第一节 n维欧氏空间
第二章 n 维空间中的 点集
⒈ 度量空间
? 定义：设 X为一 非空集合, d, X× X→R 为一映射，
且满足
⑴ d(x,y)≥ 0,d(x,y)=0当且仅当 x = y（ 正定性 ）
⑵ d(x,y)=d(y,x) （ 对称性 ）
则称 (X,d)为度量空间,
⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（ 三角不等式 ）
例,
⑶ C[a,b]空间 (C[a,b]表示闭区间 [a,b]上实值连
续函数全体 ),其中
|)()(|m a x),( tytxyxd
bta
??
??
?
?
??
n
i
ii yxyxd
1
2)(),(
⑴ 欧氏空间 （ R n,d）,其中
yx
yxyxd
?
??
1
0{),(
⑵ 离散空间 (X,d)，其中
⒉ 欧氏空间中各类点的定义
EEEEE ???? '' }{ 的孤立点全体
接触点、聚点
不一定属于 E
孤立点一定属于 E
}),(|{ 0),( 0 ?? ?? ppdpO p点 P0的 δ邻域,
????? EO p ),( 0,0 ?? 有P0为 E的 接触点,
?????? }){(,0 0),( 0 pEO p ?? 有P0为 E的 聚点,
}{,0 0),( 0 pEO p ???? ?? 使得P0为 E的 孤立点,
E记 为 E的闭包（接触点全体）
'E记 为 E的导集（聚点全体）
欧氏空间中各类点的定义
边界点不一定属于 E
内点一定属于 E
cp EO ??? ),(
0,0 ?? 使得即
P0为 Ec的 内点,
EO p ??? ),( 0,0 ?? 使得
P0为 E的 内点,
????? EO p ),( 0,0 ?? 使得 P0为 E的 外点,
???????? cpp EOEO ),(),( 00,0 ??? 且有P0为 E的 边界点,
?E
记 为 E的内部（内点全体）
E?记 为 E的边界 （ 边界点 全体）
注：接触点、聚点、边界点不一定属于 E,
内点、孤立点一定属于 E。
例 （ 1） 令 E = Q, 则 ?????? ?EREEE '
（ 2）令 E={1,1/2,1/3,…, 1/k,…},则
对一切 1/k (k=1,2,3,…) 均为 E的 孤立点 。
}0{' ?E
接触点、聚点表示它与集合 紧挨
内点表示它 周围的点 都在集合 内
''{}E E E E E E E? ? ? ? ? ? ?的 孤 立 点 全 体由定义可知
外点、接触点、内点的关系
cccc EEEE )()()()( ?? ??
????? EO p ),( 0,0 ?? 有P0为 E的接触点,
EO p ??? ),( 0,0 ?? 使得P0为 E的内点,
cpp EOEO ?????? ),(),(
00,,0 ??? 即使得
P0为 E的外点,
例 设 p0是 E的聚点,证明 p0的任意邻域内至少含有 无穷多
属于 E而异于 p0的点,
为有限集，假如 }){( 0),( 0 pEO p ???
},,,{}){( 210),( 0 np ppppEO ?????不妨令
},,2,1|),(m i n { 0 nippd i ?????取
????? }){( 0),( 0 pEO p ?则
}){( 0),( 0 pEO p ???
这与（ *）矛盾,
所以 为无限集。
0(,) 00,( { } )pO E p??? ? ? ? ? ? （ * ）
证明：由条件知
P0 δ
Pn
例 E中的 孤立点集 或为有限集或为可数集。
?????? ),(),(
2121
,,,yx yx OOyxAyx ??必有下证
),(),( 2121,yx yx OOz ?? ???若否则
},m a x {),,(),(),( 2121 yxyxyzdzxdyxd ???? ?????则
12(,){ | }xxO x A? ?
这与 （ *） 式矛盾,
所以 是 一簇两两不交的开区间,
从而 A至多可数。
Ax ??
( * )}{,0 ),( xEO xxx ???? ?? 使得
证明：设 A为孤立点集，,由孤立点
的定义知
⒊ 聚点的等价描述
证明, 显然，下证 )1()2()3( ?? )3()1( ?
定理：下列条件等价,
(1) p0为 E的聚点
(3)存在 E中互异的点所成点列 {pn},使得
0lim pp nn ???
