第四节 微分与不定积分
目的,熟练掌握单调函数的结构, 熟悉
单调函数的基本性质以及跳跃度, 跳
跃函数等重要概念 。
重点与难点,单调函数的性质与结构 。
4.2 单调函数的结构
基本内容,
一, 问题的提出
问题 1,Newton-Leibniz公式告诉我们
什么？ 它的重要性表现在什么
地方？ 对于 Lebesgue积分而言,
能否建立类似的结论？
第二节 单调函数的结构
牛顿 -莱布尼兹公式告诉我们，如果
是 [a,b] 上的连续函数，则
是 的一个原函数，即
。
第二节 单调函数的结构
)(xf
?? xa dttfxF )()(
)(tf
)()( xfxF ??
第二节 单调函数的结构
假如我们将 Riemann积分换成 Lebesgue
积分, 类似的结论是否仍成立？ 具体
地说, 若 是 [a,b]上的 Lebesgue可积
函数, 则
在 [a,b]上是否可导？如果可导，其导
函数是否等于？
)(xf
??
],[
)()(
xa
dttfxF
)(xf
另一方面,如果 是 [a,b] 上的可导
函数，则 在 [a,b] 上是否可积？如
果可积，则
是否等于？不难看到，无论是对
Riemann积分还是对 Lebesgue积分而言，
一个函数即使处处有导数，其导函数未
必是可积的。
第二节 单调函数的结构
)(xf ?
? ??
],[
)()(~
xa
dttfxF
)(xf
)(xf
第二节 单调函数的结构
例如, 若
则 在 [0,1]上处处有导数, 然而
在 [0,1]上却是不可积的 (参见江泽坚, 吴
智泉合编, 实变函数论, 第二版, 高教
出版社 1998)。 那么, 什么样的函数的导
函数是可积的呢？
这正是我们关心的问题 。
??
?
?
?
?
?
?
0 0
0c os
)( 2
2
x
x
x
x
xf
?
)(xf )(xf ?
二, 单调函数的间断点
定义 1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集
E 上的有限函数，如果对任意,
当 时，不等式 恒成
立,就称 f 是 E 上的 单调增加函数 。
如果 恒成立，则称 f 为 E
上的 严格单调增加函数 。
第二节 单调函数的结构
Exx ?21,
21 xx ? )()(
21 xfxf ?
)()( 21 xfxf ?
第二节 单调函数的结构
如果当 时，不等式
恒成立,则称 f 是 E 上的 单调递减函
数 。若不等式 恒成立，则
称 f 为 E上的 严格单调递减函数 。
21 xx ? )()( 21 xfxf ?
)()( 21 xfxf ?
第二节 单调函数的结构
问题 2：单调函数的间断点哪些类
型？间断点有多少？
第二节 单调函数的结构
若 f 是 E 上的有限函数,在
点的右极限 存在，则称
为 f 在 点的 右方跳
跃度,若 f 在 点的左极限
存在，则称 为 f 在
点的 左方跳跃度 。
fEx,0 ?
)0( 0 ?xf
)()0( 00 xfxf ??
)0( 0 ?xf
)0()( 00 ?? xfxf
0x
0x
0x
0x
第二节 单调函数的结构
若 f 在 的左、右极限都存在，但其
左、右方跳跃度不全为 0 (即
不全相等 )，则称 为 f
的 第一类不连续点,若 f 的不连续点
不是第一类的，则称为 第二类不连续
点 。
)0( 0 ?xf
0x
)(),0( 00 xfxf ? 0x
定 理 1 设 f 是 [a,b] 上的单调递增函数，
则 f 具有下列性质,
(1) f 的不连续点全是第一类的；
(2) f 的不连续点集至多可数；
(3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是
非负的，并且所有跳跃度的总和不超过
。
第二节 单调函数的结构
)()( afbf ?
