第四节 可测函数的收敛性（续）
第四章 可测函数
各种收敛定义
Eff n 于?
0lim,0 ]|[| ??? ???? ?? ffn nmE有
依测度收敛,
去掉 某个 小 （ 任意小 ）测度集，在留下的集合上 一致收敛
几乎一致收敛, Euaff n 于..?
Eeaff n 于..?
去掉 某个 零 测度集，在留下的集合上 处处收敛
几乎处处收敛,
Euaff n 于，则,.?Eeaff n 于若,.?
几乎处处收敛与几乎一致收敛（ 叶果洛夫定理）
[ | | ]., 0,l i m ( ) 0nn f fN n Nf f a e E m E ??
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??? ? ?? ? ? ? ?若 于, 则 有
引理：设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
Eeaff n 于若,.? Eff n 于，则 ?
设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
（ Lebesgue定理）
设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
叶果洛夫定理的证明
0)(lim,0 ]||[ ???? ?????? ?? ffNnN nEm有证明：又引理知
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对引理、叶果洛夫
定理及 Lebesgue
定理的证明的说明
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Lebesgue定理 的证明
叶果洛夫定理的证明
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Lebesgue定理的证明
叶果洛夫定理 的证明
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对引理、叶果洛夫
定理及 Lebesgue
定理的证明的说明
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对引理、叶果洛夫定理及 Lebesgue定理的证明的说明
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注：叶果洛夫定理 的逆定理成立
注,a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论 mE<+∞或 mE=+∞,
Eeaff n 于则,.?,于即：若 Euaff n,.?
几乎一致收敛,
去掉 某个 小（ 任意小 ） 测度集，在留下的集合上 一致收敛
)(
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可测子集
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几乎处处收敛,
去掉 某个 零 测度集，在留下的集合上 处处收敛
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另外显然 fn(x) 在 上点点收敛于 f(x)
所以 fn(x) 在 E上 a.e.收敛于 f(x)
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证明：由条件知,存在可测集
使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于 f(x),
当然 fn(x) 在 En 上点点收敛于 f(x)
Eeaff n 于则,.?,于即：若 Euaff n,.?
叶果洛夫定理的逆定理
注, b.叶果洛夫定理中条件 mE<+∞不可少
不几乎一致收敛,去掉 任意 小（ 适当小 ）测度集，在留下的集合上任不一致收敛
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几乎一致收敛,去掉 某个 小（ 任意小 ）测度集，在留下的集合上一致收敛
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+上处处收敛于 f(x)=1,但 fn不几乎一致收敛于 f于 R+
注,c.叶果洛夫定理中的
结论 me<δ不能加强到 me=0
1-δ
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合
上一致收敛,
但 去掉任意零测度集,
在留下的集合上仍不
一致收敛。
例：函数列 fn(x)=xn
n=1,2,…,在 (0,1)上
处处收敛 到 f(x)=0,
但 不一致收敛 ；
注,c.叶果洛夫定理中结论 me<δ不能加强到 me=0
设 fn(x)= x n,x∈ (0,1）,则 fn(x) 处处收敛于 f(x)=0，
但 fn(x)不一致收敛于 f(x),即使 去掉任意一零测度
集，在留下的集合上 fn(x)仍不一致收敛于 f(x) 。
说明：去掉任意一个零测度集 e，留下的集合
(0,1)-e仍然以 1为聚点 从而可找到 E-e中一点列
{xn},使得 收敛到 1，故,()n
nx
12,0,,,| ( ) ( ) | ( ) nn n n nN n N N x E e f x f x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?有
从而 E-e 上 fn(x)不一致收敛于 f(x)
Eff n 于? Euaff n 于..?
Eeaff n 于..?
叶果洛夫定理
mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
叶果洛夫
逆定理
收敛间的关系
依测度收敛
但处处不收敛
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f1
f6
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1
f7
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0 ? 1
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2 xxfxf kkk iiin ?? ?? ?
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依测度收敛
与点点收敛 处处不收敛)()()( ]2 1,2(2 xxfxf kkk iiin ?? ?? ?
