第一节 外测度
第三章 测度理论
1.引言
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a
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)(lim)()( ?
其中
iii
iii
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1
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）,
函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
(1) Riemann积分回顾（分割定义域）
新的积分（ Lebesgue积分,从 分割值域 入手 ）
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用 mEi 表示 Ei 的,长度,
问题：如何把长度,面积,体积概念推广?
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例：设 E为 [0,1]中的 有理数 全体，则 E不 Jordan可测
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由于任一覆盖 [0,1]中 的有理数全体的有限开覆盖也一定
能覆盖 除有限个点 外的 [0,1]，从而
0)( ?? JEm
由于 无理数 在 [0,1]中 稠密,故任一开区间都不可能含在 E内,
从而
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( [ ( ) )( )( ( ) ] )
０ １
( [ ] )
-ε ０ １ 1+ε
2 Lebesgue外测度 (外包 )
为 E的 Lebesgue外测度。
定义：,称非负广义实数 nRE ?设 )}{( *RR ????
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即：用一开区间列,近似”替换集合 E }{ iI
例 设 E是 [0,1]中的全体有理数，试证明 E的外测度为 0
证明：由于 E为可数集,
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2.平面上的 x轴的外测度为 0
思考,１, 设 E是平面上的有理点全体,则 E的外测度为 0
思考,3.我们知道有理数与无理数在 [0,1]上都稠密，问证明中
的开区间列是否覆盖了区间 [0,1]
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上面叙述的 错误 出在取,因为 i的取定依赖于 δ
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思考,4.对 Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖 [0,1]中的
有理数全体，则这有限个开区间也覆盖 [0,1]
（除有限个点外）
注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列
（如Ｃ antor集的余集的构成区间）
( [ ( ) )( )( ( ) ] )
０ １
注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列
5.对 Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖 [0,1]中的
有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖 [0,1]
（除可数个点外）
（ 2） Lebesgue外测度的性质
(b)的 证明,能覆盖 B的开区间列也一定能覆盖 A，从而
能覆盖 B的开区间列比能覆盖 A的开区间列要少,
相应的下确界反而大。
BmAmBA ?? ??,则若（ b）单调性,
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11
为开区间且 ii
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0??Em（ a）非负性：,
当 E为空集时,
（ C）次可数可加性
证明：对任意的 ε>0,由外测度的定义知，对每个 An都有
一列开区间（ 即用一开区间 {I nm}列近似替换 An）
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注：一般证明都是
从 大 的一边开始,
因为外测度的定义
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注：外测度的次可数可加性的等号即使 A,B不交也
可能不成立（反例要用不可测集），但有,
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B中的点从而把区间列 Ii分成两部分，一部分含有 A
中的点，一部分含有 B中的点。
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例
证明参见教材 p-56
思考：书本中的证明用有限开覆盖定
理的目的何在？
此例说明 Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广
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例,Cantor集的外测度为 0。
注：称外测度为 0的集合为零集；零集的 子
集，有限并，可数并 仍为零集
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第三章 测度理论
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为 E的 Lebesgue外测度。
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注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列
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（ 2） Lebesgue外测度的性质
(b)的 证明,能覆盖 B的开区间列也一定能覆盖 A，从而
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思考：书本中的证明用有限开覆盖定
理的目的何在？
此例说明 Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广
|| IEm ??I对任意区间,有
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注：称外测度为 0的集合为零集；零集的 子
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