目的,进一步了解单调函数的性质, 熟悉
有界变差函数的定义, 掌握其性质 。
重点与难点,单调函数的性质, 有界变差
函数的定义及其性质 。
4.4 有界变差函数
第四节 微分与不定积分
第四节 有界变差函数
基本内容,
一, 单调函数可导性的推论
问题 1：如果 fn 是单调函数序列, 且
, 不难看出 f也是单调
的, 从而也几乎处处有有限导数,
fn 的导数与 f 的导数有什么关系？
等式
是否成立？
.,eaff n ??
..'' eaff n ??
第四节 有界变差函数
(1) Fubini定理
问题 2：跳跃函数的导数是什么？
推论 1(Fubini) 设 是 上的
单调增加有限函数序列，且 在
上处处收敛到有限函数 f,则
。
}{ nf
?
?
?1n
nf
??
n
n baeaff ],[..''
],[ ba
],[ ba
证明：不妨设,否
则可令,对 讨
论就行了。记
,
则 都是单调增加函数，故去
掉一个零测集 E 后,
都存在。
),2,1(,0)( ??? naf n
)()()(~ afxfxf nnn ?? nf~
?
?
?
n
i
in xfxS
1
)()(
)(),( xfxS nn
),2,1)((' ??nxF n
第四节 有界变差函数
因 及
单调增加，故其导数均非负，从而当
时,。
由此得，级数
几乎处处收敛。往证
。
)()()( 1 xfxSxS nnn ?? ? )() xSxf n?
Ex? )(')(')(' 1 xfxSxS nn ???
?
?
? ??
?
1
)('lim)('
n
nnn xSxf
?
?
?
?
1
)(')('
n
n xfxf
第四节 有界变差函数
由于,对任意自然数 k，
可取,使得
,
但 也是单调增加函数，且
,所以,
)()(lim bfbS nn ???
kn
kn bSbf k 2
1)()( ??
)()( xSxf kn?
0)()( ?? aSaf kn
.1
2
1)}()({)}()({0
111
???
?
?
?
?
?
?
??????
k
k
k
n
k
n bSbfxSxf kk
第四节 有界变差函数
这说明 也是由单调
增加函数列 构成的收敛
级数，将上面关于 的结论用
到 上，得
?
?
?
?
1
)}()({
k
n xSxf k
)()( xSxf kn?
?
?
?1
)(
k
n xf
?
?
?
?
1
)}()({
k
n xSxf k
..)}(')('{
1
eaxSxf
k
n k ????
?
?
第四节 有界变差函数
进而，级数的通项趋于 0，即
,
也即
。
证毕。
..0))(')('(lim eaxSxf knk ????
],.[.)(')('
1
baeaxfxf
n
n ??
?
?
第四节 有界变差函数
证明：设 是 上的
单调增加函数，注意对任意,
,
由推论 1立得证明。
推论 2 若 是 上跳跃函数，则
。
?
..0' ea??
2121,,????? ??
),( bax n?
..0)('.,.0)(' 1 eaxxeaxx nn ???? ??
],[ ba
],[ ba
第四节 有界变差函数
第四节 有界变差函数
二, 单调函数导数的可积性
问题 3：从跳跃函数的导数几乎处处
为零可以看出, 单调函数的导数未
必满足 Newton-Leibniz公式, 考虑
更弱的问题：单调函数的导数是否
R-可积？ 是否 L-可积？ 其导函数的
积分与该函数有没有什么关系？
定理 5 设 f 是 上的单调增加
有限函数，那么 是 上的
Lebesgue可积函数，且
。
'f
],[ ba
],[ ba
? ??
],[
)()()('
ba
afbfdxxf
第四节 有界变差函数
证明：将 f 扩充到 上，对任意
,令,并令
,
它是 Riemann可积函数，而且 。
]1,[ ?ba
]1,( ?? bax )()( bfxf ?
n
xf
n
xf
x
n 1
)()
1
(
)(
??
??
0)( ?xn?
第四节 有界变差函数
注意到
?? ??? ????
],[],[
]))()1(([lim)(lim
ba
n
ba
nn dxxfnxfndxx?
