第三节 可测函数结构 Lusin定理
第四章 可测函数
可测函数
? 简单函数 是可测函数
? 可测函数总可表示成一列简单函数的 极限
（当可测函数有界时，可作到一致收敛）
问,可测函数是否可表示成一列连续函数的 极限？
?可测集 E上的 连续函数 定为可测函数
鲁津定理
实变函数的三条原理（ J.E.Littlewood）
（ 1）任一 可测集 差不多就是开集（至多可数个 开区间 的并）
，闭集 EF ????,0?设 f(x)为 E上几乎处处有限的可测函数，则
使得 m(E-F)<ε且 f(x)在 F上连续 。
（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）
即：可测函数“基本上”是连续函数
（ 3）任一 点点收敛 的可测函数列集差不多就是 一致收敛 列
（ 2）任一 可测函数 差不多就是 连续函数
鲁津定理的证明
证明：由于 mE[|f|=+∞]=0,故不妨令 f(x)为有限函数
(1) 当 f(x)为 简单函数 时,
)()(
1
xcxf iE
n
i
i ??
?
?令 可测且两两不交）其中 iin
i EEE,( 1???
),,2,1()(,0 niFEmFEE niiiii ?????? ??,使中的闭子集，作及每个
?? ????? ??
??
n
i
n
n
i
ii FEmFEm
11
)()(
i
n
i FF 1???
当 x∈ Ei时,f(x)=ci，所以 f(x)在 Fi上连续,
而 Fi为两两不交闭集，故 f(x)在 上连续
显然 F为闭集，且有
对 f(x)在 F连续的说明
? 若 f(x)在 Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则 f(x)在
上连续 i
n
i FF 1???
故对任意 x`∈ O(x,δ)∩F，有 |f(x`)-f(x)|=0，故 f 连续
0),()(),(),( 1 ii
n
i FxOFxOFxO ?????? ? ???从而
Fi0
( )
x
i
n
i FFx 1????
证明：任取
则存在 i0，使得 x∈ Fi0,f(x)= ci0,
c
iii F )(
0?
?又 Fi为两两不交闭集，从而 x在开集 中
ci
ii FxO )(),( 0????
所以存在 δ>0,使得
对 f(x)在 F连续的说明
说明：取闭集的原因在于 闭集 的 余集 为 开集,开集中的点为
内点,从而可取 x∈ Fi足够小的邻域 不含 其他 Fi 中的点
函数在每一块上为常值，故在 每一块 上都连续,
但函数在 R上处处不连续
Qx
QRxxD
?
???
1
0{)(
条件 Fi为两两不交 闭集 必不可少，如,
鲁津定理的证明
(2)当 f(x)为 有界 可测函数 时,
存在 简单函数 列 {φn(x)} 在 E上 一致收敛 于 f(x),
?? ???????? ??
?
?
?
?
?
? 1 211
)()(
nn
nnn nFEmFEmEFFF,且，则令
由 {φn(x)} 在 F连续 及 一致收敛 于 f (x),
易知 f(x)在闭集 F上连续。
上连续在且使
，，存在闭集及每个
nnn
nn
FxFEm
EFx
n )()(
)(,0
2 ?
??
???
???
利用 (1)的结果知
鲁津定理的证明
则 g(x)为有界可测函数，应用 (2)即得我们的结果
（连续函数类关于四则运算封闭）
)|)(|1 )()((|)(|1 )()( xg xgxfxf xfxg ????
(3)当 f(x)为一般 可测函数 时，作变换
注,(1)鲁津定理推论
鲁津定理（ 限制定义域 ）
（即：去掉某个小测度集，在 留下的集合 上连续）
（在某个小测度集上 改变取值 并补充定义变成连续函数）
RE ?若 f(x)为 上几乎处处有限的可测函数,
使得 在 F上 g(x)=f(x)且 m(E-F)<ε（对 n维空间也成立）
，闭集 EF ????,0?则 及 R上的 连续 函数 g(x)
开集的余集是闭集
闭集的余集是开集
ai bi
直线上的开集构造
直线上的任一非空 开集 都可唯一地表示成有限个或可数个
互不相交的 开区间 的并
),( ii
i
c baF ??
鲁津定理推论证明的说明
鲁津定理,设 f(x)为 E上几乎处处有限的可测函数,
则 使得 m(E-F)<ε且 f(x)在 F上 连续,闭集 EF ????,0?
例 对 E=R1 上的 a.e.有限的可测函数 f(x)，一定存在
E上的连续函数列 {fi(x)}使 fi(x)→f(x) a.e.于 E
Exfxg n 于即 )()( ?
1[ | | ]0,( ) 0 ( 0 )
ng f n nm E m E F n?? ??? ? ? ? ? ? ?
从而
)()( xgxf ini ?令,即得我们所要的结果。
nnnn
nnn
FEmxfxgF
xgEEF
1
1
)()()(
)(,
???
???