证 明, (1) 首先证明，对任意
存在。事实上，由于,
故存在 N，当 时，,由
单调性得 且
是单调下降的序列，故 存
在，且 。
第二节 单调函数的结构
),[0 bax ?
)0( 0 ?xf bxa ?? 0
Nn? ),[1
0 banx ??
)()1( 00 xfnxf ?? ??? 10 )}1({ nnxf
)1(lim 0 nxf
n
?
??
)()1(lim 00 xfnxf
n
??
??
第二节 单调函数的结构
记, 则对任意,
存在, 使得,
对任意, 显然有,
由 f 的单调性得
,
因此, 即 。
)1(lim 0 nxfa
n
??
??
0??
?N ?
?
???? a
N
xf )1(0 0
)1,( 00
?N
xxx ?? axf ?)(
??????? a
N
xfaxf )1()(0
0
0
axfxx ??? )(lim 0
0
axf ?? )0( 0
类似 可证 也存在，故 f 的不
连续点必是第一类不连续点。
(2) 由 (1) 的证明知对任意,
有,当
时显然,当 时,
,这说明 f 在 中任
一点的左、右方跳跃度均非负,
第二节 单调函数的结构
)0( 0 ?xf
),( bax ?
)0()()0( 000 ???? xfxfxf ax ?0
)0()( ?? afaf bx ?0
)0()( ?? bfbf ],[ ba
第二节 单调函数的结构
设 F 为 f 在 上的不连续点全体，
若,且,则由 f 的单调
性可知,因此开区间
与
互不相交，且由于 F 中点为不连续点，
故 。记 F 为
中开区间全体所成的类。
],[ ba
Fxx ?21,21 xx ?
)0()0( 12 ??? xfxf
))0(),0(( 11 ?? xfxf ))0(),0(( 22 ?? xfxf
)2,1)(0()0( ???? ixfxf ii
1R
第二节 单调函数的结构
作对应关系 如下,
,
并记,
则 是 中互不相交的开区间构
成的集类，从而最多可数，显然 是
F 到 的一一对应，所以 F 也是
至多可数的集合。
FF ?:?
))0(),0((,???? xfxfFx?
}|))0(),0({()( FxFxfxfFF ?????
1R
?)(FF
)(FF
第二节 单调函数的结构
(3) 记,对任意正整数 N，不
妨设,取
,
则,
因此,
??? 1}{ kkxF
Nxxx ??? ?21
?,2,1),,(,10 ??? ? kxxyay kkk
)()0()0()( 1 kkkk yfxfxfyf ??????
)0()0()()( 1 ????? ? kkkk xfxfyfyf
第二节 单调函数的结构
进而
]()([)]0()0([ 1
11
?
??
????? ?? kk
N
k
kk
N
k
yfyfxfxf
)()()()( 0 afbfyfyf N ????
??N
)()()]0()0([
1
afbfxfxf kk
k
??????
?
?
令 立得
证毕。
三, 单调函数的可积性
问题 3,[a,b]上的单调函数是否一定
是 R-可积的？ 为什么？
第二节 单调函数的结构
定 理 2 设 f 是 [a,b] 上单调增加的有
限函数，则 f 是 [a,b] 上的 Riemann
可积函数。
第二节 单调函数的结构
证明：由于 f 在 [a,b] 上有限，故
,
从而由单调性知 f 是 [a,b] 上的有界函
数，由定理 1知 f 至多有可数个不连续
点，其不连续点集显然是零测集，由
本章 § 2定理 6知 f 必是 Riemann可积函
数，证毕。
?????? )(,)( afbf
第二节 单调函数的结构
四, 跳跃函数
问题 4：能否找到一个结构相对简单
的函数，其间断点与所给定
的单调函数相同？且对应点
处的跳跃度也相同？找一个
在一点间断的例子。
定 义 2 设
是两组数 ( p 是正整数或 )，满足
,设
是 中的 p 个点，称下列函数
为跳跃函数，其中 是所谓的
Heaviside函数,
第二节 单调函数的结构
},,2,1|{},,,2,1|{ pnpn nn ?? ?? ??