)0()( ??? afbf
? ???? naan dxxfn
1
])([lim
,)()( ???? afbf
第四节 有界变差函数
?? ???
],[],[
)(lim)('
ba
nn
ba
dxxdxxf ?
由 Fatou引理得
证毕。
????
],[
)(lim
ba
nn dxx?
dxxb
a nn ???
? )(lim ?
).()( afbf ??
第四节 有界变差函数
应该注意到定理 5与牛顿 -莱布尼兹公式
的差别，此处严格不等式样可能成立的，
例如，若,则
。于是,但
,,故,
所以 。
)()(),,( 00 xxxbax ??? ??
..0)( eax ??? ? ??b
a dxx 0)(?
1)( ?b? 0)( ?a? 1)()( ?? ab ??
? ???ba abdxx )()()( ???
第四节 有界变差函数
另外，还应注意到，由定理 4,
上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，
因此定理 5中导数 不存在的点 x 处
可规定 为任意值。这就是说，
在一个零测集上可以任意改变函数值
不会对 的积分产生影响。
],[ ba
)(xf ?
f?
f?
第四节 有界变差函数
从 我们还看到另一个
事实，一个非常值的函数可以有几乎
处处等于 0的导数，这样的函数称为奇
异函数，即下面的
定义 6 设 f 是 上的有限函数，若
在 上,且 f 不恒为
常数，则称 f 为 上的 奇异函数 。
..0)( 0 eaxx ????
..0)( eaxf ??
],[ ba
],[ ba
],[ ba
第四节 有界变差函数
三, 有界变差函数的定义
问题 4,[a,b]上单调函数除了跳跃度
总和不超过, 其任一分
划所对应分点的函数值之差的总
和是否必有限？
第四节 有界变差函数
)()( afbf ?
第四节 有界变差函数
前面已经看到，单调函数的导数虽然
可积但却没有类似的牛顿 -莱布尼兹
公式，或者说，单调函数不能通过其
导数的积分还原。那么，何种函数能
满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这
里是相对于 Lebesgue积分而言 )？这
正是下面要讨论的问题。
定义 7 设 是 上的有限函数，
对 的任一分划
,
记
称 为 f 关于分划 的 变差 。
第四节 有界变差函数
)(xf ],[ ba
bxxxa n ?????? ?10:
?
?
????
n
i
ii xfxffV
1
1 |,)()(|),(
),( fV ? ?
],[ ba
第四节 有界变差函数
若存在常数 M，使对一切分划,都有
,则称 为 上的 有
界变差函数 。令
,
其中 取遍 的所有分划，称
为 f 在 上的 总变差 。
MfV ?? ),( )(xf
),(s u p)( fVfV ba ??
?
?
],[ ba
? ],[ ba )( fV b
a
],[ ba
由定义 7不难看出,上有限单调函
数 f 都是有界变差函数，且
。
第四节 有界变差函数
|)()(|)( afbffV ba ??
f
],[ ba
四, 有界变差函数的性质
性质 1 若 f 是 上的有界变差函
数，则 f 必为有界函数。
第四节 有界变差函数
],[ ba
证明：若不然，则存在 。
使,由 f 是有界变差函
数知 。对任意 n，作
的分划,则
第四节 有界变差函数
],[}{ bax n ?
??|)(| nxf
??)( fV ba ],[ ba
bxa nn ???,
|)()(||)()(|),( nnn xfbfafxffV ?????
.|)(||)(||)(|2 bfafxf n ???
由,得
。
这与 矛盾，故必为有界
函数，证毕。
第四节 有界变差函数
???? )(),( fVfV ban
|)(||)(|)(|)(|2 bfaffVxf ban ???
??|)(| nxf
第四节 有界变差函数
性质 2 若 都是 上的有界变
差函数，则对任意常数
也是 上的有界变差函数，且
。
gf,
gafa ?? ?,,
],[ ba
)(||)(||)( gVfVagafV bababa ?? ???
],[ ba
证明：设 为
的任一分划，则
第四节 有界变差函数
bxxxa n ?????? ?10:
],[ ba
),( gafV ???
|)()(||||)()(||| 1
1
1
1
?
?
?
?