,0)()()()( ]
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k
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Eff n 于? Euaff n 于..?
Eeaff n 于..?
叶果洛夫定理
mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
叶果洛夫
逆定理
子列
Riesz定理
Riesz定理
Eeaff nk 于..?Eff n 于?若 于 E,则必有 {fn}的子列 {fnk},使得
子列
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Lebesgue定理 的证明
叶果洛夫定理的证明
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收敛间的关系
Riesz定理（ (6)到 (1)的关系 ）
我们只需证 (5)到 (3)的关系
Riesz定理的证明
证明,
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2
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( * )0)(lim ]|[| ?? ?????? ?ffNkN
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对 Riesz定理证明
的说明：其实从
证明中的 (*)式我
们可看出
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从而可取得 n1< n2< n3<…< n k<…,使得
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kkn
kknkn
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Nk
ff
Nk
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时当 ??N21故对任意 ε>0，,有
依测度收敛的等价描述
?? Eff n 于
Eeaff ikn 于..?
令 mE<+∞，则 对 {fn} 的任意子列
{fnk},存在 {fnk}的子列 {fnki},使得
Eff kn 于?Eff n 于?
证明,（ 必要性 ） 任取 {fn}的子列 {fnk},
由于 当然有
Eeaff ikn 于..?
由 Riesz定理知,存在 {fnk}的子列 {fnki},
使得
⒋ 依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
Egfgf nn 于???)2(
Egfgf nn 于???)3(
Eff n 于||||)4( ?
注,(1),(2),(4)当 mE=+∞
时,也成立；条件 mE<+∞
对 (3)来说不可少,
Ehf n 于?
EggEff nn 于于 ??,定理：令 mE<+∞,,则
(1) 若又有,则 f(x)=h(x) a.e.于 E。
设 {fn} 与 {gn} 是 E上几乎处处有限的可测函数列,
于 E,于 E,则 于 E )()()()( xgxfxgxf
nn ???
)()( xfxf n ?
)()( xgxg n ?
[ | ( ) ( ) | ] 0nnf g f gmE ?? ? ? ? ?，即得令 ??n
Exgxfxgxf nn 于所以 )()()()( ???
注,(1),(4)的证明类似，只要利用
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|)()(|||)(||)(|| xfxfxfxf nn ???
|)()(||)()(||))()(())()((| xgxgxfxfxgxfxgxf nnnn ???????证明：由于
22[ | ( ) ( ) | ] [ | | ] [ | | ]
0,nn nnf g f g f f g gm E m E m E???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
故
Egfgf nn 于则 ???,EggEff nn 于于若 ??,
??? ? ????????? ?? ]|[|,,0,0,0 fggf nnENnN 使
[ | | ]0,0,{ },*nnkkk f g f gnE ?? ? ???? ? ? ? ?故 和 一 自 然 数 列 使 （ ）
EeaffffEff ikikkk nnnn 于，使的子列知存在于由,.}{}{,??
EeaggggEgg ijkijkikik nnnn 于，使的子列知存在于由,.}{}{,??
，于从而 Eeafggf ijkijk nn,.?
，于得）定理（再由 EfggfmEL e b e s g u e ijkijk nn ????,
Egfgf nn 于???这与（ *）式矛盾，所以
Egfgf nn 于???证明：假设 不成立，则
条件 mE<+∞对 (3)来说不可少
注：令,则 gn不依测度收敛于 g 0)(,)( ?? xgxg
nxn
[ | | ]0 1,l im l im ( )nggnnm E m n?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?对 有,
注：上述结果的证明也可通过 依测度收敛的等价描述 证明
任取 {fn gn} 的子列 {fnk gnk},找 {fnk gnk} 的子列 {fnki gnki}
使得
Eeafggf ikik nn 于..?
Effxxfxxf nnn 于则 ????,)(,)( 1
2nf
例 设
但 不依测度收敛于 f 2于 R
第四章 可测函数
各种收敛定义
Eff n 于?
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依测度收敛,
去掉 某个 小 （ 任意小 ）测度集，在留下的集合上 一致收敛
几乎一致收敛, Euaff n 于..?