??
????
?
|)||(|
1
nn
p
n
?? },,2,1|{ pnx n ??
],[ ba
)()()( 1
11
nn
p
n
nn
p
n
xxxxx ???? ??
??
?????
)(x?
如果 都是非负数，则不难验证
是单调增加的。一般情况下，可令
,
则,于是
第二节 单调函数的结构
.0,0 0,1)(,0,0 0,1)( 1
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
x
xx
x
xx ??
nn ?? ?
?
}0,m a x {},0,m a x { nnnn ???? ???
nnn ??? ?? ?
第二节 单调函数的结构
)()()( 1
11
1 nn
p
n
nn
n
n
xxxxx ???? ?
?
?
?
?? ?????
)()()( 1
11
2 nn
p
n
nn
p
n
xxxxx ???? ?
?
?
?
?? ?????
).()()( 21 xxx ??? ??
都是单调增加的跳跃函数，且
是 上的跳跃函数，若
,
则 (i) 是 的不连续点集。
(ii) 每个 都是 的第一类不连续点，且
在 点的左方跳跃度为,右方跳跃度
为 。
第二节 单调函数的结构
)()()( 1
11
nn
p
n
nn
p
n
xxxxx ???? ??
??
?????
],[ ba
),,2,1(0|||| pnnn ???? ??
},,2,1|{ pnx n ?? ?
nx
n?
n?
引 理 1 设
?
? nx
则 在 x 点连续，且
证明：首先证明，只要 x 不等于,则
在 x 点连续，事实上，当 时，
结论是显然的。现设,令
第二节 单调函数的结构
nx
? ???p
??p
)()()( 1
11
nn
k
n
nn
k
n
k xxxxx ???? ??
??
?????
k?
由于级数 收敛，故
,
所以 在 上一致收敛到,从而对任意
,存在 使得 时，有
第二节 单调函数的结构
|)()(||)()(| 1
11
kn
kn
nn
kn
k xxxxxx ????? ??
?
??
?
??
??????
|)||(|
1
nn
kn
?? ?? ?
?
??
?
?
?
?
1
)||||(
n
nn ??
0|)||(|lim
1
???
?
???
nn
kk
??
k? ],[ ba ?
0?? 0K 0Kk ?
)],[(|)()(| baxxxk ??? 任意???
若,则由 在 x 点的连续性知存
在,当 时，有
,
进一步
。
由 的任意性知 在 x 点连续。
第二节 单调函数的结构
nxx ? 0K?
0?? ),( ?xOx ?
??? ?? |)~()(| 00 xx KK
|)()(||)~()(| 0 xxxx K???? ???
????? 3|)~()~(||)~()(| 000 ????? xxxx KKK
? ?
下设,令
则 在 点连续，但
在 点显然不连续，所以 也是
的间断点,
第二节 单调函数的结构
0nxx ?
)()()( 1
00
0 nnnnnnnnn xxxxx ???? ?? ?? ?????
0n?
)()( 0000 1 nnnn xxxx ??? ????
0nx
)()( 00000 1 nnnnn xxxx ????? ??????
0nx 0nx
第二节 单调函数的结构
而且，由于
在 处的左、右极限都存在，且左、
右方跳跃度分别为,,因此 在
点的左、右极限也存在，且左、
右方跳跃度也分别为 与,证毕。
)()( 0000 1 nnnn xxxx ??? ????
?
0nx
0n? 0n?
0nx
0n? 0n?
五, 单调函数的结构
问题 5：利用上面的跳跃函数能否抹去给
定单调函数的间断点使其连续？
问题 6：对于给定的单调递增函数, 其对
应的跳跃函数也是单调递增的,
这两个函数的差是否仍是单调递
增的？
第二节 单调函数的结构
定理 3 设 f 是 上的单调增加函数,
是 f 的不连续点全体，令
则 是 上的单调增加函数，且
是 上的单调增
加连续函数。
第二节 单调函数的结构
}{ nx
? ????
n
nnn xxxfxfx )())()0(()( ??