???? ?? ii
n
i
ii
n
i
xgxgxfxfa ?
),(||),(|| gVfVa ???? ?
)(||)(|| gVfVa baba ???
)(||)(||)( gVfVagafV bababa ?? ???
?
?
?? ????
n
i
iiii xgxfaxgxfa
1
11 |))()(())()((| ??
所以,证毕。
证明：由性质 1知存在 M，使得
,
设 为 的任一分划,
性质 3 设 是 上的有界变差
函数，则 也是有界变差函数。
第四节 有界变差函数
gf,
???????? MxgMxf |)(|,|)(|
?
bxxxa n ????? ?10
],[ ba
fg
],[ ba
故,证毕。
第四节 有界变差函数
?
?
????
n
i
ii xfgxfgfgV
1
1 |))(())((|),(
)()()()(| 1
1
?
?
?? ? iiii
n
i
xgxfxgxf
|)()(||)()(| 1
1
1
1
?
?
?
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???? ?? ii
n
i
ii
n
i
xfxfMxgxgM
))()()( gMVfMVfgV bababa ??
则
|)()()()( 111 ??? ?? iiii xgxfxgxf
)()( gMVfMV baba ??
证明：若 f 不为常数，则存在
使得 或,作
的分划,则,这与
矛盾，故 f 必为常数，证毕。
性质 4 若 f 是 上的有界变差函数，
且,则 f 是常数。
第四节 有界变差函数
],[ ba
0)( ?fV ba
],[0 bax ?
)()( 0 afxf ? )()( 0 bfxf ?
bxa ??? 0,0),( ?? fV
0)( ?fV ba
],[ ba
第四节 有界变差函数
性质 5 设 f 是 上的有界变差
函数，,则
,
特别地，也 f 是 上的有界变
差函数。
],[],[ badc ?
)()( fVfV dcba ?
],[ dc
],[ ba
第四节 有界变差函数
证明：任取 的一个分划
,
对应到 的一个分划
,
于是,进而
,证毕。
],[ dc
dxxxc n ?????? ?10:
],[ ba
bxxxxxxxa nnn ?????????? ?? 212010 ~~~~~:~ ?
)(),(),( fVfVfV ba????
)()( fVfV badc ?
第四节 有界变差函数
性质 6 设 f 是 上的有界变差函
数,c 是 内任一数，则
。
],[ ba
),( ba
)()()( fVfVfV bccdba ??
证明：由全变差定义，对任意,
可以找到分划
及分划,使得
, 。
0??
cxxxa n ?????? ?101,
byyyc m ?????? ?102,
???? )(),( 1 fVfV ca ???? )(),( 2 fVfV bc
将 合并起来得 的一个分划
,
于是由 及
得,
由 的任意性立得
。
第四节 有界变差函数
21,?? ],[ ba
byyyxxxa mn ?????????? ?? 10101,
)(),( fVfV ba??
),(),(),( 21 fVfVfV ?????
)(2)()( fVfVfV babcca ??? ?
?
)()()( fVfVfV babcca ??
第四节 有界变差函数
反之，对任意,设
是 的一个分划，满足
,
则对任意,存在,
使得,于是
0??
bxxxa n ?????? ?10:
],[ ba
???? )(),( fVfV ba
),( bac ? 0i
100 ??? ii xcx
10 0 ??? ni
进而,任由
的任意性得,所以
,证毕。
第四节 有界变差函数
|)()(|),( 1
1
?
?
??? ? ii
n
i
xfxffV
|)()(||)()(|
0
0
1
1
iii
i
i
xfcfxfxf ???? ?
?
?
|)()(||)()(| 1
2
10 ?
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? ???? ? ii
n
i
i xfxfcfxf
)()()( fVfVfV bccaba ??? ? ?
)()()( fVfVfV bccaba ??
)()()( fVfVfV bccaba ??
)()( fVfV bcca ??
第四节 有界变差函数
性质 7 若 是 上的有界变
差函数列,是有界数列，
且 处处收敛到,则 g 也
是 上的有界变差函数，且
。
}{ kg
)}({ kba gV
)(xgk )(xg
],[ ba
)(s u p)( kba
k
b
a gVgV ?