Eeaff n 于..?
去掉 某个 零 测度集，在留下的集合上 处处收敛
几乎处处收敛,
Euaff n 于，则,.?Eeaff n 于若,.?
几乎处处收敛与几乎一致收敛（ 叶果洛夫定理）
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引理：设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
Eeaff n 于若,.? Eff n 于，则 ?
设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
（ Lebesgue定理）
设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
叶果洛夫定理的证明
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定理的证明的说明
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Lebesgue定理的证明
叶果洛夫定理 的证明
引理,mE<+∞ 下证明 由 (3)推出 (2)
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定理及 Lebesgue
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Lebesgue定理的证明
叶果洛夫定理 的证明
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对引理、叶果洛夫定理及 Lebesgue定理的证明的说明
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注：叶果洛夫定理 的逆定理成立
注,a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论 mE<+∞或 mE=+∞,
Eeaff n 于则,.?,于即：若 Euaff n,.?
几乎一致收敛,
去掉 某个 小（ 任意小 ） 测度集，在留下的集合上 一致收敛
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去掉 某个 零 测度集，在留下的集合上 处处收敛
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另外显然 fn(x) 在 上点点收敛于 f(x)
所以 fn(x) 在 E上 a.e.收敛于 f(x)
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证明：由条件知,存在可测集
使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于 f(x),
当然 fn(x) 在 En 上点点收敛于 f(x)
Eeaff n 于则,.?,于即：若 Euaff n,.?
叶果洛夫定理的逆定理
注, b.叶果洛夫定理中条件 mE<+∞不可少
不几乎一致收敛,去掉 任意 小（ 适当小 ）测度集，在留下的集合上任不一致收敛
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+上处处收敛于 f(x)=1,但 fn不几乎一致收敛于 f于 R+
注,c.叶果洛夫定理中的
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0.4
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0.8
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去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合
上一致收敛,
但 去掉任意零测度集,
在留下的集合上仍不
一致收敛。
例：函数列 fn(x)=xn
n=1,2,…,在 (0,1)上
处处收敛 到 f(x)=0,
但 不一致收敛 ；
注,c.叶果洛夫定理中结论 me<δ不能加强到 me=0
设 fn(x)= x n,x∈ (0,1）,则 fn(x) 处处收敛于 f(x)=0，
但 fn(x)不一致收敛于 f(x),即使 去掉任意一零测度
集，在留下的集合上 fn(x)仍不一致收敛于 f(x) 。
说明：去掉任意一个零测度集 e，留下的集合
(0,1)-e仍然以 1为聚点 从而可找到 E-e中一点列
{xn},使得 收敛到 1，故,()n
nx
12,0,,,| ( ) ( ) | ( ) nn n n nN n N N x E e f x f x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?有
从而 E-e 上 fn(x)不一致收敛于 f(x)
Eff n 于? Euaff n 于..?
Eeaff n 于..?
叶果洛夫定理
mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
叶果洛夫
逆定理
收敛间的关系
依测度收敛
但处处不收敛
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f1
f6
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1
f7
f5 f4
0 ? 1
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处处不收敛)()()( ]
2
1,
2(
2 xxfxf kkk iiin ?? ?? ?
0 1/8 1/4 ? 1
依测度收敛
与点点收敛 处处不收敛)()()( ]2 1,2(2 xxfxf kkk iiin ?? ?? ?
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2
1,0(12 ??? ? xfxxfxf
k
kkn 处处收敛于但子列 ?
0 1 0 ? 1
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/8 1/4 ? 1
Eff n 于? Euaff n 于..?
Eeaff n 于..?
叶果洛夫定理
mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
叶果洛夫
逆定理
子列
Riesz定理
Riesz定理
Eeaff nk 于..?Eff n 于?若 于 E,则必有 {fn}的子列 {fnk},使得
子列
)4()3()2()1(
)6()5(
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Lebesgue定理 的证明
叶果洛夫定理的证明
)4(.,Euaff n 于?
