第一节 集合及其运算
第一章 集合及其基数
1,集合的基本概念及运算
}:{\ BxAxxBABA ???? 但或差：
不一定成立ABBA ??? )(
A B
注：书中用 表示包含或真包含关系 ?
cBABA ???注：
ASAC s ??余,（其中 S为全集）,简记为 A
c
2.集簇的交和并
}:{ BxAxxBA ??? 或?
},:{ ??
?
? AxxA ?????
??
使?
为指标为指标集,??
注：当 时，如何？ ???
集簇的并
???? ??? ? }{}|{ AA 或集簇,
}{ nA特别当 时，称集簇为 集列,记为 N??
}:{ BxAxxBA ??? 且?
},:{ ??
?
? AxxA ?????
??
有?
集簇的交
注：当 时，如何？ ???
例
注：在本书中我们未把 0包含在 N内,+∞不在Ｎ中
,},11:{ 11 NnxxA nnn ???????设
]0,1[
1
???
?
? nn
A )1,2(
1
???
?
? nn
A
( ( ] )
-2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1
例
][1][ 1nafnaf EE ??
?
??
??
则记设 },)(:{,,][ axfExEREf af ???? ?
( [
a-1/n a
),(),[ 1
1
???????
?
? nn
aa
)( ][
1
1
nafn
E ??
?
?
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)),[( 1
1
????
?
? nn
a
( [ ( [ [
a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a
例 则记设 },)(:{,:
][ axfExEREf af ???? ?
][1][ 1nafnaf EE ??
?
??
??
( [
a a+1/n
)),(( 1
1
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? nn
a
)( ][
1
1
nafn
E ??
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),[),( 1
1
???????
?
? nn
aa
},:),{( BbAabaBA ????
},,,2,1,:),,,,{( 21
1
???? niAxxxxA iin
i
i ????
?
?
},,2,1,:),,,{( 21
1
niAxxxxA iin
n
i
i ?? ????
?
笛卡尔乘积
思考：如何定义任意多个集合的 笛卡尔乘积？
3.集合的运算性质
?? ???? ? ? ?? ?
cc AA )(
?? ???? ? ? ?? ?
cc AA )(
De Morgan公式
注：通过取余集，使 A与 Ac,∪ 与 ∩互相转换
},,:{ nAxNnNx ????? 使
是一个集合序列设 ??,,,,21 nAAA
4.上、下极限集
()
{, }
{, }
l im s u pl im nn
n n
n
nn
AA
x x A
x A x A
??
?
??
或
属 于 无 限 多 个 集 合
存 在 无 限 多 个, 使
上极限集
? ??
?
?
?
?
1N Nn
nA
NB
例：设 A2n=[0,1]
A2n+1=[1,2];
则上极限集为 [0,2］
下极限集
()
{, }
{, }
l im l im in fnn
nn
n
n
AA
x x A
x n x A
??
??
或
除 去 有 限 个 集 外, 有
当 充 分 大 时, 有
? ??
?
?
?
?
1N Nn
nA
例：设 A2n=[0,1]
A2n+1=[1,2];
则上极限集为 [0,2],
下极限集为 {1}
?? ?
?????
?
?
???
11 l im
l im
n
nn
n
n
nn
n AAAA
? ?
?
?
?
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?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 使
上极限集
()
{, }
l im supl im nn
n n
n
AA
x x A
??
?
或
属 于 无 限 多 个 集 合
},,:{ nAxNnNx ????? 有
NB
如果集列 的上极限集与下极限集相等，即 }{
nA
AAA nnnn ?? ???? limlim
极限集
则称集列 收敛，称其共同的极限为集
列 的极限集，记为,AA nn ???lim
}{ nA
}{ nA
单调 增 集列 极限;}{),(}{ 1 为单调减少则称满足若集列 nnnn ANnAAA ??? ?;}{),(}{ 1 为单调增加则称满足若集列 nnnn ANnAAA ??? ?
定理 9,单调集列是收敛的
.}{)2
1
lim ?
?
???
?
n
nn
n
n AAA 单调减少，则若;,}{)1
1
lim ?
?
???
?
n
nn
n
n AAA 则单调增加若
单调 增 集列 极限分析
? ?
?
?
?
?
?
?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 使
)( s u plimlim n
n
n
n
AA
??
? ?
?
?
?
?
?
?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 有
)( in flimlim n
n
n
n
AA
??
?? ?
??
?
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?
?
?
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11
1
n
n
N Nn
n
n
n
Nn
n
AA
AA
当 An为 单调增加 集列时
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11 N
N
N Nn
n
N
Nn
n
AA
AA
单调减集列 极限分析
? ?
?
?
?
?
?
?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 使
)( s u plimlim n
n
n
n
AA
??
? ?
?
?
?
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?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 有
)( in flimlim n
n
n
n
AA
??
?? ?
?
?
?
?
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?
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?
11 N
N
N Nn
n
N
Nn
n
AA
AA
当 An为 单调减小 集列时
?? ?
??
?
?
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?
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?
?
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?
?
?
11
1
n
n
N Nn
n
n
n
Nn
n
AA
AA
则设,),,(),11,11( 212 NnnnAnnA nn ?????????
例
),(lim ??????? nn A
? ?
?
?
?
?
?
?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 使
)( s u plimlim n
n
n
n
AA
??
? ?
?
?
?
?
?
?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 有
)( in flimlim n
n
n
n
AA
??
( ( ( ） ) )
-n -1 0 1 2 n
]1,1(lim ???? nn A
则设,],1,[],4,[ 1121112 NnAA nnnnnn ???????例
]1,0(lim ??? nn A[ 0,4 )l i m nn A?? ?
[ [ ] ]
-1 0 1 2 3 4
? ?
?
?
?
?
?
?????
1
},,:{
N Nn
n
n
A
AxNnNx 有
)( in flimlim n
n
n
n
AA
??
? ?
?
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?
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N Nn
n
n
A
AxNnNx 使
)( s u plimlim n
n
n
n
AA
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例
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????
1 1
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k N Nn
knnn xfxfxxfxfx
knknn xfxfNnNxfxf 11 |)()(|,,1,1:)()(lim ??????????? 有
},:{ ??
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? AxxA ?????
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有?
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1 1
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k N Nn
knnn axfxaxfxxfxf,则设
kn
kk
axfNnN
axf
1
11
)(,,1
,)(,1
??????
????
有
利用极限的保号性知，使得从而
aaxfn
axfNnN
k
knk
???
????????
1
11
)(
)(,,1,1
取极限，则两边关于
有则
，若 ? ? ?
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,)()(l i m},)({ axfxfaxfxx nn ???? ??即：反之若
a a+1/k f(x)