0(,) 0( 0,( { } )pO E p??? ? ? ? ? ?即, 有 ）
P0 δ
Pn
),(
0
0
,,0,0
,0),(lim
?? pn
nn
OpNnN
ppd
???????
?
??
有即
若
0lim pp nn ???
定义：称点列 {pn} 收敛于 p0,记为,
(2)点 p0的任意邻域内，含有 无穷多个 属于 E而异于 p0的点
设 p0是 E的聚点，证明存在 E中的 互异 的点所成的点列 {pn}
使
}){(,)},(,m i n { 0),(011 0 pEOpppd npnnnn ???? ? ?? 取时当
?
?
0lim pp nn ???
}){(,)},(,m i n { 0),(201212 20 pEOpppd p ???? ?? 取时当
}){(,1 0),(11 10 pEOp p ???? ?? 取时当
0lim pp nn ???
则上述取出的点列 Pn是互异点列,且
?????? }){(,0 0),( 0 pEO p ??证明：由聚点的定义知
保证收敛 保证点列互异
?P0为 E的接触点,
?P0为 E的聚点,?????? }){(,0
0),( 0 pEO p ?? 有
????? EO p ),( 0,0 ?? 有
注：聚点的等价条件的证明中, 1/n是为
了保证 收敛,而 d(pn-1,p0)是为了保证点列 两两互异,但证明接触
点时，无法保证 d(pn-1,p0)不为 0，所以不能保证点列两两互异。
)},(,m i n { 011 ppd nnn ???
0lim pp nn ???p0是 E的 聚点 的 充要条件 为 存在 E中的 互异 的点所成的点列 {pn},使得
P0 δ
Pn
0lim pp nn ???
p0为 E的 接触点 的 充要条件 为存在 E中点列 {pn},使得
第二章 n 维空间中的 点集
⒈ 度量空间
? 定义：设 X为一 非空集合, d, X× X→R 为一映射，
且满足
⑴ d(x,y)≥ 0,d(x,y)=0当且仅当 x = y（ 正定性 ）
⑵ d(x,y)=d(y,x) （ 对称性 ）
则称 (X,d)为度量空间,
⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（ 三角不等式 ）
例,
⑶ C[a,b]空间 (C[a,b]表示闭区间 [a,b]上实值连
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⑴ 欧氏空间 （ R n,d）,其中
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⑵ 离散空间 (X,d)，其中
⒉ 欧氏空间中各类点的定义
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接触点、聚点
不一定属于 E
孤立点一定属于 E
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????? EO p ),( 0,0 ?? 有P0为 E的 接触点,
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E记 为 E的闭包（接触点全体）
'E记 为 E的导集（聚点全体）
欧氏空间中各类点的定义
边界点不一定属于 E
内点一定属于 E
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P0为 Ec的 内点,
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P0为 E的 内点,
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记 为 E的内部（内点全体）
E?记 为 E的边界 （ 边界点 全体）
注：接触点、聚点、边界点不一定属于 E,
内点、孤立点一定属于 E。
例 （ 1） 令 E = Q, 则 ?????? ?EREEE '
（ 2）令 E={1,1/2,1/3,…, 1/k,…},则
对一切 1/k (k=1,2,3,…) 均为 E的 孤立点 。
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接触点、聚点表示它与集合 紧挨
内点表示它 周围的点 都在集合 内
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外点、接触点、内点的关系
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P0为 E的外点,
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证明：设 A为孤立点集，,由孤立点
的定义知
⒊ 聚点的等价描述
证明, 显然，下证 )1()2()3( ?? )3()1( ?
定理：下列条件等价,
(1) p0为 E的聚点
(3)存在 E中互异的点所成点列 {pn},使得
0lim pp nn ???
0(,) 0( 0,( { } )pO E p??? ? ? ? ? ?即, 有 ）
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若
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定义：称点列 {pn} 收敛于 p0,记为,
(2)点 p0的任意邻域内，含有 无穷多个 属于 E而异于 p0的点
设 p0是 E的聚点，证明存在 E中的 互异 的点所成的点列 {pn}
使
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则上述取出的点列 Pn是互异点列,且
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保证收敛 保证点列互异
?P0为 E的接触点,
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注：聚点的等价条件的证明中, 1/n是为
了保证 收敛,而 d(pn-1,p0)是为了保证点列 两两互异,但证明接触
点时，无法保证 d(pn-1,p0)不为 0，所以不能保证点列两两互异。
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