?
],[ ba
)()()( xxfxh ???
? ????
n
nnn xxxfxf )())0()(( 1?
],[ ba
],[ ba
证明,记
,
则由 f 的单调性知 均非负。由定
理 3知 。于是
是 上的单调增加函数，且其间断
点全体为,在间断点 处的左、
右方跳跃度分别为 。
第二节 单调函数的结构
)0()(),()0( ?????? nnnnnn xfxfxfxf ??
nn ??,
)()()( afbf
n
nn ???? ??
)()()( 1 nn
n
nn
n
xxxxx ???? ?? ?????
}{ nx nx
],[ ba
nn ??,
显然, 在 处连
续, 而当 时, 在 处的左方
跳跃度为
,
同理右方跳跃度也为 0。这说明 在
处也是连续的，即 h 是 上
的连续函数。
第二节 单调函数的结构
nxx ?
nxx ? )(xh
)0()( ?? nn xhxh
)]0()([)]0()([ ?????? nnnn xhxhxfxf
],[ ba
)]0()0([)]()([ ?????? nnnn xhxfxhxf
0??? nn ??
)()()( xxfxh ???
nx
)(xh
nxx ?
往证 h 是单调增加的。设,
则当 时,
当 时,
所以
第二节 单调函数的结构
],[0 bax ?
nxx ?0
,0)()( 010 ???? nn xxxx ??
?
?
??
0
)()( 00
xx
nn
n
xxx ???
.1)(,0)( 010 ???? nn xxxx ??
nxx ?0
.)(
000
01 ???
???
????
xx
n
xx
n
xx
nn
nnn
xx ????
第二节 单调函数的结构
这说明当 x 是 f 的间断点时,是 f
在 上不连续点处的跳跃度总和，若
是 f 的间断点，则 为 f 在
上的不连续点处的跳跃度总和加上在
处的左方跳跃度。进而当,
且 时,不超过 f 在
上不连续点处的跳跃度总和。
],[ ba
)( 0x?
),[ 0xa0x
],[~,00 baxx ?
00~ xx ?
],~[ 00 xx
)~()( 00 xx ?? ?
)( 0x?
0x
故 由定理 1得
,
即
。
换言之,h 是 上的单调增加函数。
证毕。
第二节 单调函数的结构
)~()()~()( 0000 xfxfxx ??? ??
)~()~()~()()()( 000000 xhxxfxxfxh ????? ??
],[ ba
目的,熟练掌握单调函数的结构, 熟悉
单调函数的基本性质以及跳跃度, 跳
跃函数等重要概念 。
重点与难点,单调函数的性质与结构 。
4.2 单调函数的结构
基本内容,
一, 问题的提出
问题 1,Newton-Leibniz公式告诉我们
什么？ 它的重要性表现在什么
地方？ 对于 Lebesgue积分而言,
能否建立类似的结论？
第二节 单调函数的结构
牛顿 -莱布尼兹公式告诉我们，如果
是 [a,b] 上的连续函数，则
是 的一个原函数，即
。
第二节 单调函数的结构
)(xf
?? xa dttfxF )()(
)(tf
)()( xfxF ??
第二节 单调函数的结构
假如我们将 Riemann积分换成 Lebesgue
积分, 类似的结论是否仍成立？ 具体
地说, 若 是 [a,b]上的 Lebesgue可积
函数, 则
在 [a,b]上是否可导？如果可导，其导
函数是否等于？
)(xf
??
