第一节 可测函数的定义及其简单性质
第四章 可测函数
新的积分（ Lebesgue积分,从 分割值域 入手 ）
i
n
i
iba mEdxxfL ??
??
?
10
],[
lim)()( ?
?
yi
yi-1
})(:{ 1 iii yxfyxE ??? ?
iii yy ??? ?1
用 mEi 表示 Ei 的,长度,
问题：怎样的 函数 可使 Ei 都有“长度” (测
度 )?
1可测函数定义
??
][,afERa ???
例 (1) 零集 上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为 0的集合为零集；零集的 子
集，有限并，可数并 仍为零集
定义：设 f(x)是可测集 E上的实函数 (可取 ),
若 可测，则称 f(x)是 E上的可测函数
(2)简单函数 是可测函数
i
n
i EE 1???
)()(
1
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n
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ii
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1
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可测][,afERa ???
可测函数
注,Dirichlet函数是简单函数
0 1
若 ( Ei 可测且两两不交）,f(x)在
每个 Ei上取常值 ci，则称 f(x)是 E上的简单函数；
（ 3）可测集 E上的 连续函数 f(x)必为可测函数
???? ???????? |)()(|||,0,0 00 xfxfxx 时，有当即
对比,设 f(x)为 (a,b)上有限实函数,0( ) (,)f x x a b?在 处 连 续
)()(lim 0
0
xfxfxx ??若
)),((),( 00 )(,0,0 ???? xfx OOf ????? 使得即
)),((),( 00 )(,0,0 ???? xfx OxfOx ?????? 时，有当即
( ) ( ) ( )
],[0 bax ?f(x) 在 处连续 (对闭区间 端点 则用 左或右连续 )
)),((),( 00 )(,0,0 ???? xfx OEOf ?????? 使得若
Ex ?0设 f(x)为 E上有限实函数，称 f(x) 在 处连续
可测集 E上的连续函数 f(x)定为可测函数
为可测集故 EGE af ??? ][
),()(,0,)( )),((),( ????????? aOEOfaxf xfxx x ???? 使得对
(,) [ ]xx f aO E E? ???即
证明：任取 x∈ E[f>a],则 f(x)>a,由连续性假设知,
( )
x０
f(x0)+ε
f(x0)
f(x0)-ε
a
[] (,)xfa xxE
GO ?
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??令
[ ] [ ](,) (,) [ ]
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f a f ax x f ax E x E
G E O E O E E??
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? ? ? ? ? ? ? ?另 外
则 G为开集，当然为可测集，且
[][ ] (,)
() x
faf a xxE
E O E G E?
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? ? ? ? ?所 以反之
⑷ R中的可测子集 E上的单调函数 f(x)必为可测函数。
a
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})(|{),(][ {
axfxIIE
axfxIIEaf
aa
aaE
?????
?????? ?
当
当
由 f单调增知下面的集合为可测集
})(|i n f { axfxI a ??令
证明：不妨设 f单调增，对任意 a∈ R
⒊ 可测函数的等价描述
可测][,)2( afERa ????
可测][,)3( afERa ????
可测][,)4( afERa ????
[]( 5 ),,,( | ( ) | )a f ba b R a b E f x??? ? ? ? ? ? ?可 测 充 分 性 要 求
证明,利用（ 1）与（ 4），（ 2）与（ 3）互为余集，以及
[ ] 1 [ ] [ ] [ ]
11[]
[ ] 1 [ ] [ ] [ ]
1 []
()f a f a a f a n f
nn fa
n
f a a f b f a f b
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E E E E E
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? ? ? ? ? ? ? ?
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),)1(( ][ 可测即 afERa ???
⒈ 定义：设 f(x)是可测集 E上的实函数，则
f(x)在 E上可测
对前面等式的说明
)( ][
1][1][ 11 nn afnafnaf
EEE ??
?
???
?
??
????
)),[(),(),[ 1111 ???????????? ???? nnnn aaa
( [
a-1/n a
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a a+1/n
⒋ 可测函数的性质
][1][1][][1 afnnafafaf EEEEE ?