],[ ba
所以,证毕。
第四节 有界变差函数
证明：记,任取
的一个分划,则 )(s u p k
b
ak gVM ?
],[ ba
bxxxa n ?????? ?10:
|)()(|),( 1
1
?
?
??? ? ii
n
i
xgxggV
?
?
??? ??
n
i
ikikk xgxg
1
1 |)()(|lim
???? ?? MgV kbak )(lim
)(s u p)( kba
k
b
a gVgV ?
有界变差函数的定义, 掌握其性质 。
重点与难点,单调函数的性质, 有界变差
函数的定义及其性质 。
4.4 有界变差函数
第四节 微分与不定积分
第四节 有界变差函数
基本内容,
一, 单调函数可导性的推论
问题 1：如果 fn 是单调函数序列, 且
, 不难看出 f也是单调
的, 从而也几乎处处有有限导数,
fn 的导数与 f 的导数有什么关系？
等式
是否成立？
.,eaff n ??
..'' eaff n ??
第四节 有界变差函数
(1) Fubini定理
问题 2：跳跃函数的导数是什么？
推论 1(Fubini) 设 是 上的
单调增加有限函数序列，且 在
上处处收敛到有限函数 f,则
。
}{ nf
?
?
?1n
nf
??
n
n baeaff ],[..''
],[ ba
],[ ba
证明：不妨设,否
则可令,对 讨
论就行了。记
,
则 都是单调增加函数，故去
掉一个零测集 E 后,
都存在。
),2,1(,0)( ??? naf n
)()()(~ afxfxf nnn ?? nf~
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1
)()(
)(),( xfxS nn
),2,1)((' ??nxF n
第四节 有界变差函数
因 及
单调增加，故其导数均非负，从而当
时,。
由此得，级数
几乎处处收敛。往证
。
)()()( 1 xfxSxS nnn ?? ? )() xSxf n?
Ex? )(')(')(' 1 xfxSxS nn ???
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第四节 有界变差函数
由于,对任意自然数 k，
可取,使得
,
但 也是单调增加函数，且
,所以,
)()(lim bfbS nn ???
kn
kn bSbf k 2
1)()( ??
)()( xSxf kn?
0)()( ?? aSaf kn
.1
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111
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k
k
k
n
k
n bSbfxSxf kk
第四节 有界变差函数
这说明 也是由单调
增加函数列 构成的收敛
级数，将上面关于 的结论用
到 上，得
?
?
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1
)}()({
k
n xSxf k
)()( xSxf kn?
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k
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k
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k
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第四节 有界变差函数
进而，级数的通项趋于 0，即
,
也即
。
证毕。
..0))(')('(lim eaxSxf knk ????
],.[.)(')('
1
baeaxfxf
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?
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第四节 有界变差函数
证明：设 是 上的
单调增加函数，注意对任意,
,
由推论 1立得证明。
推论 2 若 是 上跳跃函数，则
。
?
..0' ea??
2121,,????? ??
),( bax n?
..0)('.,.0)(' 1 eaxxeaxx nn ???? ??
],[ ba
],[ ba
第四节 有界变差函数
第四节 有界变差函数
二, 单调函数导数的可积性
问题 3：从跳跃函数的导数几乎处处
为零可以看出, 单调函数的导数未
必满足 Newton-Leibniz公式, 考虑
更弱的问题：单调函数的导数是否
R-可积？ 是否 L-可积？ 其导函数的
积分与该函数有没有什么关系？
定理 5 设 f 是 上的单调增加
有限函数，那么 是 上的
Lebesgue可积函数，且
。
'f
],[ ba
],[ ba
? ??
],[
)()()('
ba
afbfdxxf
第四节 有界变差函数
证明：将 f 扩充到 上，对任意
,令,并令
,
它是 Riemann可积函数，而且 。
]1,[ ?ba
]1,( ?? bax )()( bfxf ?
n
xf
n
xf
x
n 1
)()
1
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)(
??
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0)( ?xn?
第四节 有界变差函数
注意到
?? ??? ????
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]))()1(([lim)(lim
ba
n
ba
nn dxxfnxfndxx?