],[
)()(
xa
dttfxF
)(xf
另一方面,如果 是 [a,b] 上的可导
函数，则 在 [a,b] 上是否可积？如
果可积，则
是否等于？不难看到，无论是对
Riemann积分还是对 Lebesgue积分而言，
一个函数即使处处有导数，其导函数未
必是可积的。
第二节 单调函数的结构
)(xf ?
? ??
],[
)()(~
xa
dttfxF
)(xf
)(xf
第二节 单调函数的结构
例如, 若
则 在 [0,1]上处处有导数, 然而
在 [0,1]上却是不可积的 (参见江泽坚, 吴
智泉合编, 实变函数论, 第二版, 高教
出版社 1998)。 那么, 什么样的函数的导
函数是可积的呢？
这正是我们关心的问题 。
??
?
?
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?
0 0
0c os
)( 2
2
x
x
x
x
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)(xf )(xf ?
二, 单调函数的间断点
定义 1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集
E 上的有限函数，如果对任意,
当 时，不等式 恒成
立,就称 f 是 E 上的 单调增加函数 。
如果 恒成立，则称 f 为 E
上的 严格单调增加函数 。
第二节 单调函数的结构
Exx ?21,
21 xx ? )()(
21 xfxf ?
)()( 21 xfxf ?
第二节 单调函数的结构
如果当 时，不等式
恒成立,则称 f 是 E 上的 单调递减函
数 。若不等式 恒成立，则
称 f 为 E上的 严格单调递减函数 。
21 xx ? )()( 21 xfxf ?
)()( 21 xfxf ?
第二节 单调函数的结构
问题 2：单调函数的间断点哪些类
型？间断点有多少？
第二节 单调函数的结构
若 f 是 E 上的有限函数,在
点的右极限 存在，则称
为 f 在 点的 右方跳
跃度,若 f 在 点的左极限
存在，则称 为 f 在
点的 左方跳跃度 。
fEx,0 ?
)0( 0 ?xf
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)0( 0 ?xf
)0()( 00 ?? xfxf
0x
0x
0x
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第二节 单调函数的结构
若 f 在 的左、右极限都存在，但其
左、右方跳跃度不全为 0 (即
不全相等 )，则称 为 f
的 第一类不连续点,若 f 的不连续点
不是第一类的，则称为 第二类不连续
点 。
)0( 0 ?xf
0x
)(),0( 00 xfxf ? 0x
定 理 1 设 f 是 [a,b] 上的单调递增函数，
则 f 具有下列性质,
(1) f 的不连续点全是第一类的；
(2) f 的不连续点集至多可数；
(3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是
非负的，并且所有跳跃度的总和不超过
。
第二节 单调函数的结构
)()( afbf ?
证 明, (1) 首先证明，对任意
存在。事实上，由于,
故存在 N，当 时，,由
单调性得 且
是单调下降的序列，故 存
在，且 。
第二节 单调函数的结构
),[0 bax ?
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Nn? ),[1
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第二节 单调函数的结构
记, 则对任意,
存在, 使得,
对任意, 显然有,
由 f 的单调性得
,
因此, 即 。
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axfxx ??? )(lim 0
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axf ?? )0( 0
类似 可证 也存在，故 f 的不
连续点必是第一类不连续点。
(2) 由 (1) 的证明知对任意,
有,当
时显然,当 时,
,这说明 f 在 中任
一点的左、右方跳跃度均非负,
第二节 单调函数的结构
)0( 0 ?xf
),( bax ?
)0()()0( 000 ???? xfxfxf ax ?0
)0()( ?? afaf bx ?0
)0()( ?? bfbf ],[ ba
第二节 单调函数的结构
设 F 为 f 在 上的不连续点全体，
若,且,则由 f 的单调
性可知,因此开区间
与
互不相交，且由于 F 中点为不连续点，
故 。记 F 为
中开区间全体所成的类。
],[ ba
Fxx ?21,21 xx ?
