第六章 函数空间 Lp简介
本讲目的,掌握 函数空间 Lp的定义及其重
要意义,
重点与难点, Newton-Leibniz公式的证
明 。
第一节 Lp-空间简介
第一节 Lp-空间简介
人们在用迭代方法解微分方程或积分方程
时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次
迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数），
但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭
代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促
使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此
基础上产生的。 1907年,F.Riesz与 Frechet
首先定义了 [0,1]上的平方可积函数空间，即
}||,|{])1,0([ 2 可积且可测函数是 fL e b e s g u effL p ?
第一节 Lp-空间简介
随后,人们又进一步考察 p-方可积函数，得
到空间,考虑这些空间的一个基本思想是，
不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而
是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数
集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所
研究的 Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现
在则要将这些树木放在起构成一片森林。
pL
第一节 Lp-空间简介
pL
]),([ baC
一, — 空间的定义
gf,|)()(|m a x xgxfbxa ???
nR
我们知道,Rn中有线性运算，有距离公式，对于
两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所
谓, 距离, 的定义却不是件简单的是。首先，所定义
的距离必须有意义，例如，对于 中的两个函
数,可以用 定义它们的距离，但
如果用它来定义一般 Lebesgue可测函数间的距离显
然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离
的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以
通过 中的距离归纳出来，即下面的
第一节 Lp-空间简介
定义 1 设 是一个集合 。 的函数 。 满足,
1RAA 到是 ??A
（ i）对任意
)(
0),(0),(,,
非负性当且仅当
并且
gf
gfgfAgf
?
??? ??
（ ii）对任意 ))(,(),(,,对称性gfgfAgf ?? ??
),(),(),(,,,ghhfgfAhgf ??? ???（ iii） 对任意
（ 三角不等式 ） 。 则称是 A上的距离
是 E上的 Lebesgue可测函数,
ffELLEp pn |{)(,,1 ????? 记设
且
? ??E p dxxf }|)(| 。
第一节 Lp-空间简介
对任意,显然 仍
是 E上的可测函数，由于对任意实数,有
1,)(,RELgf p ?? ??及 gf ?? ?
ba,
| },||,m a x { |2|| baba ??
所以
}|)(|,|)(m a x { |2|)()(| pppp xgxfxgxf ???? ??
)|)(||||)(||(|2 ppppp xgxf ?? ??
第一节 Lp-空间简介
因此不难看出 。
从 的定义, 启发我们以下面的方式定义
上的距离,
由上面的讨论, 显见对任意, 有
)( ELgf p?? ??
)(ELp )(ELp
p
E
p dxxgxfgfp /1]|)()(|[),( ? ??
)(,ELgf p?
???? ),(0 gf?
第一节 Lp-空间简介
即 上非负的有限函数。它是不是
上的距离呢？为此，设,则得
,
于是,进而
由此立得
另一方面, 若
)()( ELEL pp ?是? )(ELp
0),( ?gf?
0]|)()(|[
1
??? p
E
p dxxgxf
0|)()(|[ ???E p dxxgxf
]..[.0|)()(| Eeaxgxf p ??
]..[.)()( Eeaxgxf ?
].[.)()( 1 Eeaxfxf ? ].[.)()( 1 Eeaxgxg ?
第一节 Lp-空间简介
则,
从 而 。
上述分析说明, 并不是 上的距离, 但
使 的函数必有几乎处处相等的, 反之亦
然 。 因此, 我们可以将 中几乎处处相等的函数
放在一起, 从而构成新的集合,
当且仅当
].[.)()()()( 11 Eeaxgxfxgxf ???
),(),( 11 gfgf ?? ?
),( gf? )(ELp
0),( ?gf?
)(ELp
][),(|]{[)( fgELffEL pp ??? ]}.[,Eeagf ?
第一节 Lp-空间简介
对任意,定义
不难看到，对任意,,恒有
故上面的定义是无歧义的，此外，若,
则显然有 。这样,作为
上的函数的确满足距离定义中的（ i），至于（ ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（ iii）。
)(][],[ ELgf p? pp
E
dxgfgf /1]||[])[],([ ?? ??
][1 ff ? ][1 gg ?
pp
E
pp
E
dxgfdxgf /111/1 ]||[]||[ ??? ??
0])[],([ ?gf?
][][ gf ? ? )()( ELEL pp ?
第一节 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 记,只要说
则指的就是与 几乎处处相等的函数类,若
说 则指的就是单一的函数 。
二。几个重要的不等式
引理 1 设 是正数，,,
则 等式成立当且仅当,或
中有一个为 0。
f ][f )( ELf p?
f ][ f
)( ELf p? f
ba,0,??? 1?? ??
baba ???? ?? ba ? ??,
第一节 Lp-空间简介
证明：不妨设 （ 情形可类似证 明），
由引理的条件知，于是要证的不等式可写成
即
记,则对任意,存在,
使, 因,
所以,从而,
ba ? ba ?
