第三节 开集的可测性
第三章 测度理论
注：开集、闭集既是 型集也是 型集；
有理数集是 型集，但不是 型集；
无理数集是 型集，但不是 型集。
?G
?G
?G
?F
?F
?F
有理数集 可看成 可数个 单点集 的并，而单点集是 闭集 ；
通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
?G ?F
I例 区间 是可测集，且
?F
?G注,零集, 区间, 开集,闭集,型集（ 可数个开集的交 ）,
型集（ 可数个闭集的并 ）,Borel型集 （粗略说：从开集出发
通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
证明见书本 p66 || ImI ?
2,可测集与开集、闭集的关系
即,可测集与开集、闭集只相差一小测度集
（可测集“差不多”就是开集或闭集）,
从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。
?
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)(
,0)1(
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且使得
，开集可测，则若
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，闭集可测，则若
证明：若 (1)已证明，由 Ec可测可知
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证明,(1)当 mE<+∞时，由外测度定义知
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从而（这里用到 mE<+∞ ）
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对每个 Ei应用上述结果
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(2)当 mE=+∞时,
这时将 E分解成可数个互不相交的可测集的并,
例
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?且，使得开集
证明：对任意的 1/n,
例：设 E为 [0,1]中的有理数全体,试各写出一个与 E只相差一小
测度集的开集和闭集。
例：设 E*为 [0,1]中的无理数全体，试各写出一个与 E*只相差一小
测度集的开集和闭集。
},,,{ 321 ?rrrE ?
开集, (0,1)
闭集,
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开集,
闭集：空集
3,可测集与 集和 集的关系 ?G ?F
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可测集可由 型集去掉一零集,
或 型集添上一零集得到。
0)( ??? HEmEH 且
?F(2).若 E可测，则存在 型集 H,使
0)( ??? EOmOE 且
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(2).若 E可测，则存在 型集 H,使
证明：若 (1)已证明，由 Ec可测可知
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取 H=O c，则 H为 型集, 且
(1).若 E可测，则存在 型集 O,使
证明：对任意的 1/n,
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例,
例：设 E*为 [0,1]中的无理数全体，试各写出一个与 E*只相差一零
测度集的 型集或 型集。
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设 E为 [0,1]中的有理数全体,试各写出一个与 E只相差一
零测度集的 型集或 型集。
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注：上面的交与并不可交换次序
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类似可证,
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第四节 不可测集
? 存在不可测集 （利用选择公理构造，教
材 p73 ; 1970,R.Solovay证明不可测集存
在蕴涵选择公理）
?存在不是 Borel集的可测集
（利用 Cantor函数和不可测集构造）
参见：, 实变函数, 周民强,p87
第三章 测度理论
注：开集、闭集既是 型集也是 型集；
有理数集是 型集，但不是 型集；
无理数集是 型集，但不是 型集。
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有理数集 可看成 可数个 单点集 的并，而单点集是 闭集 ；
通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
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通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
证明见书本 p66 || ImI ?
2,可测集与开集、闭集的关系
即,可测集与开集、闭集只相差一小测度集
（可测集“差不多”就是开集或闭集）,
从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。
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例：设 E为 [0,1]中的有理数全体,试各写出一个与 E只相差一小
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在蕴涵选择公理）
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参见：, 实变函数, 周民强,p87