)0()0( 12 ??? xfxf
))0(),0(( 11 ?? xfxf ))0(),0(( 22 ?? xfxf
)2,1)(0()0( ???? ixfxf ii
1R
第二节 单调函数的结构
作对应关系 如下,
,
并记,
则 是 中互不相交的开区间构
成的集类，从而最多可数，显然 是
F 到 的一一对应，所以 F 也是
至多可数的集合。
FF ?:?
))0(),0((,???? xfxfFx?
}|))0(),0({()( FxFxfxfFF ?????
1R
?)(FF
)(FF
第二节 单调函数的结构
(3) 记,对任意正整数 N，不
妨设,取
,
则,
因此,
??? 1}{ kkxF
Nxxx ??? ?21
?,2,1),,(,10 ??? ? kxxyay kkk
)()0()0()( 1 kkkk yfxfxfyf ??????
)0()0()()( 1 ????? ? kkkk xfxfyfyf
第二节 单调函数的结构
进而
]()([)]0()0([ 1
11
?
??
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N
k
kk
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1
afbfxfxf kk
k
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?
?
令 立得
证毕。
三, 单调函数的可积性
问题 3,[a,b]上的单调函数是否一定
是 R-可积的？ 为什么？
第二节 单调函数的结构
定 理 2 设 f 是 [a,b] 上单调增加的有
限函数，则 f 是 [a,b] 上的 Riemann
可积函数。
第二节 单调函数的结构
证明：由于 f 在 [a,b] 上有限，故
,
从而由单调性知 f 是 [a,b] 上的有界函
数，由定理 1知 f 至多有可数个不连续
点，其不连续点集显然是零测集，由
本章 § 2定理 6知 f 必是 Riemann可积函
数，证毕。
?????? )(,)( afbf
第二节 单调函数的结构
四, 跳跃函数
问题 4：能否找到一个结构相对简单
的函数，其间断点与所给定
的单调函数相同？且对应点
处的跳跃度也相同？找一个
在一点间断的例子。
定 义 2 设
是两组数 ( p 是正整数或 )，满足
,设
是 中的 p 个点，称下列函数
为跳跃函数，其中 是所谓的
Heaviside函数,
第二节 单调函数的结构
},,2,1|{},,,2,1|{ pnpn nn ?? ?? ??
??
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1
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p
n
?? },,2,1|{ pnx n ??
],[ ba
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nn
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nn
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xxxxx ???? ??
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如果 都是非负数，则不难验证
是单调增加的。一般情况下，可令
,
则,于是
第二节 单调函数的结构
.0,0 0,1)(,0,0 0,1)( 1
?
?
?
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第二节 单调函数的结构
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都是单调增加的跳跃函数，且
是 上的跳跃函数，若
,
则 (i) 是 的不连续点集。
(ii) 每个 都是 的第一类不连续点，且
在 点的左方跳跃度为,右方跳跃度
为 。
第二节 单调函数的结构
)()()( 1
11
nn
p
n
nn
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},,2,1|{ pnx n ?? ?
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引 理 1 设
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则 在 x 点连续，且
证明：首先证明，只要 x 不等于,则
在 x 点连续，事实上，当 时，
结论是显然的。现设,令
第二节 单调函数的结构
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由于级数 收敛，故
,
所以 在 上一致收敛到,从而对任意
,存在 使得 时，有
第二节 单调函数的结构
|)()(||)()(| 1
11
kn
kn
nn
kn
k xxxxxx ????? ??
?
??
?
??
??????
|)||(|
1
nn
kn
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?
??
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1
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n
nn ??
0|)||(|lim
1
???
?
???
nn
kk
??
k? ],[ ba ?
0?? 0K 0Kk ?
)],[(|)()(| baxxxk ??? 任意???
若,则由 在 x 点的连续性知存
在,当 时，有
,
进一步
。
由 的任意性知 在 x 点连续。
第二节 单调函数的结构
nxx ? 0K?
0?? ),( ?xOx ?