?
????
????
⑴ 可测函数关于 子集, 并集 的性质
nn EE
?
??? 1
?反之，若,f(x)限制在 En上是可测函数,
则 f(x)在 E上也是可测函数 。
11,EEE ?
?即,若 f(x)是 E上的可测函数,可测,
则 f(x)限制在 E1上也是可测函数；
若 m (E[f≠g])=0,则称 f(x)=g(x)在 E上几乎处处成立,
记作 f(x)=g(x) a.e.于 E。（ almost everywhere）
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
证明：令 E 1= E[f≠g],E 2= E[f=g]，则 m E1=0
从而 g(x)在 E1上可测,
即,设 f(x)=g(x) a.e.于 E,f(x)在 E上可测，则 g(x)在 E上也可测
注：用到了 可测函数关于子集、并集的性质
另外 f(x)在 E2上可测，从而 g(x)在 E2上也可测,
进一步 g(x)在 E=E1 ∪ E2上也可测 。
⑵ 可测函数类关于四则运算封闭
即,若 f(x),g(x)是 E上的可测函数,
则 f(x)+g(x),f(x) -g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)
仍为 E上的可测函数。
可测，：只要证证明 ][][,gafagf EERa ???? ???
[]
[ ] [ ]
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,( ) ( )
()
f a g
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x E f x a g x
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任 取 则
从 而 使
即
a-g(x) r f(x)
类似可证：设 f(x),g(x)是 E上可测函数，则 为可测集。
][ gfE ?
[ ] [ ] [ ]()f r g a r f a grQ E E E? ? ? ? ??? ? ?反 之 也 成 立
[ ] [ ] [ ]()f a g f r g a rrQE E E? ? ? ? ??? ? ?从 而
[ ] [ ] [ ]()f a g f r g a rrQE E E? ? ? ? ??? ? ?从 而 可 测
证明中利用了
Q是 可数集 和
R中的 稠密集
两个性质
[]
[ ] [ ]
,( ) ( )
,( ) ( )
()
f a g
f r g a rrQ
x E f x a g x
r Q f x r a g x
x E E
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任 取 则
从 而 使
即
a-g(x) r f(x)
若 f(x),g(x)是 E上的可测函数,则 f(x) g(x)仍为 E上的可测函数 。
作业：若 f(x),g(x)是 E上的可测函数,则 f(x) -g(x),f(x)/g(x)
为 E上的可测函数
再利用 f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
2
[ ] [ ]
0
0[] { f a f a
Ea
E E afaE ? ? ?
?
??? ?
证明：首先 f2(x)在 E上可测，因为对任意 a∈ R
⑶ 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
推论：可测函数列的 极限函数 仍为可测函数
（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
][1][][1][ afnaafna nn EEEE ?
?
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)}({i n fs u p)(i n fl im
)}({s u pi n f)(s u pl im
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nm
n
n
n
m
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n
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若 fn(x)是 E上的可测函数,则下列函数仍为 E上的可测函数。
对上式的说明,
][1][ afna nEE ?
?
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???
)}(i n f {)( xfx n??
xSxS ??? ??,)1( 的下界，即是数集
???
?
?????? xSx
S
使得即
的最大下界，是数集
,,0
)2(
Sin f??下确界,
[ ] 1 111[ ] [ ]fa nn f a f a
nn
E E E???
?? ? ? ? ?
? ? ? ?比 较,
( [
a-1/n a
例,R1上的可微函数 f(x)的导函数 f `(x)是可测函数
利用了可测函数列的 极限函数 仍为可测函数,
从而 f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数）
的极限，故 f `(x)是可测函数,
n
n
nox
xfxf
x
xfxxfxf
1
1 )()(
lim)()(lim)(' ???? ????
?????
证明：由于
gn(x)
例 设 {fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发
散点全体是可测集,
注意,函数列收敛 与 函数列收敛于 f之间的不同,
[ l i m l i m ]nn
n n
E f f
?? ??
?
[ l i m l i m ]nn
n n
E f f
?? ??
