第二节 Lesbesgue积分的极限定理
第五章 积分论
1.Levi逐项积分定理
?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim则
只要证明 大于等于,但一般而
言 fn(x)不会跑到 f(x)上方,所以
我们有必要先把 f(x)下移 一点。
f(x)
cf(x)
fn(x)
注意：当 fn(x)一致收敛 f(x)时,
fn(x)才会整体跑到 f(x)上方。
)()(l i m,)()()()( 321 xfxfxfxfxfxf nnn ?????? ??且??
若 fn(x)为 E上非负可测函数列,
说明,小于等于 显然成立,
因为 fn(x)总在 f(x)的下方,
Levi逐项积分定理的证明
?? ??? EEn dxxdxxn )()(lim ??
引理 1：设 {En}是递增集列, 是 Rn上的非负可测简单
函数，则 )(,1 xEE nn ?
?
???
dxxfdxxfdxxf nnEEnEn )(lim)()(lim ???? ??? ??
引理 2：设 f(x)是 E上的非负可测函数,A是 E中可测子集,则
?? ? E AA dxxxfdxxf )()()( ?
证明：由条件知 fn(x)为 E上非负可测函数递增列,
?,3,2,1,)()( 1 ?? ?? ? ndxxfdxxf E nE n有定义，又 dxxf nE n )(lim? ??所以
??? E nn dxxf )(lim故 有定义，且从函数列的渐升性知道
下证大于等于号
Levi逐项积分定理的证明
)}()(|{ xcxfExE nn ????记
( ) s u p { ( ), ( ) 0 ( ) ( ) }EEf x d x x d x x E x f x? ? ?? ? ??? 为 上 的 简 单 函 数,
)()( xfx ??
)(x?证明：令 c满足 0<c<1,是 R
n上的非负可测
简单函数，且
EEE nnnn ??? ???? 1l i m且
则 {En}是递增集列,
?? ??? EEn dxxcdxxc n )()(lim ??
由引理 1知
cφ(x)
f(x)
fn(x)
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明
?? ??? EE nn dxxcdxxf )()(lim ?得到
dxxdxxfc EE nn ?? ?? ?? )()(l i m,1 ?则有令
dxxfdxxf EE nn ?? ??? )()(lim所以
)}()(|{ xcxfExE nn ????
dxxfdxxf EnEn )()(lim ?? ???再由的积分定义知
,)()()(
)()()(
???
??
???
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nnn
n
EEE n
E EnE n
dxxcdxxcdxxf
dxxxfdxxf
??
?
于是从（应用引理 2） f(x)
φ(x)
cφ(x)
fn(x)
对 Levi逐项积分定理的说明
f(x)
fn(x)
fn+1(x)
);()()( fEmGdxxfL E ??
积分的几何意义（函数非负）,
)()(l i m,)()()()( 321 xfxfxfxfxfxf nnn ?????? ??且??
?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim则
若 fn(x)为 E上非负可测函数列,
);(l i m);(l i m( nnnn fEmGfEGm ???? ?
为递增集列);( nfEG
单调增集列测度的性质
2.Lebesgue逐项积分定理（ 级数 形式）
然后利用 Levi逐项
积分定理 即可
)()(
)}({
)()(
lim
1
1
xgxf
xg
xfxg
n
nn
n
n
n
i
in
??
?
?
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?
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?
，且为非负可测函数递增列则
证明：令
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?
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11
)(
i
iii mAAm
对应于测度的可数可加性
? ?? ?
?
?
?
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11
)()(
n
nEnE
n
dxxfdxxf
若 fn(x)为 E上非负可测函数列,则
对比,积分的线性
(有限个 函数作和 )
例 试求 dx
x
xR
n
n? ?
?
? ? ?1
1
1 2
2
)1()(
]1,1[,)(,)1( 22 ??? ? xxf nxxn令解
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n
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xL
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]1,1[ ?? ? ? dxL
)(xfn则 为非负连续函数，当然为非负可测函数,
定理：若 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积，则 f(x)在
[a,b]上 Lebesgue可积，且
?? ? baba dxxfRdxxfL )()()()( ],[
例
10,)()()1(1 1 122232 ??????????? ?? xxxxxxx nn ??试从
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n
n
n
n
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( 0,1 ) 0
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11L dx R dxxx??????另 外
?? ????????
