第三节 点集间的距离
第二章 n 维空间中的 点集
Cantor集
对 [0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间,
然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间,
此过程一直进行下去,最后留下的点 即为 Cantor集
1.Cantor集
第 n次 去掉的开区间 留下的闭区间
1
2
n
1)1( ?iI i 2,1)1( ?iI i
2)2( 2,2,1 ??iI i2,1)2( ?iI i
1() 1,2,2innIi ?? nni iI 2,2,1)( ??
? ? ?
???
i
nin IG )(,??
⑴ 定义：令
称 P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为 Cantor集
⑵ Cantor集的性质
i
nin IG )(,??
a,分割点一定在 Cantor集中
Cantor集 P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集
注：第 n次共去掉 2n-1个长为 1/3n的开区间
1
1
2
3
1
3
2
3
1
1
1
?
?
?? ?
?
?
? n
n
n
b,P的“长度”为 0，去掉的区间长度和
c,P没有内点
( )
x-ε x x+ε
第 n+1次等分去掉的区间
第 n次等分留下的区间
()1
30,n
niIO ???? ? ? ? （ x,）当 时, 有
但由 Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉
中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于 P,
所以 x不可能是 P的内点。
O ?（ x,）
()niI
证明：对任意 x ∈ P,x必含在“去掉手续
进行到第 n次”时留下的 2n个长为 1/3n的互
不相交的某个闭区间中
d,P中的点全为聚点,从而没有孤立点
???? }){(),( xPO x ?从而
从而 x为 P的聚点，当然不为孤立点。
?????? }){(,0 ),( xPO x ?? 有
证明：对任意 x ∈ P,
只要证,
()1 (,)
3,,n
nxin i O I??? ? ?及 某 个, 使
)(niI
由 Cantor集的作法知
而 的两个端点定在 P中,
第 n次等分留下的区间
( )
x-δ x x+δ n
n
iI 3
1|| )( ?
数的进位制简介
? 十进制小数 相应于 对 [0,1]十等分
? 二进制小数 相应于 对 [0,1]二等分
? 三进制小数 相应于 对 [0,1]三等分
说明：对应 [0,1]十等分的 端点 有两种表示，如
0.2000000…
0.1999999… （ 十进制小数 ）
第一次十等分确定第一位小数
第二次十等分确定第二位小数
e,P的势为 （利用二进制，三进制证明） ?
证明思路：把 [0,1]区间中的点都写成三进制小数,
则 Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现 1的点
的全体，从而 Cantor集为小数位只是 0,2的点的全
体，作对应
)(.0.0)( 222321 321 二进制数三进制数 ?? aaaaaa ?
注,Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点,
说明：三等分的 端点 有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如
0.1000000… = 0.0222222… （ 三进制小数 ）
0.2000000… = 0.1222222…
Cantor函数
（ Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1/9 1/3 2/3 1
1/2
1/8
1/4
3/8
5/8
7/8
3/4
如此类似取值一直定义下去
Cantor函数
a.在 G=[0,1]-P的各构成区间上,
)(x?
)(x?
}:)(s u p {)( xtGttx ??? 且??}1,0{?? Pxc.当 时,规定
称 为 [0,1] 上的 Cantor函数。
显然在 [0,1]上单调不减
1)1(0)0( ?? ??b.规定
351 2 1
2 2 2 2,,,,;
n
n n n n
?
如前图规定,在第 n次去掉的 2n-1个开区间上依次取值为
的所有二等分点全体为 ]1,0[)( G?
Cantor函数在 [0,1]上连续
注,Cantor函数把长度为 零 的集合
连续拉长 成长度为 1的集合
))(),(())(),(( 0000 xxxx ?? ???? 或
)(x?否则，若 在 x0∈ (0,1)处不连续,
则开区间 非空,
]1,0[)( ?G?
)(x?此区间中的每个数都不属于 的值域,
这与 矛盾,
（端点情形类似说明）
的所有二等分点全体为 ]1,0[)( G?
