第 4.1节 单调函数与有界变差函数
第四节 微分与不定积分
引入 微积分基本定理
本章的主要目的是要
在 Lebesgue积分理论中推广这一结果
)())()(( xfdttfRdxd x
a
??
?若 f(x)在 [a,b]上 连续,则
)()()(')( aFxFdttFR xa ???
?若 F `(x) 在 [a,b]上 连续,则
主要内容
??? ?? ??? xaxaxa dttfLdttfLdttfLxF )()()()()()()(
为两个单调不减函数的差
? 单调函数 的可微性,单调函数几乎处处有有限导数
? 有界变差函数 （即两个单调不减函数的差）
? 绝对连续函数 （即能写成 不定积分 形式的函数）
1 单调函数的可微性
? 定理 设 f(x)是 [a,b]上的单调不减函数，则 f `(x)
在 [a,b]上几乎处处存在有限导数，且
)()()('
],[
afbfdxxf
ba
???
? 注,等号不一定成立,
即使 f(x)是 [a,b]上的
连续单调不减函数,
例如 Cantor函数。
Weierstrass在 1772构造出一
处处连续但无处可导的函数
) x π(a c o sb ( x ) f n
0n
n??
?
?
（其中 0 <b< 1
且 a为正奇数）
Koch曲线
引入 曲线的求长
btttaT n ????? ?10：分划
2
1})()(()()({()( 2
1
2
11 ??? ????? iiii
n
i
ttttTL ????折线长
1
222
111 { ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) }
n
i i i ii t t t t? ? ? ????? ? ? ? ?
|)()(| 1
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i
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i
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i
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? ()() [,]xtyt t a b???? ?参 数 曲 线 L,
2 有界变差函数
的全变差在为的分点组为 ],[)(}],[:),(s u p {)( baxfbaPPfVfV b
a
b
a
?
上的有界变差函数为，则称若 ],[)()( baxffV b
a
???
为 f(x)对分点组 P的 变差,称
|)()(|),( 1
1 ??
??? iin
i
b
a
xfxfPfV称
,10 bxxxa n ????? ?
设 f(x)是 [a,b]上的有限函数，在 [a,b]上任取一分点组 P
例 闭区间上的 单调函数 一定是有界变差函数
[ ]
|)()(|)(
1
0
afbffV ??
|)()(||)()(|),( 1
1
afbfxfxfPfVP iin
i
b
a
?????? ?
?
，分划
例 连续函数 不一定是 有界变差函数
? ]1,0(c o s 00 2)( ??? xx xxxf ?
上的有界变差函数不为，故从而 ]1,0[)()(1
0
xffV ???
对 [0,1]取分划
1 1 1 12 2 1 3 2,1 1,nnT ?? ? ? ? ? ?
i
n
iii
n
i
xfxfTfV 1
111
1
0
|)()(|),(
???
?????则
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4
-0.2
0.2
1/4
1/2
1/6
3 Jordan分解定理
? 定理 f(x)是有界变差函数 当且仅当
f(x)可表成两个 非负单调不减函数的差
）（
）（其中
即
|)(|)()(
2
1
)(
|)(|)()(
2
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1
21
afxffVxf
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x
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x
a
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???
??
注：由于单调函数的 不连续点全体 为一 可数集,
从而有界变差函数的不连续点为一可数集,
故 Riemann可积,并且 几乎处处 存在有限 导数
Cantor函数
（ Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1/9 1/3 2/3 1
1/2
1/8
1/4
3/8
5/8
7/8
3/4
如此类似取值一直定义下去
Cantor函数
a.在 G=[0,1]-P的各构成区间上,
)(x?
)(x?
}:)(s u p {)( xtGttx ??? 且??}1,0{?? Pxc.当 时,规定
称 为 [0,1] 上的 Cantor函数。
1)1(0)0( ?? ??b.规定
351 2 1
2 2 2 2,,,,;
n
n n n n
?
如前图规定,在第 n次去掉的 2n-1个开区间上依次取值为
显然在 [0,1]上单调不减，从而为有界变差函数,
并且导函数几乎处处为 0,
)0()1(10)(']1,0[ ??? ????? dxx
Cantor函数在 [0,1]上连续
注,Cantor函数把长度为 零 的集合
连续拉长 成长度为 1的集合
))(),(())(),(( 0000 xxxx ?? ???? 或
)(x?否则，若 在 x0∈ (0,1)处不连续,
则开区间 非空,
]1,0[)( ?G?
