第二节 可测函数的收敛性
第四章 可测函数
⒈ 函数列的几种收敛定义
?? ?? ?????????? |)()(|,,0,0,xfxfNnNEx nxx 有
⑵ 一致收敛,
?? ?? ?????????? |)()(|,,,0,0 xfxfExNnN n有
注：近似地说 一致收敛 是函数列
收敛 慢 的 程度能有个控制
近似地说 一致连续 是函数图
象 陡 的 程度能有个控制
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fn(x)=xn
Eff n 于?⑴ 点点收敛, 记作
1-δ
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
例：函数列
fn(x)=xn,n=1,2,…
在 (0,1)上 处处收敛 到
f(x)=0,但 不一致收敛,
但 去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合
上一致收敛
fn(x)=xn
⑶ 几乎处处收敛, 记作 (almost everywhere） Eeaff n 于..?
feEEf
meEe
n 上一致收敛于在使得
可测子集
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n有
可测子集
即：去掉 某个 零 测度集，在留下的集合上 处处收敛
即：去掉 某个 小 （ 任意小 ）测度集，在留下的集合上 一致收敛
Euaff n 于..?⑷ 几乎一致收敛,记作 (almost uniformly)
0][ ?? ff nE
⑸ 依测度收敛, 记作
注：从定义可看出,
? 几乎处处收敛强调的是在 点 上函数值的收敛（除一零
测度集外）
? 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要
点在于误差超过 σ的点所成的集的 测度 应随 n趋于无穷
而趋于零，而 不论点集的位置状态 如何
Eff n 于?
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n n
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[ | | ]0,0,0,,nffN n N E? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?有 m
不依测度收敛
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依测度收敛
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⒉ 几种收敛的区别
说明：当 n越大，取 1的点越多，故 {fn(x)}在 R+上处处收敛于 1
???????? ?????? )(limlim,10 ]|[|,有对 nmmE nffn n ??
（ 1）处处收敛但不依测度收敛
n
?,2,1{)( ],0(1 ),(0 ?? ? ??? nxf nx nxn 在 R
+上处处收敛于 f(x)=1,
所以 {fn(x)}在 R+上不依测度收敛于 1,另外 {fn}不几乎一致收敛于 1
fn不几乎一致收敛于 f
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可测子集
即：去掉 测度集，在留下的集合上仍 不一致收敛 任意 （ ） 适当小 小
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不几乎一致收敛于 f(x)=1
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（ 2）依测度收敛但处处不收敛
0 1
f1
f6
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/4 ? 3/4 1
0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1
f7
f5 f4
0 ? 1
f3
0 ? 1
f2
0 1/8 1/4 ? 1
f8
依测度收敛但处处不收敛
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,0)(),()()(
]2 1,2(2
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kk
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⑵ 取 E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…
Eff n 于则 ?
说明：对任何 x∈ (0,1],{fn(x)}有 两个子列,一个恒为 1,
一个恒为 0，所以 {fn(x)}在 (0,1]上处处不收敛；
例：函数列 fn(x)=xn
在 (0,1)上 处处收敛 到
f(x)=0,但 不一致收敛,
但 去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合
上一致收敛
收敛的联系（ 叶果洛夫定理的引入 ）
1-δ
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fn(x)=xn
⒊ 三种收敛的联系
即：于 Euaff n,.?
即：去掉 某个 小 （ 任意小 ）测度集，在留下的集合上 一致收敛
Euaff n 于，则,.?Eeaff n 于若,.?
⑴ 几乎处处收敛与几乎一致收敛（ 叶果洛夫定理）
设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
（即：可测函数列的收敛,基本上”是一致收敛）
即：于 Eeaff n,.? 0][ ?? ff nmE
即：去掉 某个 零 测度集，在留下的集合上 处处收敛
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1
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引理：设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
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故不妨令 fn, f在 E上处处有限，从而有,
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关于 N
单调减小
几乎处处收敛与依测度收敛 （ Lebesgue定理）
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从而
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第四章 可测函数
⒈ 函数列的几种收敛定义
?? ?? ?????????? |)()(|,,0,0,xfxfNnNEx nxx 有
⑵ 一致收敛,
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注：近似地说 一致收敛 是函数列
收敛 慢 的 程度能有个控制
近似地说 一致连续 是函数图
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0.2 0.4 0.6 0.8 1
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例：函数列
fn(x)=xn,n=1,2,…
在 (0,1)上 处处收敛 到
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但 去掉一小测度集合
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上一致收敛
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⑶ 几乎处处收敛, 记作 (almost everywhere） Eeaff n 于..?
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注：从定义可看出,
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测度集外）
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点在于误差超过 σ的点所成的集的 测度 应随 n趋于无穷
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⒉ 几种收敛的区别
说明：当 n越大，取 1的点越多，故 {fn(x)}在 R+上处处收敛于 1
???????? ?????? )(limlim,10 ]|[|,有对 nmmE nffn n ??
（ 1）处处收敛但不依测度收敛
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+上处处收敛于 f(x)=1,
所以 {fn(x)}在 R+上不依测度收敛于 1,另外 {fn}不几乎一致收敛于 1
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上一致收敛
收敛的联系（ 叶果洛夫定理的引入 ）
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⒊ 三种收敛的联系
即：于 Euaff n,.?
即：去掉 某个 小 （ 任意小 ）测度集，在留下的集合上 一致收敛
Euaff n 于，则,.?Eeaff n 于若,.?
⑴ 几乎处处收敛与几乎一致收敛（ 叶果洛夫定理）
设 mE<+∞,fn, f在 E上几乎处处有限且可测,
（即：可测函数列的收敛,基本上”是一致收敛）
即：于 Eeaff n,.? 0][ ?? ff nmE
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