2.填满正方形的曲线
注：相应映射 f, [0,1] →[0,1] × [0,1] 是 满射,但 不是单射
如 0.12090909090909… 与 0.029999999999… 都对应到点
(0.1000000 …,0.2999999 …)=(0.09999999 …,0.29999999 …)
(各有限小数（除 0外）都写成以 9为循环的小数）
将填满正方形 [0,1]× [0,1]
]1,0[21.0.0)(,0)( 1231
242
{ ???? ?? ? ???? ?? nttttttttx tttty n
n
?
?
连续曲线
[0,1]× [0,1]
[0,1]
?问,[0,1] 与 [0,1]× [0,1]间不存在 连续 的 一一对应?
?[0,1] 与 [0,1]× [0,1]间存在 一一对应
（即单又满），势都为连续势 ;
?[0,1] 与 [0,1]× [0,1]间存在 连续满 映射；
此例引起人们对 维数 的重新思考 (什么叫曲线，曲面 )
（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位置所需的坐标个数）
各方向扩大 2倍
2=21
4=22
8=23
维数 n = log2n / log2
Sierpinski垫的
维数是 log3 / log2
Cantor集的维数
是 log2 / log3
参见：, 分形对象：形、机遇和维数, B.Mandelbrot;, 实迭代, 张景中；
, 数学的源与流, 张顺燕；, 集合与面积, 李惠玲 ;
分形艺术,http://www.fractal.com.cn; 分形频道 http://www.fractal.net.cn
Koch曲线的维数
是 log4 / log3
面积有限但边
界线无限长
(4/3)n的极限
（ 20世纪上半世纪）有限维 到 无限维 (泛函分析 )
（ 20世纪下半世纪）有限维 到 分数维 (分形几何 )
Mandelbrot集合
Mandelbrot集合局部放大
Nova分形
Newton分形
3.点集间的距离
},:),(in f {),(
}:),(in f {),(
ByAxyxdBAd
ByyxdBxd
???
??
??? BA b.若,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立,
如 A={n - 1/n},B={n+1/n}（都是闭集）
Bx?c.d(x,B)=0当且仅当
注,a.若 x∈ B,则 d(x,B)=0;反之则不一定成
立，如 x=0,B=(0,1)
证明：利用 d(x,E) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) z∈ E
定理 设 E为 Rn中非空点集,则 d(x,E)是 Rn上关于 x的
一致连续函数
所以 d(x,E)是 Rn上关于 x的一致连续函数。
可得 d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E),
同理 d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E),
故有 |d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y)
定理：设 A为非空闭集, x∈ Rn,
则必有 y∈ A,使得 d(x,y)=d(x,A)
11,,(,) (,) (,)nnnny A d x A d x y d x A? ? ? ? ? ?使 得
闭集,与 E紧挨的点
不跑到 E外，也即 E外
的点与 E不可能紧挨
{ } { } { } l imiin n n niy y y y y????由 于 为 有 界 点 列, 故 的 子 列, 使
1(,) (,) (,)
i in nd x A d x y d x A? ? ?
又Ａ为闭集，故 y∈ A,对
两边关于 i取极限即得 d(x,y)=d(x,A)
(,) i n f { (,), }d x A d x y y A??证明：由 可得
定理：设 A,B为非空 闭集, 且 A有界,则必有 x∈ A,
y∈ B,使得 d(x,y)=d(A,B)
nnnnnn BAdyxdBAdByAx 11 ),(),(),(,,,??????? 使得可知
xxxx ii ninn ?? ??lim}{}{,使的子列由于 A有界，故
},:),(i n f {),( ByAxyxdBAd ???证明：由
A
B A有界不可少,
如 A={n - 1/n},B={n+1/n}
yyyy jijii njnn ?? ??lim}{}{,使的子列从而
jijiji nnn
BAdyxdBAd 1),(),(),( ???