?证明：发散点全体为
收敛点全体为
l i m l i mnn
n n
ff
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在 利 用 和 是 可 测 函 数 即 可
再
⒌ 可测函数与简单函数的关系
可测函数 f(x)总可表示成一列简单函数的极限
12|)()(| ?
???
nn
mMxfx?
M
m
M
m
M
m
n
0
次等分nn 2?
可测函数与简单函数的关系
注：当 f(x)是有界函数时，上述收敛可做到 一致收敛
1
22
[ ] 0,1,2,,2 12
[]
()
nn kk
nn
k
f k n
n
fn
xE
x
n x E
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)(lim)( xxf nn ???? ??? |)(||)(| 21 xx ??
)}({ xn??若 f(x)是 E上的可测函数,则 f(x)总可表示成一列简单函数
的极限,而且还可办到
例：设 f(x)是 R上 连续函数, g(x)是 E上 可测函数,则
f( g(x))是可测函数。
证明：要证 f( g(x))是可测函数，只要证对任意 a,
E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
g 可测 f 连续
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) = ),(
iii ba? ))),((()),(( 11 iiiiii bagbag ?? ???
例：设 f(x)是 R上 连续函数, g(x)是 E上 可测函数,则
f( g(x))是可测函数。
注,f(x)是 R上可测函数,g(x)是 R上连续函数,f( g(x))不一定
是可测函数 （利用 Cantor函数构造，参见：, 实变函数,,
周民强,p114)
证明：要证 f( g(x))是可测函数，只要证对任意 a,
m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a}可测即可,
由于 f在 F=R上连续，故 F[f>a]为 R中的开集,
),(][ iiiaf baF ???
又 直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的
开区间的并,故不妨令
[ ] [ ]iifg a a g biEE? ? ??? 为 可 测 集
再由 g可测，可知
例：设 f(x)是 R上 连续函数, g(x)是 E上 可测函数,则
f( g(x))是可测函数。
1
1
( ) ( )
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i
i
n
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i
n
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x c x
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?
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若 为 简 单 函 数,
则 仍 为 上 简 单 函 数 。
注,
)(l i m)( xxg nn ????)}({ xn?
另证：若 g(x)是 E上的可测函数,则 g(x)总可表示成
一列 简单函数 的极限
))((l i m))(l i m())(( xfxfxgf nnnn ?? ???? ??因为 f(x)连续，故
所以 f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数
第四章 可测函数
新的积分（ Lebesgue积分,从 分割值域 入手 ）
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问题：怎样的 函数 可使 Ei 都有“长度” (测
度 )?
1可测函数定义
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例 (1) 零集 上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为 0的集合为零集；零集的 子
集，有限并，可数并 仍为零集
定义：设 f(x)是可测集 E上的实函数 (可取 ),
若 可测，则称 f(x)是 E上的可测函数
(2)简单函数 是可测函数
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注,Dirichlet函数是简单函数
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若 ( Ei 可测且两两不交）,f(x)在
每个 Ei上取常值 ci，则称 f(x)是 E上的简单函数；
（ 3）可测集 E上的 连续函数 f(x)必为可测函数
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对比,设 f(x)为 (a,b)上有限实函数,0( ) (,)f x x a b?在 处 连 续
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可测集 E上的连续函数 f(x)定为可测函数
为可测集故 EGE af ??? ][
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(,) [ ]xx f aO E E? ???即
证明：任取 x∈ E[f>a],则 f(x)>a,由连续性假设知,
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⑷ R中的可测子集 E上的单调函数 f(x)必为可测函数。
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由 f单调增知下面的集合为可测集
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证明：不妨设 f单调增，对任意 a∈ R
⒊ 可测函数的等价描述
可测][,)2( afERa ????
可测][,)3( afERa ????
可测][,)4( afERa ????
[]( 5 ),,,( | ( ) | )a f ba b R a b E f x??? ? ? ? ? ? ?可 测 充 分 性 要 求
证明,利用（ 1）与（ 4），（ 2）与（ 3）互为余集，以及
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[ ] 1 [ ] [ ] [ ]
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⒈ 定义：设 f(x)是可测集 E上的实函数，则
f(x)在 E上可测
对前面等式的说明
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⒋ 可测函数的性质
][1][1][][1 afnnafafaf EEEEE ?