)0()( ??? afbf
? ???? naan dxxfn
1
])([lim
,)()( ???? afbf
第四节 有界变差函数
?? ???
],[],[
)(lim)('
ba
nn
ba
dxxdxxf ?
由 Fatou引理得
证毕。
????
],[
)(lim
ba
nn dxx?
dxxb
a nn ???
? )(lim ?
).()( afbf ??
第四节 有界变差函数
应该注意到定理 5与牛顿 -莱布尼兹公式
的差别，此处严格不等式样可能成立的，
例如，若,则
。于是,但
,,故,
所以 。
)()(),,( 00 xxxbax ??? ??
..0)( eax ??? ? ??b
a dxx 0)(?
1)( ?b? 0)( ?a? 1)()( ?? ab ??
? ???ba abdxx )()()( ???
第四节 有界变差函数
另外，还应注意到，由定理 4,
上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，
因此定理 5中导数 不存在的点 x 处
可规定 为任意值。这就是说，
在一个零测集上可以任意改变函数值
不会对 的积分产生影响。
],[ ba
)(xf ?
f?
f?
第四节 有界变差函数
从 我们还看到另一个
事实，一个非常值的函数可以有几乎
处处等于 0的导数，这样的函数称为奇
异函数，即下面的
定义 6 设 f 是 上的有限函数，若
在 上,且 f 不恒为
常数，则称 f 为 上的 奇异函数 。
..0)( 0 eaxx ????
..0)( eaxf ??
],[ ba
],[ ba
],[ ba
第四节 有界变差函数
三, 有界变差函数的定义
问题 4,[a,b]上单调函数除了跳跃度
总和不超过, 其任一分
划所对应分点的函数值之差的总
和是否必有限？
第四节 有界变差函数
)()( afbf ?
第四节 有界变差函数
前面已经看到，单调函数的导数虽然
可积但却没有类似的牛顿 -莱布尼兹
公式，或者说，单调函数不能通过其
导数的积分还原。那么，何种函数能
满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这
里是相对于 Lebesgue积分而言 )？这
正是下面要讨论的问题。
定义 7 设 是 上的有限函数，
对 的任一分划
,
记
称 为 f 关于分划 的 变差 。
第四节 有界变差函数
)(xf ],[ ba
bxxxa n ?????? ?10:
?
?
????
n
i
ii xfxffV
1
1 |,)()(|),(
),( fV ? ?
],[ ba
第四节 有界变差函数
若存在常数 M，使对一切分划,都有
,则称 为 上的 有
界变差函数 。令
,
其中 取遍 的所有分划，称
为 f 在 上的 总变差 。
MfV ?? ),( )(xf
),(s u p)( fVfV ba ??
?
?
],[ ba
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a
],[ ba
由定义 7不难看出,上有限单调函
数 f 都是有界变差函数，且
。
第四节 有界变差函数
|)()(|)( afbffV ba ??
f
],[ ba
四, 有界变差函数的性质
性质 1 若 f 是 上的有界变差函
数，则 f 必为有界函数。
第四节 有界变差函数
],[ ba
证明：若不然，则存在 。
使,由 f 是有界变差函
数知 。对任意 n，作
的分划,则
第四节 有界变差函数
],[}{ bax n ?
??|)(| nxf
??)( fV ba ],[ ba
bxa nn ???,
|)()(||)()(|),( nnn xfbfafxffV ?????
.|)(||)(||)(|2 bfafxf n ???
由,得
。
这与 矛盾，故必为有界
函数，证毕。
第四节 有界变差函数
???? )(),( fVfV ban
|)(||)(|)(|)(|2 bfaffVxf ban ???
??|)(| nxf
第四节 有界变差函数
性质 2 若 都是 上的有界变
差函数，则对任意常数
也是 上的有界变差函数，且
。
gf,
gafa ?? ?,,
],[ ba
)(||)(||)( gVfVagafV bababa ?? ???
],[ ba
证明：设 为
的任一分划，则
第四节 有界变差函数
bxxxa n ?????? ?10:
],[ ba
),( gafV ???
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1
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),(||),(|| gVfVa ???? ?
)(||)(|| gVfVa baba ???