收敛间的关系
Riesz定理（ (6)到 (1)的关系 ）
我们只需证 (5)到 (3)的关系
Riesz定理的证明
证明,
1 1
2
1[ | | ] 2,,0,,k
n kn k k fff f E k N n N E ???? ? ? ? ? ? ?由 于 可 知 有 m
( * )0)(lim ]|[| ?? ?????? ?ffNkN
kn
Em从而
Eeaff kn 于故,.?
对 Riesz定理证明
的说明：其实从
证明中的 (*)式我
们可看出
Euaff kn 于..?
1 1
2
1
[ | | ] 2 ( 1,2,3,)kn kkffm E k??? ??
从而可取得 n1< n2< n3<…< n k<…,使得
Nk
kkn
kknkn
Nk
ff
Nk
ff
Nk
ff
Nk
Em
EmEm
2
1
2
1
]|[|
]|[|]|[|
1
2
1
2
1
)(
)()(
?????
???
?
?
?
??
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?
??
?
?
??
?
?
?
时当 ??N21故对任意 ε>0，,有
依测度收敛的等价描述
?? Eff n 于
Eeaff ikn 于..?
令 mE<+∞，则 对 {fn} 的任意子列
{fnk},存在 {fnk}的子列 {fnki},使得
Eff kn 于?Eff n 于?
证明,（ 必要性 ） 任取 {fn}的子列 {fnk},
由于 当然有
Eeaff ikn 于..?
由 Riesz定理知,存在 {fnk}的子列 {fnki},
使得
⒋ 依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
Egfgf nn 于???)2(
Egfgf nn 于???)3(
Eff n 于||||)4( ?
注,(1),(2),(4)当 mE=+∞
时,也成立；条件 mE<+∞
对 (3)来说不可少,
Ehf n 于?
EggEff nn 于于 ??,定理：令 mE<+∞,,则
(1) 若又有,则 f(x)=h(x) a.e.于 E。
设 {fn} 与 {gn} 是 E上几乎处处有限的可测函数列,
于 E,于 E,则 于 E )()()()( xgxfxgxf
nn ???
)()( xfxf n ?
)()( xgxg n ?
[ | ( ) ( ) | ] 0nnf g f gmE ?? ? ? ? ?，即得令 ??n
Exgxfxgxf nn 于所以 )()()()( ???
注,(1),(4)的证明类似，只要利用
|)()(||)()(||))()(())()((||)()(| xhxfxfxfxhxfxfxfxhxf nnnn ?????????
|)()(|||)(||)(|| xfxfxfxf nn ???
|)()(||)()(||))()(())()((| xgxgxfxfxgxfxgxf nnnn ???????证明：由于
22[ | ( ) ( ) | ] [ | | ] [ | | ]
0,nn nnf g f g f f g gm E m E m E???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
故
Egfgf nn 于则 ???,EggEff nn 于于若 ??,
??? ? ????????? ?? ]|[|,,0,0,0 fggf nnENnN 使
[ | | ]0,0,{ },*nnkkk f g f gnE ?? ? ???? ? ? ? ?故 和 一 自 然 数 列 使 （ ）
EeaffffEff ikikkk nnnn 于，使的子列知存在于由,.}{}{,??
EeaggggEgg ijkijkikik nnnn 于，使的子列知存在于由,.}{}{,??
，于从而 Eeafggf ijkijk nn,.?
，于得）定理（再由 EfggfmEL e b e s g u e ijkijk nn ????,
Egfgf nn 于???这与（ *）式矛盾，所以
Egfgf nn 于???证明：假设 不成立，则
条件 mE<+∞对 (3)来说不可少
注：令,则 gn不依测度收敛于 g 0)(,)( ?? xgxg
nxn
[ | | ]0 1,l im l im ( )nggnnm E m n?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?对 有,
注：上述结果的证明也可通过 依测度收敛的等价描述 证明
任取 {fn gn} 的子列 {fnk gnk},找 {fnk gnk} 的子列 {fnki gnki}
使得
Eeafggf ikik nn 于..?
Effxxfxxf nnn 于则 ????,)(,)( 1
2nf
例 设
但 不依测度收敛于 f 2于 R