且上使在
上的连续函数，及闭集
证明：由鲁津定理的推论知
再由 Riesz定理，存在 {gn(x)} 的子列 {gni(x)}
使 gni(x)→f(x) a.e.于 E,
对上例的说明 （只能作到几乎处处收敛）,
说明,若 fn→f 于 R,fn连续，则 f的连续点集是 R的稠密集
（参见：实变函数，周民强,p-43）
鲁津定理的结论 m (E-F) <ε不能加强到 m (E-F) =0
（参见：实变函数，周民强,p-116）
Qx
QRx
n
nm xfxm
?
?????? ??
1
0{)())!(c o slim(lim ?
?虽然我们有
但不存在 R上的连续函数列 fn 使得 fn→f 于 E
设 f(x)是 E上 a.e.有限的实函数，对 δ>0,
存在闭集,使 且 f(x)在 上连续,
则 f(x)是 E上的可测函数
，令 nn EE ????? 1
)(0)()( 1 ???????? nEEmEEm nn则
0)( ??? EEm从而
EE ??
?? ?? )( EEm
?E
注：此结论即为
鲁津定理的逆定理 EE ??
)()( 1 nn EEEE ???????
从而 f(x)在 上可测,
进一步 f(x)在 上可测。
nnEEm 1)( ??
n1?
EE n ?证明：由条件知，,存在闭集
使 且 f(x)在 En 连续，
当然 f(x)在 En上可测,
第四章 可测函数
可测函数
? 简单函数 是可测函数
? 可测函数总可表示成一列简单函数的 极限
（当可测函数有界时，可作到一致收敛）
问,可测函数是否可表示成一列连续函数的 极限？
?可测集 E上的 连续函数 定为可测函数
鲁津定理
实变函数的三条原理（ J.E.Littlewood）
（ 1）任一 可测集 差不多就是开集（至多可数个 开区间 的并）
，闭集 EF ????,0?设 f(x)为 E上几乎处处有限的可测函数，则
使得 m(E-F)<ε且 f(x)在 F上连续 。
（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）
即：可测函数“基本上”是连续函数
（ 3）任一 点点收敛 的可测函数列集差不多就是 一致收敛 列
（ 2）任一 可测函数 差不多就是 连续函数
鲁津定理的证明
证明：由于 mE[|f|=+∞]=0,故不妨令 f(x)为有限函数
(1) 当 f(x)为 简单函数 时,
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而 Fi为两两不交闭集，故 f(x)在 上连续
显然 F为闭集，且有
对 f(x)在 F连续的说明
? 若 f(x)在 Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则 f(x)在
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故对任意 x`∈ O(x,δ)∩F，有 |f(x`)-f(x)|=0，故 f 连续
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证明：任取
则存在 i0，使得 x∈ Fi0,f(x)= ci0,
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说明：取闭集的原因在于 闭集 的 余集 为 开集,开集中的点为
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但函数在 R上处处不连续
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鲁津定理的证明
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（连续函数类关于四则运算封闭）
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(3)当 f(x)为一般 可测函数 时，作变换
注,(1)鲁津定理推论
鲁津定理（ 限制定义域 ）
（即：去掉某个小测度集，在 留下的集合 上连续）
（在某个小测度集上 改变取值 并补充定义变成连续函数）
RE ?若 f(x)为 上几乎处处有限的可测函数,
使得 在 F上 g(x)=f(x)且 m(E-F)<ε（对 n维空间也成立）
，闭集 EF ????,0?则 及 R上的 连续 函数 g(x)
开集的余集是闭集
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鲁津定理推论证明的说明
鲁津定理,设 f(x)为 E上几乎处处有限的可测函数,
则 使得 m(E-F)<ε且 f(x)在 F上 连续,闭集 EF ????,0?
例 对 E=R1 上的 a.e.有限的可测函数 f(x)，一定存在
E上的连续函数列 {fi(x)}使 fi(x)→f(x) a.e.于 E
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证明：由鲁津定理的推论知
再由 Riesz定理，存在 {gn(x)} 的子列 {gni(x)}
使 gni(x)→f(x) a.e.于 E,
对上例的说明 （只能作到几乎处处收敛）,
说明,若 fn→f 于 R,fn连续，则 f的连续点集是 R的稠密集
（参见：实变函数，周民强,p-43）
鲁津定理的结论 m (E-F) <ε不能加强到 m (E-F) =0
（参见：实变函数，周民强,p-116）
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?虽然我们有
但不存在 R上的连续函数列 fn 使得 fn→f 于 E
设 f(x)是 E上 a.e.有限的实函数，对 δ>0,
存在闭集,使 且 f(x)在 上连续,
则 f(x)是 E上的可测函数
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注：此结论即为
鲁津定理的逆定理 EE ??
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从而 f(x)在 上可测,
进一步 f(x)在 上可测。
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EE n ?证明：由条件知，,存在闭集
使 且 f(x)在 En 连续，
当然 f(x)在 En上可测,
