxfRdxxfL )()()()( ],[
证明,f(x)在 [a,b]上 Riemann可积,
故 f(x)在 [a,b]上几乎处处连续,
从而 f(x)在 [a,b]上有界可测，并且 Lebesgue可积,
Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系的证明
}:)(i n f {},:)(s u p { 11 iiiiii xxxxfmxxxxfM ?????? ??其中
)()()( 1],[1
1
iiixxiii xxMdxxfxxm
ii
???? ?? ?
?
另外
其次,对 [a,b]的任一分划
bxxxxaT n ?????? ?210:
? ??
? ?
?
n
n xxba ii
dxxfdxxf
1 ],[],[ 1
)()(
根据 Lesbesgue积分的可加性,我们有
Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系的证明
}:)(i n f {},:)(s u p { 11 iiiiii xxxxfmxxxxfM ?????? ??其中
)()()( 1],[1
1 iiixxiii
xxMdxxfxxm
ii
???? ?? ?
?
另外
11 [,]
11
( ) ( ) ( )
nn
i i i i i iab
ii
m x x f x d x M x x??
??
? ? ? ??? ?从 而
对上式左、右端关于一切分划各取
上、下确界，即得
dxxfdxxfdxxf bababa )()()(],[ ??? ??
xi-1 xi
例
? Qqpxq QxxR ??? ??? )1,0(//1 )1,0(0)(
在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）
?Riemann函数 Riemann可积
? Qx QxxD ?? ??? ]1,0[1 ]1,0[0)( 处处不连续
?Dirichlet函数不 Riemann可积 0 1
注,Lebesgue积分与广义 Riemann积分无必然联系
例,f(x)有无穷积分,但不 Lebesgue可积,
20 )()(
??? ?? dxxfR
5 10 15 20 25 30
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
),0()( s i n ???? xxf x x
注,Lebesgue积分与广义 Riemann积分无必然联系
例,f(x)有暇积分但不 Lebesgue可积
nn
n xn
xxf
1
1
11)1(
00{)(
???
?
?
??
1/5 ? 1/3 ? 1
2ln1)()( 10 ??? dxxfR
?? ???????? ?n n 1)1(41312112ln
例 设 f(x)是 [a,b]上 Lebesgue可积函数，如果对任
意实数 c(0≤ c≤ 1)总有
那么 f(x)=0 a.e.于 [0,1] 0)(],0[ ?? c dxxf
0)(],1,0[ ],0[ ??? ? c dxxfc证明：由于
(,) ( 0,) ( 0,][0,1 ],,( ) ( ) ( ) 0a b b aa b a b f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ? ?? ? ?故, 有
，上大于在，不妨令值不为上的且在
，若结论不成立，则存在
0)(0)(
,0]1,0[
ExfxfE
mEE ??
教材 p122有另一种证明写法,
证明中用到了积分的绝对连续性
，所以 0)( ??F dxxf 从而有 f(x)在 F上几乎处处为 0
0 ( ) 0m F F f x??这 与 且 在 上 矛 盾,
所以 f(x)=0 a.e.于 [0,1]
证明（续）
????
???
???
???
?
?
FFba
n
FG
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
nn
)()()(
)()()(0
),(
1
)10(,
则有
10,( 0,1 ) (,)nnnF E m F G F a b
?
?? ? ? ? ? ?作 闭 集 使 并 令,
第四节 Lesbesgue积分的几何意义与 Fubini定理
第五章 积分论
主讲：胡努春
重积分与累次积分
??
? ],[],[
),(
dcba
d x d yyxf
重积分
?? dcba dyyxfdx ),(
累次积分
???? ?
?
d
c
b
a
dcba
dyyxfdxd x d yyxf ),(),(
],[],[
f(x,y)连续
1.截口定理
?? pR x dxEmEm )()()3(
x
Ex
证明参照教材 p-136分六种情况讨论,
区间，开集,型，零集，有界可测
集，一般可测集 ?
G
pqER ??定理 1 设 是可测集，则
）（其中 }),(|{ EyxyE x ??
(1)对 Rp中几乎所有的 x,Ex 是 Rq中的 可测集
(2)m(Ex)作为 x的函数,它在 Rp上几乎处处
有定义，且 是可测函数 ；
2.Lebesgue积分的几何意义
定理 2：设 A,B分别是 Rp和 Rq中的可测集,
则 A× B是 Rp+q中的可测集,
且 m(A × B) = mA × mB 证明参照教材 p-139
A
B
2.Lebesgue积分的几何意义
);()( fEmGdxxfE ??
证明参照教材 p-139
则 f(x)是 E上 可测函数 当且仅当
G(E;f)={(x,y)| x∈ E,0≤y < f(x)}
是 Rn+1中的 可测集 ;并且有
nRE ?定理 3 设 f(x)为可测集 上的非负函数,
f(x)
3.Fubini定理
dxdyyxfdppf
BABA
)),(()( ??? ?
?
证明参照教材 p-140
dyyxfB? ),(
qpRBA ???(1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积,
则对几乎所有的 x ∈ A,f(x,y)作为 y的函数在 B上
可积,作为 x的函数在 A上可积,且
先 重积分 后 累次积分
3.Fubini定理
dxdyyxfdppf BABA )),(()( ??? ??
证明参照教材 p-140
dyyxfB |),(|?
dxdyyxfBA )|),(|( ??(2)设 f(x)是 B上的可测函数,
存在（即 |f(x,y)|作为 y的函数在 B上可积,
且 作为 x的函数在 A上可积）,
则 f(p)在 A × B可积,且
先 累次积分 后 重积分