1)1()( ????? bababa ????
)1(1)( ??? baba ??
?xxF ?)( 1?c ],1[ c??
1)(
1
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c
FcF
1??
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第一节 Lp-空间简介
即 。 令,立得
从证明过程可以看出，等号成立当且仅当 或
或 0，证毕。
定理 1（霍尔德（ Holder）不等式）
设,（满足条件的 称作共
轭数），,,则
)1(1 ??? cc ??
b
ac ?
)1(1)( ??? baba ??
ba ?
1?a
111,1,1 ???? qpqp qp,
)( ELf p? )( ELg q? ),(1 ELfg ?
第一节 Lp-空间简介
且 。 （ 1）
等式成立当且仅当 与 相差一个常数因子 。
证明：若 中有一个为 0,则 （ 1） 式显然成立
（ 事 实 上, 此时 （ 1 ） 式 两 边 都 为 0）, 故 不 妨
设 均不为 0。 于是
都不为 0,
qq
E
pp
EE
dxgdxfdxfg
11
]||[]||[|| ??? ??
pf || qg ||
gf,
gf,dxgdxf q
E
p
E
||,|| ??
第一节 Lp-空间简介
记
则由引理 1，当, 都不为 0时，有
即
,
1
,
1
,
||
|)(|
)(,
||
|)(|
)(
qpdxg
xg
xb
dxf
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q
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p
p
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q
E
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11
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??
E
q
q
E
p
p
dxxg
xg
qdxxf
xf
p |)(|
|)(|1
|)(|
|)(|1
第一节 Lp-空间简介
且等号只有在 即
与 只差一个常数因子时才成立，不等式两
边作积分得,此
即所要的不等式，证毕。
定理 2（ Minkowski不等式 ）
dxxg
xg
dxxf
xf
q
E
q
p
E
p
|)(|
|)(|
|)(|
|)(|
??
?
pf ||
qg ||
1
11
]||[]||[
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?
qp
dxgdxf
dxxgxf
qq
E
pp
E
E
第一节 Lp-空间简介
设,, 则
（ 2）
若, 则等号只在 与 相差一个非负常数因子
时成立 。
证明：当 时, 不等式显然成立,
若,则不等式也是显然的, 故不妨
1?p )(,ELgf p?
pp
E
dxxgxf
1
]|)()(|[ ??
pp
E
pp
E
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11
]|)(|[]|)(|[ ?? ??
1?p f g
1?p
0|| ??? dxgf p
E
第一节 Lp-空间简介
设,且,注意到
时,,故
其中 是 的共轭数，即,于是
由 Holder不等式得
（ 3）
0|| ??? dxgf p
E
1?p
)(,ELgf p? )( ELgf p?? )(|| ELgf pq
p
??
1?q p 111 ??
qp
dxxgxfxf q
p
E
|)()(||)(| ??
qqq
p
E
pp
E
xgxfdxxf
11
])|)()((|[]|)(|[ ??? ??
第一节 Lp-空间简介
类似地, 也有
（ 4 ）
将两个不等式相加得
dxxgxfxg q
p
E
|)()(||)(| ??
qqq
p
E
pp
E
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11
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dxxgxfdxxgxf q
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11
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E
pp
E
pp dxxgdxxf
dxxgxfxgxf
E
q
p
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第一节 Lp-空间简介
两边同除以 立得所要的不
等式。
要使（ 2）式中的等号成立，必须且只需（ 3）、
（ 4）及 （ 5）的第一个不等式成为
等式，而使 （ 3）、（ 4）成为等式的充要
qp
E
dxxgxf
1
]|)()(|.[ ??
qp
E
dxxgxf
1
]|)()(|[ ??
第一节 Lp-空间简介
条件是, 与 都只差一常数
因子,由于假设了 从而
,所以 与 只差一
常数因子，即存在常数 c，使
进而 。要使（ 5）中第一个不
等式成为等式，必须有
pf || pg || q
p
gf || ?
0|| ??? dxgf p
E
0|| ?? q
p
gf pf || pg ||
][..|||| Eeagcf pp ?
][..||||
1
Eeagcf p?
第一节 Lp-空间简介
这意味着 与 的符号在 E上几乎处处
相 同,从而由 得
所以,
证毕。
由定理 2不难看到 上的函数
满足三角不等式，即对任意,
][..|)(||)(||)()(| Eeaxgxfxgxf ???
)(xf )(xg
][..|)(||)(|
1
Eeaxgcxf p?
][..)()(
1
Eeaxgcxf p? ][..)()(
1
Eeaxgcxf p?