又 B为闭集，故 y∈ B,
另外对
两边关于 j取极限得 d(x,y)=d(A,B)
又 A为闭集，从而 x∈ A,并可得 {yni}有界
因为当 ni充分大时,
d(x,yni) ≤ d(x,xni ) + d(xni,yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ）
例：设 F为 R1中的有界闭集,G为开集且
则存在 δ>0，使得当 |x|< δ时,有
证明：由于 F为 R1中的有界闭集,G为开集,
故 d(F,Gc)>0,取 δ= d(F,Gc)即可,
FG?
GFyxyxF ????? }:{}{
( [ F ] )G
定理：设 A,B为非空 闭集, 且 A有界,
则必有 x∈ A,y∈ B,使得 d(x,y)=d(A,B)
定理：设 F1,F2为 Rn中两个互不相交的非空闭集，则
存在 Rn 上的连续函数 f(x),使得
（ 1） 0≤ f(x)≤ 1,x∈ Rn
（ 2） f(x)=0,x∈ F1; f(x)=1,x∈ F2
注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）,
即 Urysohn引理,
是连续函数可得关于及
证明：由
xFxdFxd
FxdFxd
Fxd
xf
),(),,(
),(),(
),(
)(
21
21
1
?
?
F2
F1
定理：设 F为 Rn中的非空闭集,f(x)为定义在 F上的
连续函数 且 |f(x)|≤M（ x∈ F）,则 存在 Rn 上的连
续函数 g(x) 满足 |g(x)|≤M，且 g(x)=f(x),x∈ F
证明：参见,周民强，实变函数 p-50
注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）,
即 Tietze扩张定理，需用 Urysohn引理证明
F
第二章 n 维空间中的 点集
Cantor集
对 [0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间,
然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间,
此过程一直进行下去,最后留下的点 即为 Cantor集
1.Cantor集
第 n次 去掉的开区间 留下的闭区间
1
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2)2( 2,2,1 ??iI i2,1)2( ?iI i
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⑴ 定义：令
称 P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为 Cantor集
⑵ Cantor集的性质
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a,分割点一定在 Cantor集中
Cantor集 P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集
注：第 n次共去掉 2n-1个长为 1/3n的开区间
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中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于 P,
所以 x不可能是 P的内点。
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证明：对任意 x ∈ P,x必含在“去掉手续
进行到第 n次”时留下的 2n个长为 1/3n的互
不相交的某个闭区间中
d,P中的点全为聚点,从而没有孤立点
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从而 x为 P的聚点，当然不为孤立点。
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证明：对任意 x ∈ P,
只要证,
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由 Cantor集的作法知
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数的进位制简介
? 十进制小数 相应于 对 [0,1]十等分
? 二进制小数 相应于 对 [0,1]二等分
? 三进制小数 相应于 对 [0,1]三等分
说明：对应 [0,1]十等分的 端点 有两种表示，如
0.2000000…
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第一次十等分确定第一位小数
第二次十等分确定第二位小数
e,P的势为 （利用二进制，三进制证明） ?
证明思路：把 [0,1]区间中的点都写成三进制小数,
则 Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现 1的点
的全体，从而 Cantor集为小数位只是 0,2的点的全
体，作对应
)(.0.0)( 222321 321 二进制数三进制数 ?? aaaaaa ?
注,Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点,
说明：三等分的 端点 有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如
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0.2000000… = 0.1222222…
Cantor函数
（ Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1/9 1/3 2/3 1
1/2
1/8
1/4
3/8
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7/8
3/4
如此类似取值一直定义下去
Cantor函数
a.在 G=[0,1]-P的各构成区间上,
)(x?
)(x?
}:)(s u p {)( xtGttx ??? 且??}1,0{?? Pxc.当 时,规定
称 为 [0,1] 上的 Cantor函数。
显然在 [0,1]上单调不减
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351 2 1
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如前图规定,在第 n次去掉的 2n-1个开区间上依次取值为
的所有二等分点全体为 ]1,0[)( G?
Cantor函数在 [0,1]上连续
注,Cantor函数把长度为 零 的集合
连续拉长 成长度为 1的集合
))(),(())(),(( 0000 xxxx ?? ???? 或
)(x?否则，若 在 x0∈ (0,1)处不连续,
则开区间 非空,
]1,0[)( ?G?