?
n
n 1)1(
4
1
3
1
2
11
从而结论成立
)(xfn则 为 非负 连续 函数，当然为 可测 函数,
从而由 Lebesgue逐项积分定理知,
3.积分的可数可加性
然后利用 Lebesgue
逐项积分定理 即可 )()()(
)()()(
1
xxfxf
dxxxfdxxf
n
n
n
E
n
E EE
?
?
?
?
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及
，证明：由
??
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?
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??
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)(
i
iii mAAm
对应于测度的可数可加性
Lebesgue逐项积分定理是关于 被积函数
积分的可数可加性是关于 积分区域
? ?? ?
??
??
? 1
)()(
1 n
EE nn
n
dxxfdxxf
nn EE
?
??? 1 若 f(x)在 （ En可测且两两不交）
上非负可测或可积，则
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的 可测性
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可
积性且 积分值 不变
证明：令 E 1= E[f≠g],E 2= E[f=g]，则 m E1=0
从而
即,设 f(x)=g(x) a.e.于 E,f(x)在 E上可积，则 g(x)在 E上也可积且
?? ? EE dxxgdxxf )()(
???
???
???
??
EEE
EEE
dxxgdxxgdxxg
dxxfdxxfdxxf
)()()(
)()()(
21
21
例 设 [0,1]上的函数 f(x)在 Cantor集 P上定义为 0，在 Cantor
集余集中长度为 1/3n的构成区间上定义为 n(n=1,2,3,… ),
求 f(x)在 [0,1]上的 Lebesgue积分值
解：令 Gn为 Cantor集 P的余集中长度为 1/3n
的构成区间的并, 由条件知 f(x)是 [0,1]上的
非负可测函数, 根据积分的可数可加性知
???
?
?
??
nGnP
dxxfdxxf )()(
10
?? ?
???
? )(]1,0[
10
)()(
nn GP
dxxfdxxf
11
3
1
0 0 ( ) 2 3nn
n
n
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4.Fatou引理
dxxfdxxf nE
n
n
nE
)()( limlim ??
????
?
)()(
)}({
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limlim
1
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xg
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n
n
n
n
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????
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，且为非负可测函数递增列则
，证明：令 ?
然后利用 Levi逐项
积分定理 即可
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?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim则
若 fn(x)为 E上非负可测函数列,
Levi逐项积分定理,
若 fn(x)为 E上非负可测函数列，则
)}({i n fsup)(l i m xfxf mnm
nnn ???
?
注：严格不等号可能成立
],0[/1
),(0{)(
nxn
nxn xf
?
????
dxxfdxxf n
EnnnE
)(10)( l i ml i m ??
????
???
注,fn(x)为 E上非负可测函数列且一致收敛到 0,
1/n
n
5.Lebesgue控制收敛定理
证明：显然 f(x)为 E上可测函数
（可测函数列的极限函数是可测函数）
)()(lim xfxf nn ???设 fn(x)为 E上可测函数列,a.e.于 E,
且存在非负可积函数 F(x)，使得 |fn(x)| ≤F(x) a.e,
于 E,
且由 |fn(x)| ≤F(x) a.e.于 E，知 |f(x)| ≤F(x) a.e.于 E,
所以 fn(x),f(x)都为 E上可积函数
?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim则 f(x)在 E上可积且
dxxfxFdxxfxF n
EnnnE
))()(())()(( limlim ?? ???
????
由 |fn(x)| ≤F(x) a.e.于 E,
知 F(x)± fn(x)≥ 0 a.e.于 E，由 Fatou引理 知
又 F(x)可积，从而
dxxfdxxf nE
nE
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dxxfdxxf n
EnE
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Lebesgue控制收敛定理的证明
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1
lim)(
s i n
1
)(lims i n
1
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]1,0[ 22
1
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xn
nx
L
n x d x
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R
n
nn
21)(|)(| ?? xFxf n
则 fn(x)为可测函数且
从而 Lebesgue控制收敛定理知,
第五章 积分论
1.Levi逐项积分定理
?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim则
只要证明 大于等于,但一般而
言 fn(x)不会跑到 f(x)上方,所以
我们有必要先把 f(x)下移 一点。
f(x)
cf(x)
fn(x)
注意：当 fn(x)一致收敛 f(x)时,
fn(x)才会整体跑到 f(x)上方。
)()(l i m,)()()()( 321 xfxfxfxfxfxf nnn ?????? ??且??