)()( ELEL pp ? ?
)(,,ELhgf p?
第一节 Lp-空间简介
有 。
事实上,
。
综上立知 是 上的距离
对, 定义
),(),(),( ghhfgf ??? ??
pp
E
dxxgxfgf
1
]|)()(|[),( ?? ??
pp
E
dxxgxhxhxf
1
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),(),( ghhf ?? ??
)( ELf p?
pp
E
pp
E
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11
]|)()(|[]|)()(|[ ???? ??
? )(ELp
第一节 Lp-空间简介
则由距离的定义立得
（ i）, 当且仅当 。
（ ii） 对任意, 。
（ iii）
称满足 （ i）, （ ii）, （ iii） 的, 函数, 为
上的范数, 称为 的范数, 它是 中向量的
,模, 或, 长度, 概念的自然推广 。
pp
Ep
dxxfff
1
]|)(|[)0,( ??? ?
0?pf 0?pf 0?f
1Ra ?
pp faaf ?
))(,( ELgfgfgf pppp ????
p? )(EL
p
pf f
nR
本讲目的,掌握 函数空间 Lp的定义及其重
要意义,
重点与难点, Newton-Leibniz公式的证
明 。
第一节 Lp-空间简介
第一节 Lp-空间简介
人们在用迭代方法解微分方程或积分方程
时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次
迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数），
但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭
代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促
使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此
基础上产生的。 1907年,F.Riesz与 Frechet
首先定义了 [0,1]上的平方可积函数空间，即
}||,|{])1,0([ 2 可积且可测函数是 fL e b e s g u effL p ?
第一节 Lp-空间简介
随后,人们又进一步考察 p-方可积函数，得
到空间,考虑这些空间的一个基本思想是，
不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而
是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数
集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所
研究的 Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现
在则要将这些树木放在起构成一片森林。
pL
第一节 Lp-空间简介
pL
]),([ baC
一, — 空间的定义
gf,|)()(|m a x xgxfbxa ???
nR
我们知道,Rn中有线性运算，有距离公式，对于
两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所
谓, 距离, 的定义却不是件简单的是。首先，所定义
的距离必须有意义，例如，对于 中的两个函
数,可以用 定义它们的距离，但
如果用它来定义一般 Lebesgue可测函数间的距离显
然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离
的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以
通过 中的距离归纳出来，即下面的
第一节 Lp-空间简介
定义 1 设 是一个集合 。 的函数 。 满足,
1RAA 到是 ??A
（ i）对任意
)(
0),(0),(,,
非负性当且仅当
并且
gf
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?
??? ??
（ ii）对任意 ))(,(),(,,对称性gfgfAgf ?? ??
),(),(),(,,,ghhfgfAhgf ??? ???（ iii） 对任意
（ 三角不等式 ） 。 则称是 A上的距离
是 E上的 Lebesgue可测函数,
ffELLEp pn |{)(,,1 ????? 记设
且
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第一节 Lp-空间简介
对任意,显然 仍
是 E上的可测函数，由于对任意实数,有
1,)(,RELgf p ?? ??及 gf ?? ?
ba,
| },||,m a x { |2|| baba ??
所以
}|)(|,|)(m a x { |2|)()(| pppp xgxfxgxf ???? ??
)|)(||||)(||(|2 ppppp xgxf ?? ??
第一节 Lp-空间简介
因此不难看出 。
从 的定义, 启发我们以下面的方式定义
上的距离,
由上面的讨论, 显见对任意, 有
)( ELgf p?? ??
)(ELp )(ELp
p
E
p dxxgxfgfp /1]|)()(|[),( ? ??
)(,ELgf p?
???? ),(0 gf?
第一节 Lp-空间简介
即 上非负的有限函数。它是不是
上的距离呢？为此，设,则得
,
于是,进而
由此立得
另一方面, 若
)()( ELEL pp ?是? )(ELp
0),( ?gf?
0]|)()(|[
1
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E
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]..[.)()( Eeaxgxf ?
].[.)()( 1 Eeaxfxf ? ].[.)()( 1 Eeaxgxg ?
第一节 Lp-空间简介
则,
从 而 。
上述分析说明, 并不是 上的距离, 但
使 的函数必有几乎处处相等的, 反之亦
然 。 因此, 我们可以将 中几乎处处相等的函数
放在一起, 从而构成新的集合,
当且仅当
].[.)()()()( 11 Eeaxgxfxgxf ???
),(),( 11 gfgf ?? ?
),( gf? )(ELp
0),( ?gf?
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第一节 Lp-空间简介
对任意,定义
不难看到，对任意,,恒有
故上面的定义是无歧义的，此外，若,
则显然有 。这样,作为
上的函数的确满足距离定义中的（ i），至于（ ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（ iii）。
)(][],[ ELgf p? pp
E
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][1 ff ? ][1 gg ?
pp
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][][ gf ? ? )()( ELEL pp ?