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⑴ 可测函数关于 子集, 并集 的性质
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??? 1
?反之，若,f(x)限制在 En上是可测函数,
则 f(x)在 E上也是可测函数 。
11,EEE ?
?即,若 f(x)是 E上的可测函数,可测,
则 f(x)限制在 E1上也是可测函数；
若 m (E[f≠g])=0,则称 f(x)=g(x)在 E上几乎处处成立,
记作 f(x)=g(x) a.e.于 E。（ almost everywhere）
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
证明：令 E 1= E[f≠g],E 2= E[f=g]，则 m E1=0
从而 g(x)在 E1上可测,
即,设 f(x)=g(x) a.e.于 E,f(x)在 E上可测，则 g(x)在 E上也可测
注：用到了 可测函数关于子集、并集的性质
另外 f(x)在 E2上可测，从而 g(x)在 E2上也可测,
进一步 g(x)在 E=E1 ∪ E2上也可测 。
⑵ 可测函数类关于四则运算封闭
即,若 f(x),g(x)是 E上的可测函数,
则 f(x)+g(x),f(x) -g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)
仍为 E上的可测函数。
可测，：只要证证明 ][][,gafagf EERa ???? ???
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证明中利用了
Q是 可数集 和
R中的 稠密集
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若 f(x),g(x)是 E上的可测函数,则 f(x) g(x)仍为 E上的可测函数 。
作业：若 f(x),g(x)是 E上的可测函数,则 f(x) -g(x),f(x)/g(x)
为 E上的可测函数
再利用 f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
2
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证明：首先 f2(x)在 E上可测，因为对任意 a∈ R
⑶ 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
推论：可测函数列的 极限函数 仍为可测函数
（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
][1][][1][ afnaafna nn EEEE ?
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若 fn(x)是 E上的可测函数,则下列函数仍为 E上的可测函数。
对上式的说明,
][1][ afna nEE ?
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的最大下界，是数集
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Sin f??下确界,
[ ] 1 111[ ] [ ]fa nn f a f a
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例,R1上的可微函数 f(x)的导函数 f `(x)是可测函数
利用了可测函数列的 极限函数 仍为可测函数,
从而 f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数）
的极限，故 f `(x)是可测函数,
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证明：由于
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例 设 {fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发
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注意,函数列收敛 与 函数列收敛于 f之间的不同,
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次等分nn 2?
可测函数与简单函数的关系
注：当 f(x)是有界函数时，上述收敛可做到 一致收敛
1
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[ ] 0,1,2,,2 12
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的极限,而且还可办到
例：设 f(x)是 R上 连续函数, g(x)是 E上 可测函数,则
f( g(x))是可测函数。
证明：要证 f( g(x))是可测函数，只要证对任意 a,
E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
g 可测 f 连续
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) = ),(
iii ba? ))),((()),(( 11 iiiiii bagbag ?? ???
例：设 f(x)是 R上 连续函数, g(x)是 E上 可测函数,则
f( g(x))是可测函数。
注,f(x)是 R上可测函数,g(x)是 R上连续函数,f( g(x))不一定
是可测函数 （利用 Cantor函数构造，参见：, 实变函数,,
周民强,p114)
证明：要证 f( g(x))是可测函数，只要证对任意 a,
m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a}可测即可,
由于 f在 F=R上连续，故 F[f>a]为 R中的开集,
),(][ iiiaf baF ???
又 直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的
开区间的并,故不妨令
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再由 g可测，可知
例：设 f(x)是 R上 连续函数, g(x)是 E上 可测函数,则
f( g(x))是可测函数。
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注,
)(l i m)( xxg nn ????)}({ xn?
另证：若 g(x)是 E上的可测函数,则 g(x)总可表示成
一列 简单函数 的极限
))((l i m))(l i m())(( xfxfxgf nnnn ?? ???? ??因为 f(x)连续，故
所以 f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数