若 fn(x)为 E上非负可测函数列,
说明,小于等于 显然成立,
因为 fn(x)总在 f(x)的下方,
Levi逐项积分定理的证明
?? ??? EEn dxxdxxn )()(lim ??
引理 1：设 {En}是递增集列, 是 Rn上的非负可测简单
函数，则 )(,1 xEE nn ?
?
???
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引理 2：设 f(x)是 E上的非负可测函数,A是 E中可测子集,则
?? ? E AA dxxxfdxxf )()()( ?
证明：由条件知 fn(x)为 E上非负可测函数递增列,
?,3,2,1,)()( 1 ?? ?? ? ndxxfdxxf E nE n有定义，又 dxxf nE n )(lim? ??所以
??? E nn dxxf )(lim故 有定义，且从函数列的渐升性知道
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Levi逐项积分定理的证明
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( ) s u p { ( ), ( ) 0 ( ) ( ) }EEf x d x x d x x E x f x? ? ?? ? ??? 为 上 的 简 单 函 数,
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)(x?证明：令 c满足 0<c<1,是 R
n上的非负可测
简单函数，且
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则 {En}是递增集列,
?? ??? EEn dxxcdxxc n )()(lim ??
由引理 1知
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fn(x)
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Levi逐项积分定理的证明
?? ??? EE nn dxxcdxxf )()(lim ?得到
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对 Levi逐项积分定理的说明
f(x)
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2.Lebesgue逐项积分定理（ 级数 形式）
然后利用 Levi逐项
积分定理 即可
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若 fn(x)为 E上非负可测函数列,则
对比,积分的线性
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)(xfn则 为非负连续函数，当然为非负可测函数,
定理：若 f(x)在 [a,b]上 Riemann可积，则 f(x)在
[a,b]上 Lebesgue可积，且
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11
从而结论成立
)(xfn则 为 非负 连续 函数，当然为 可测 函数,
从而由 Lebesgue逐项积分定理知,
3.积分的可数可加性
然后利用 Lebesgue
逐项积分定理 即可 )()()(
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上非负可测或可积，则
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的 可测性
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可
积性且 积分值 不变
证明：令 E 1= E[f≠g],E 2= E[f=g]，则 m E1=0
从而
即,设 f(x)=g(x) a.e.于 E,f(x)在 E上可积，则 g(x)在 E上也可积且
?? ? EE dxxgdxxf )()(
???
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例 设 [0,1]上的函数 f(x)在 Cantor集 P上定义为 0，在 Cantor
集余集中长度为 1/3n的构成区间上定义为 n(n=1,2,3,… ),
求 f(x)在 [0,1]上的 Lebesgue积分值
解：令 Gn为 Cantor集 P的余集中长度为 1/3n
的构成区间的并, 由条件知 f(x)是 [0,1]上的
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然后利用 Levi逐项
积分定理 即可
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注：严格不等号可能成立
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注,fn(x)为 E上非负可测函数列且一致收敛到 0,
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n
5.Lebesgue控制收敛定理
证明：显然 f(x)为 E上可测函数
（可测函数列的极限函数是可测函数）
)()(lim xfxf nn ???设 fn(x)为 E上可测函数列,a.e.于 E,
且存在非负可积函数 F(x)，使得 |fn(x)| ≤F(x) a.e,
于 E,
且由 |fn(x)| ≤F(x) a.e.于 E，知 |f(x)| ≤F(x) a.e.于 E,
所以 fn(x),f(x)都为 E上可积函数
?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim则 f(x)在 E上可积且
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由 |fn(x)| ≤F(x) a.e.于 E,
知 F(x)± fn(x)≥ 0 a.e.于 E，由 Fatou引理 知
又 F(x)可积，从而
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Lebesgue控制收敛定理的证明
例 试求
? ??? 10 22 s i n1)(lim n x d xxnnxRn
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则 fn(x)为可测函数且
从而 Lebesgue控制收敛定理知,