??? ?? |)~()(| 00 xx KK
|)()(||)~()(| 0 xxxx K???? ???
????? 3|)~()~(||)~()(| 000 ????? xxxx KKK
? ?
下设,令
则 在 点连续，但
在 点显然不连续，所以 也是
的间断点,
第二节 单调函数的结构
0nxx ?
)()()( 1
00
0 nnnnnnnnn xxxxx ???? ?? ?? ?????
0n?
)()( 0000 1 nnnn xxxx ??? ????
0nx
)()( 00000 1 nnnnn xxxx ????? ??????
0nx 0nx
第二节 单调函数的结构
而且，由于
在 处的左、右极限都存在，且左、
右方跳跃度分别为,,因此 在
点的左、右极限也存在，且左、
右方跳跃度也分别为 与,证毕。
)()( 0000 1 nnnn xxxx ??? ????
?
0nx
0n? 0n?
0nx
0n? 0n?
五, 单调函数的结构
问题 5：利用上面的跳跃函数能否抹去给
定单调函数的间断点使其连续？
问题 6：对于给定的单调递增函数, 其对
应的跳跃函数也是单调递增的,
这两个函数的差是否仍是单调递
增的？
第二节 单调函数的结构
定理 3 设 f 是 上的单调增加函数,
是 f 的不连续点全体，令
则 是 上的单调增加函数，且
是 上的单调增
加连续函数。
第二节 单调函数的结构
}{ nx
? ????
n
nnn xxxfxfx )())()0(()( ??
?
],[ ba
)()()( xxfxh ???
? ????
n
nnn xxxfxf )())0()(( 1?
],[ ba
],[ ba
证明,记
,
则由 f 的单调性知 均非负。由定
理 3知 。于是
是 上的单调增加函数，且其间断
点全体为,在间断点 处的左、
右方跳跃度分别为 。
第二节 单调函数的结构
)0()(),()0( ?????? nnnnnn xfxfxfxf ??
nn ??,
)()()( afbf
n
nn ???? ??
)()()( 1 nn
n
nn
n
xxxxx ???? ?? ?????
}{ nx nx
],[ ba
nn ??,
显然, 在 处连
续, 而当 时, 在 处的左方
跳跃度为
,
同理右方跳跃度也为 0。这说明 在
处也是连续的，即 h 是 上
的连续函数。
第二节 单调函数的结构
nxx ?
nxx ? )(xh
)0()( ?? nn xhxh
)]0()([)]0()([ ?????? nnnn xhxhxfxf
],[ ba
)]0()0([)]()([ ?????? nnnn xhxfxhxf
0??? nn ??
)()()( xxfxh ???
nx
)(xh
nxx ?
往证 h 是单调增加的。设,
则当 时,
当 时,
所以
第二节 单调函数的结构
],[0 bax ?
nxx ?0
,0)()( 010 ???? nn xxxx ??
?
?
??
0
)()( 00
xx
nn
n
xxx ???
.1)(,0)( 010 ???? nn xxxx ??
nxx ?0
.)(
000
01 ???
???
????
xx
n
xx
n
xx
nn
nnn
xx ????
第二节 单调函数的结构
这说明当 x 是 f 的间断点时,是 f
在 上不连续点处的跳跃度总和，若
是 f 的间断点，则 为 f 在
上的不连续点处的跳跃度总和加上在
处的左方跳跃度。进而当,
且 时,不超过 f 在
上不连续点处的跳跃度总和。
],[ ba
)( 0x?
),[ 0xa0x
],[~,00 baxx ?
00~ xx ?
],~[ 00 xx
)~()( 00 xx ?? ?
)( 0x?
0x
故 由定理 1得
,
即
。
换言之,h 是 上的单调增加函数。
证毕。
第二节 单调函数的结构
)~()()~()( 0000 xfxfxx ??? ??
)~()~()~()()()( 000000 xhxxfxxfxh ????? ??
],[ ba