)(x?此区间中的每个数都不属于 的值域,
这与 矛盾,
（端点情形类似说明）
的所有二等分点全体为 ]1,0[)( G?
2.填满正方形的曲线
注：相应映射 f, [0,1] →[0,1] × [0,1] 是 满射,但 不是单射
如 0.12090909090909… 与 0.029999999999… 都对应到点
(0.1000000 …,0.2999999 …)=(0.09999999 …,0.29999999 …)
(各有限小数（除 0外）都写成以 9为循环的小数）
将填满正方形 [0,1]× [0,1]
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242
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连续曲线
[0,1]× [0,1]
[0,1]
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此例引起人们对 维数 的重新思考 (什么叫曲线，曲面 )
（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位置所需的坐标个数）
各方向扩大 2倍
2=21
4=22
8=23
维数 n = log2n / log2
Sierpinski垫的
维数是 log3 / log2
Cantor集的维数
是 log2 / log3
参见：, 分形对象：形、机遇和维数, B.Mandelbrot;, 实迭代, 张景中；
, 数学的源与流, 张顺燕；, 集合与面积, 李惠玲 ;
分形艺术,http://www.fractal.com.cn; 分形频道 http://www.fractal.net.cn
Koch曲线的维数
是 log4 / log3
面积有限但边
界线无限长
(4/3)n的极限
（ 20世纪上半世纪）有限维 到 无限维 (泛函分析 )
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Mandelbrot集合
Mandelbrot集合局部放大
Nova分形
Newton分形
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???
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如 A={n - 1/n},B={n+1/n}（都是闭集）
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注,a.若 x∈ B,则 d(x,B)=0;反之则不一定成
立，如 x=0,B=(0,1)
证明：利用 d(x,E) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) z∈ E
定理 设 E为 Rn中非空点集,则 d(x,E)是 Rn上关于 x的
一致连续函数
所以 d(x,E)是 Rn上关于 x的一致连续函数。
可得 d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E),
同理 d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E),
故有 |d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y)
定理：设 A为非空闭集, x∈ Rn,
则必有 y∈ A,使得 d(x,y)=d(x,A)
11,,(,) (,) (,)nnnny A d x A d x y d x A? ? ? ? ? ?使 得
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不跑到 E外，也即 E外
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两边关于 i取极限即得 d(x,y)=d(x,A)
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y∈ B,使得 d(x,y)=d(A,B)
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A
B A有界不可少,
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另外对
两边关于 j取极限得 d(x,y)=d(A,B)
又 A为闭集，从而 x∈ A,并可得 {yni}有界
因为当 ni充分大时,
d(x,yni) ≤ d(x,xni ) + d(xni,yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ）
例：设 F为 R1中的有界闭集,G为开集且
则存在 δ>0，使得当 |x|< δ时,有
证明：由于 F为 R1中的有界闭集,G为开集,
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定理：设 A,B为非空 闭集, 且 A有界,
则必有 x∈ A,y∈ B,使得 d(x,y)=d(A,B)
定理：设 F1,F2为 Rn中两个互不相交的非空闭集，则
存在 Rn 上的连续函数 f(x),使得
（ 1） 0≤ f(x)≤ 1,x∈ Rn
（ 2） f(x)=0,x∈ F1; f(x)=1,x∈ F2
注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）,
即 Urysohn引理,
是连续函数可得关于及
证明：由
xFxdFxd
FxdFxd
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)(
21
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1
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F2
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定理：设 F为 Rn中的非空闭集,f(x)为定义在 F上的
连续函数 且 |f(x)|≤M（ x∈ F）,则 存在 Rn 上的连
续函数 g(x) 满足 |g(x)|≤M，且 g(x)=f(x),x∈ F
证明：参见,周民强，实变函数 p-50
注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）,
即 Tietze扩张定理，需用 Urysohn引理证明
F