)(||)(||)( gVfVagafV bababa ?? ???
?
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iiii xgxfaxgxfa
1
11 |))()(())()((| ??
所以,证毕。
证明：由性质 1知存在 M，使得
,
设 为 的任一分划,
性质 3 设 是 上的有界变差
函数，则 也是有界变差函数。
第四节 有界变差函数
gf,
???????? MxgMxf |)(|,|)(|
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bxxxa n ????? ?10
],[ ba
fg
],[ ba
故,证毕。
第四节 有界变差函数
?
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1 |))(())((|),(
)()()()(| 1
1
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xfxfMxgxgM
))()()( gMVfMVfgV bababa ??
则
|)()()()( 111 ??? ?? iiii xgxfxgxf
)()( gMVfMV baba ??
证明：若 f 不为常数，则存在
使得 或,作
的分划,则,这与
矛盾，故 f 必为常数，证毕。
性质 4 若 f 是 上的有界变差函数，
且,则 f 是常数。
第四节 有界变差函数
],[ ba
0)( ?fV ba
],[0 bax ?
)()( 0 afxf ? )()( 0 bfxf ?
bxa ??? 0,0),( ?? fV
0)( ?fV ba
],[ ba
第四节 有界变差函数
性质 5 设 f 是 上的有界变差
函数，,则
,
特别地，也 f 是 上的有界变
差函数。
],[],[ badc ?
)()( fVfV dcba ?
],[ dc
],[ ba
第四节 有界变差函数
证明：任取 的一个分划
,
对应到 的一个分划
,
于是,进而
,证毕。
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],[ ba
bxxxxxxxa nnn ?????????? ?? 212010 ~~~~~:~ ?
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)()( fVfV badc ?
第四节 有界变差函数
性质 6 设 f 是 上的有界变差函
数,c 是 内任一数，则
。
],[ ba
),( ba
)()()( fVfVfV bccdba ??
证明：由全变差定义，对任意,
可以找到分划
及分划,使得
, 。
0??
cxxxa n ?????? ?101,
byyyc m ?????? ?102,
???? )(),( 1 fVfV ca ???? )(),( 2 fVfV bc
将 合并起来得 的一个分划
,
于是由 及
得,
由 的任意性立得
。
第四节 有界变差函数
21,?? ],[ ba
byyyxxxa mn ?????????? ?? 10101,
)(),( fVfV ba??
),(),(),( 21 fVfVfV ?????
)(2)()( fVfVfV babcca ??? ?
?
)()()( fVfVfV babcca ??
第四节 有界变差函数
反之，对任意,设
是 的一个分划，满足
,
则对任意,存在,
使得,于是
0??
bxxxa n ?????? ?10:
],[ ba
???? )(),( fVfV ba
),( bac ? 0i
100 ??? ii xcx
10 0 ??? ni
进而,任由
的任意性得,所以
,证毕。
第四节 有界变差函数
|)()(|),( 1
1
?
?
??? ? ii
n
i
xfxffV
|)()(||)()(|
0
0
1
1
iii
i
i
xfcfxfxf ???? ?
?
?
|)()(||)()(| 1
2
10 ?
?
? ???? ? ii
n
i
i xfxfcfxf
)()()( fVfVfV bccaba ??? ? ?
)()()( fVfVfV bccaba ??
)()()( fVfVfV bccaba ??
)()( fVfV bcca ??
第四节 有界变差函数
性质 7 若 是 上的有界变
差函数列,是有界数列，
且 处处收敛到,则 g 也
是 上的有界变差函数，且
。
}{ kg
)}({ kba gV
)(xgk )(xg
],[ ba
)(s u p)( kba
k
b
a gVgV ?
],[ ba
所以,证毕。
第四节 有界变差函数
证明：记,任取
的一个分划,则 )(s u p k
b
ak gVM ?
],[ ba
bxxxa n ?????? ?10:
|)()(|),( 1
1
?
?
??? ? ii
n
i
xgxggV
?
?
??? ??
n
i
ikikk xgxg
1
1 |)()(|lim
???? ?? MgV kbak )(lim
)(s u p)( kba
k
b
a gVgV ?
