第一节 Lesbesgue积分的定义及性质
第五章 积分理论
1.积分的定义
i
n
i
iE mEcdxxL ??
?
?
1
)()( ?
)(x?
i
n
i EE 1???
)()(
1
xcx iEn
i
i?? ?
?
?
设 是 ( Ei可测且两两不交）
上非负简单函数，定义
为 在 E上的 Lebesgue积分
01001)()( ?????? dxxDL E有
? Qx QxxD ?? ??? ]1,0[1 ]1,0[0)(
例：对 Dirichlet函数
0 1
⑴ 非负简单函数的积分
⑵ 非负可测函数的积分
( ) ( ) s u p { ( ) ( ), ( )
0 ( ) ( ) }
EE
L f x d x L x d x x E
x f x
??
?
?
??
?? 为 上 的 简 单 函 数
，
为 f(x)在 E上的 Lebesgue积分
设 f(x)为 E上非负可测函数，定义
??? |)(||)(| 21 xx ??
)(lim)( xxf nn ????)}({ xn?
若 f(x)是 E上的可测函数,则 f(x)总可表示成一列
简单函数 的极限,而且还
可办到
⑶ 一般可测函数的积分
积分的几何意义,
);()()( fEmGdxxfL E ??
)}(0,:),{();( xfyExyxfEG ????
dxxfL E? )()(注：当 有限 时，称 f(x)在 E上 L可积
?? dxxfLdxxfL
EE ??
?? )()(,)()(
（要求 不同时为 ）
为 f(x)在 E上的 Lebesgue积分（ 有积分 ）
dxxfLdxxfLdxxfL EEE ??? ?? ?? )()()()()()(
设 f(x)为 E上的可测函数，定义
⒉ 积分的性质
( ) ( ) ( )
| ( ) | ( ) ( )
f x f x f x
f x f x f x
??
??
??
??
⑴ 零集 上的任何函数的积分为 0
| ( ) | | ( ) |EEf x d x f x d x???
⑵ f(x)可积 当且仅当 |f(x)|可积（ f(x)是可测函数）,
且
xdxgdxxfxgxf EE ?? ?? )()()()(,则若 ⑶ 单调性,
dxxfdxxf
xdxgdxxfdxxgxf
EE
EEE
??
???
?
???
)()(
)()())()((
??
⑷ 线形,
(5)设 f(x)是 E上的可测函数，,
证明 a.e.于 E
0|)(| ?? dxxfE
0)( ?xf
00 1]0||[]0||[ ????? ???? nnffn mEmEmEmE,从而可得
nnEEEEE mEdxxfdxxfdxxfdxxf nnn 1|)(||)(||)(||)(|0 ????? ???? ?从
]||[ 1nfn EE ??令
nnf EE
?
?? ?? 1]0||[且
证明,
则 En为可测集,
即 f(x)=0 a.e.于 E。
( [
0 1/n
用到了积分的可加性
(6) 若 f可积，则 f几乎处处有限,
[ | | ]n f nEE ??令
证明,
l i m 0nn mE?? ?所 以
?????? ?? dxxfdxxfmEn EEn
n
|)(||)(|对每个 n，有
0l i m)l i m()( 1]|[| ????? ????????? nnnnnnf mEEmEmmE从而
[ | | ] 1,l i mf n nnnE E E
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 3则 E E E 且
???? 321 EEE则
(7)积分的绝对连续性
说明：若 |f(x)|<M,则只要取 δ=ε/M即可，所以我们要
把 f(x)转化为有界函数。
,0,0 ???? ??
,,时当 ??? meEe
??? ?? dxxfdxxf ee |)(||)(|
若 f(x)在 E上可积，则
及任何可测子集
有
即：当积分区域很小时，积分值也很小,
积分的绝对连续性的证明
???
??
??
?
???????
???
???? Meeee
M
Mdxdxfdxfdxf
meEe
22
2
)|(|||||
时，，且，则当令
|})(|)(0 xfx ?? ?且
上简单函数，为 Exdxxdxxf EE )(:)(s u p {|)(| ???? ?
证明：由于 f(x)可积，故 |f(x)|也可积
故对任意 ε，存在 E上的 简单函数 φ(x),
22( ) | ( ) | ( ),( | ( ) | ( ) )E E E Ex d x f x d x x d x f x x d x??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?故 有
且|,)(|)(0 xfx ?? ?使在 E上
由于 φ(x)为简单函数，故存在 M，使得 |φ(x)|<M
i
n
i
iba mEdxxfL ??
??
?
10],[
lim)()( ??
yi
yi-1
分割值域
Lesbesgue积分
xi-1 xi
i
n
i
iT
b
a xfdxxfR ?? ?? ?? 10|||| )(lim)()( ?
分割定义域
Riemann积分
⒊ 非负可测函数可积的等价描述
?????????? ? ?? 12100 kk yyyyy
令其中,1 ???? kk yy ?,3,2,1,0})(:{ 1 ???? ? kyxfyxE kkk
设 f(x)为 E上几乎处处有限的
非负可测函数,mE<+∞,
在 [0,+∞)上作分划,
?????
?
k
k
k mEy
0
k
k
kE mEydxxfL ??
?
??
?
00
lim)()(
?
且
则 f(x)在 E上可积 当且仅当
yk+!
yk
非负可测函数可积的等价描述的证明
0 0
0 ( ) l i m kkE
k
f x d x y m E
?
?
?
? ?
?? ??当 时, 即 有
?
???
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
0
00
1
0
1
00
)()(
k
kk
k
kk
k
kkk
k
kk
k
EE
k
kk
mEymE
mEymEyymEy
dxxfdxxfmEy
k
?
）（
从而 ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
0
1
00
1
)(
,2,1,0,)(
k
kk
k
E
k
kk
kkEkk
mEydxxfmEy
kmEydxxfmEy
k
k
故
由于 ?证明,
yk+1
yk
例：若 E1,E2,…,En是 [0,1]中的可测集,[0,1]中每一点
至少属于上述集合中的 k个 (k≤n),则在 E1,E2,…,En中必
有一个点集的测度大于或等于 k/n
0
1
0
n
kk
iinn i
k
i n
i m E m E n k
i m E
?
? ? ? ? ?
?
若 对 每 个,, 则, 从 而 得 到 矛 盾,
所 以 存 在, 使 。
，所以
时，有证明：当
?? ??????
???
???
?
]1,0[ 1]1,0[11
1
)()(
)(]1,0[
kdxxdxxmE
kxx
ii
i
E
n
i
E
n
i
i
n
i
E
n
i
??
?
例 设 fn(x)为 E上非负可测函数列,
Efdxxf nE nn 于，则若 00)(lim ?????
0][
)()()(
][][
????
?? ???
??
??
??
n
fE nfE nE n
fmE
dxxfdxxfdxxf
nn
有证明：,0?? ?
0][li m0)(li m ??? ???? ? ?nnnEn fmEdxxf,所以又
0nfE?从 而 于
用到了积分的可加性