第一节 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 记,只要说
则指的就是与 几乎处处相等的函数类,若
说 则指的就是单一的函数 。
二。几个重要的不等式
引理 1 设 是正数，,,
则 等式成立当且仅当,或
中有一个为 0。
f ][f )( ELf p?
f ][ f
)( ELf p? f
ba,0,??? 1?? ??
baba ???? ?? ba ? ??,
第一节 Lp-空间简介
证明：不妨设 （ 情形可类似证 明），
由引理的条件知，于是要证的不等式可写成
即
记,则对任意,存在,
使, 因,
所以,从而,
ba ? ba ?
1)1()( ????? bababa ????
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1)(
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第一节 Lp-空间简介
即 。 令,立得
从证明过程可以看出，等号成立当且仅当 或
或 0，证毕。
定理 1（霍尔德（ Holder）不等式）
设,（满足条件的 称作共
轭数），,,则
)1(1 ??? cc ??
b
ac ?
)1(1)( ??? baba ??
ba ?
1?a
111,1,1 ???? qpqp qp,
)( ELf p? )( ELg q? ),(1 ELfg ?
第一节 Lp-空间简介
且 。 （ 1）
等式成立当且仅当 与 相差一个常数因子 。
证明：若 中有一个为 0,则 （ 1） 式显然成立
（ 事 实 上, 此时 （ 1 ） 式 两 边 都 为 0）, 故 不 妨
设 均不为 0。 于是
都不为 0,
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第一节 Lp-空间简介
记
则由引理 1，当, 都不为 0时，有
即
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第一节 Lp-空间简介
且等号只有在 即
与 只差一个常数因子时才成立，不等式两
边作积分得,此
即所要的不等式，证毕。
定理 2（ Minkowski不等式 ）
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第一节 Lp-空间简介
设,, 则
（ 2）
若, 则等号只在 与 相差一个非负常数因子
时成立 。
证明：当 时, 不等式显然成立,
若,则不等式也是显然的, 故不妨
1?p )(,ELgf p?
pp
E
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1
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11
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0|| ??? dxgf p
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第一节 Lp-空间简介
设,且,注意到
时,,故
其中 是 的共轭数，即,于是
由 Holder不等式得
（ 3）
0|| ??? dxgf p
E
1?p
)(,ELgf p? )( ELgf p?? )(|| ELgf pq
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1?q p 111 ??
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p
E
pp
E
xgxfdxxf
11
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第一节 Lp-空间简介
类似地, 也有
（ 4 ）
将两个不等式相加得
dxxgxfxg q
p
E
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p
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E
dxxgxfdxxg
11
])|)()((|[]|)(|[ ??? ??
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第一节 Lp-空间简介
两边同除以 立得所要的不
等式。
要使（ 2）式中的等号成立，必须且只需（ 3）、
（ 4）及 （ 5）的第一个不等式成为
等式，而使 （ 3）、（ 4）成为等式的充要
qp
E
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1
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qp
E
dxxgxf
1
]|)()(|[ ??
第一节 Lp-空间简介
条件是, 与 都只差一常数
因子,由于假设了 从而
,所以 与 只差一
常数因子，即存在常数 c，使
进而 。要使（ 5）中第一个不
等式成为等式，必须有
pf || pg || q
p
gf || ?
0|| ??? dxgf p
E
0|| ?? q
p
gf pf || pg ||
][..|||| Eeagcf pp ?
][..||||
1
Eeagcf p?
第一节 Lp-空间简介
这意味着 与 的符号在 E上几乎处处
相 同,从而由 得
所以,
证毕。
由定理 2不难看到 上的函数
满足三角不等式，即对任意,
][..|)(||)(||)()(| Eeaxgxfxgxf ???
)(xf )(xg
][..|)(||)(|
1
Eeaxgcxf p?
][..)()(
1
Eeaxgcxf p? ][..)()(
1
Eeaxgcxf p?
)()( ELEL pp ? ?
)(,,ELhgf p?
第一节 Lp-空间简介
有 。
事实上,
。
综上立知 是 上的距离
对, 定义
),(),(),( ghhfgf ??? ??
pp
E
dxxgxfgf
1
]|)()(|[),( ?? ??
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E
dxxgxhxhxf
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? )(ELp
第一节 Lp-空间简介
则由距离的定义立得
（ i）, 当且仅当 。
（ ii） 对任意, 。
（ iii）
称满足 （ i）, （ ii）, （ iii） 的, 函数, 为
上的范数, 称为 的范数, 它是 中向量的
,模, 或, 长度, 概念的自然推广 。
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1
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