)(x?此区间中的每个数都不属于 的值域,
这与 矛盾。
（端点情形类似说明）
第二节 不定积分与绝对连续函数
第六章 微分与不定积分
主讲：胡努春
有界变差函数与 不定积分
定理 f(x)是有界变差函数 当且仅当
f(x)可表成两个 非负单调不减函数的差
??? ?? ??? xaxaxa dttfLdttfLdttfLxF )()()()()()()(
? 不定积分 F(x)是有界变差函数，但由 Cantor 函数
（是有界变差函数）知道,先取导数 再取积分
并不能返回，问什么函数满足此性质？
1 绝对连续函数
????? |)()(|1 iini aFbF有
则称 F(x)是 [a,b]上的绝对连续函数
注,绝对连续 函数一定是 一致连续 函数，当然是 连续 函
数，也一定是 有界变差 函数，从而 几乎处处有有限导数。
,0,0 ???? ??设 F(x)是 [a,b]上的有限函数，若
使对 [a,b]中的任意 有限个 互不相交的开区间
),,2,1(),( niba ii ?? 时，当 ????? )(1 iini ab
例
为绝对连续函数则
上的可积函数，是若
cdttfxF
baxf
x
a
?? ? )()(
],[)(1
函数的一真子类
界变差从而绝对连续函数是有但不是绝对连续函数，
故为有界变差函数，函数为单调连续函数，C a n t o r2
利用积分的绝对连续性即可
2 Lebesgue不定积分与微分的关系
)()()(')( aFxFdttFL xa ???
?定理 若 F(x)在 [a,b]上绝对连续，则
推论 F(x)在 [a,b]上绝对连续 当且仅当
cdttfxFxfba xa ?? ? )()()(],[,使上的可积函数存在
?定理 若 f(x)在 [a,b]上 Lebesgue可积，则
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第四节 微分与不定积分
引入 微积分基本定理
本章的主要目的是要
在 Lebesgue积分理论中推广这一结果
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?若 f(x)在 [a,b]上 连续,则
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为两个单调不减函数的差
? 单调函数 的可微性,单调函数几乎处处有有限导数
? 有界变差函数 （即两个单调不减函数的差）
? 绝对连续函数 （即能写成 不定积分 形式的函数）
1 单调函数的可微性
? 定理 设 f(x)是 [a,b]上的单调不减函数，则 f `(x)
在 [a,b]上几乎处处存在有限导数，且
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? 注,等号不一定成立,
即使 f(x)是 [a,b]上的
连续单调不减函数,
例如 Cantor函数。
Weierstrass在 1772构造出一
处处连续但无处可导的函数
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（其中 0 <b< 1
且 a为正奇数）
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2 有界变差函数
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上的有界变差函数为，则称若 ],[)()( baxffV b
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为 f(x)对分点组 P的 变差,称
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设 f(x)是 [a,b]上的有限函数，在 [a,b]上任取一分点组 P
例 闭区间上的 单调函数 一定是有界变差函数
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例 连续函数 不一定是 有界变差函数
? ]1,0(c o s 00 2)( ??? xx xxxf ?
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? 定理 f(x)是有界变差函数 当且仅当
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故 Riemann可积,并且 几乎处处 存在有限 导数
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如此类似取值一直定义下去
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称 为 [0,1] 上的 Cantor函数。
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如前图规定,在第 n次去掉的 2n-1个开区间上依次取值为
显然在 [0,1]上单调不减，从而为有界变差函数,
并且导函数几乎处处为 0,
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Cantor函数在 [0,1]上连续
注,Cantor函数把长度为 零 的集合
连续拉长 成长度为 1的集合
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则开区间 非空,
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（端点情形类似说明）
第二节 不定积分与绝对连续函数
第六章 微分与不定积分
主讲：胡努春
有界变差函数与 不定积分
定理 f(x)是有界变差函数 当且仅当
f(x)可表成两个 非负单调不减函数的差
??? ?? ??? xaxaxa dttfLdttfLdttfLxF )()()()()()()(
? 不定积分 F(x)是有界变差函数，但由 Cantor 函数
（是有界变差函数）知道,先取导数 再取积分
并不能返回，问什么函数满足此性质？
1 绝对连续函数
????? |)()(|1 iini aFbF有
则称 F(x)是 [a,b]上的绝对连续函数
注,绝对连续 函数一定是 一致连续 函数，当然是 连续 函
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界变差从而绝对连续函数是有但不是绝对连续函数，
故为有界变差函数，函数为单调连续函数，C a n t o r2
利用积分的绝对连续性即可
2 Lebesgue不定积分与微分的关系
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?定理 若 F(x)在 [a,b]上绝对连续，则
推论 F(x)在 [a,b]上绝对连续 当且仅当
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?定理 若 f(x)在 [a,b]上 Lebesgue可积，则
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