第二节 可测集合
第三章 测度理论
Lebesgue外测度 (外包 )
n
n
nn AmAm
*
11
* )( ?
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次可数可加性 (即使Ａ n两两不交 )
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为开区间且 ii
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即：用一开区间列“近似”替换集合 E
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EmIEmIEI
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*
1
*
1
||},{,0 且使得开区间列
1.可测集的定义
注,Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,
但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。
E Ec
T∩E T∩Ec
,nRT ??若 )()( * cETmETmTm ???? ??有
mE
（ Caratheodory条件）,则称 E为 Lebesgue可测集,
此时 E的外测度称为 E的测度，记作
例：零集 E必为可测集
*
**
( ) ( )
( ) ( ) ( )
cm T m T E m T E
m E m T m T
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有
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*( ) ( )cm T m T E m T E?? ? ? ? ?从 而
即 E为可测集。
)()(,* cn ETmETmTmRT ?????? ??有
2.Lebesgue可测集的性质
证明,(充分性） nRT ??
即可令 cETBETA ????,
(必要性 )令 BAT ??
有,,cEBEA ???? )()()( * BmAmBAm ??? ??
)()(,* cn ETmETmTmRT ?????? ??有（ a）集合 E可测（即 ）
即可测集类关于 差，余,有限 交 和可数 交,
有限 并 和可数 并,以及 极限 运算 封闭 ；
11
,,,,,c ii
ii
A A B A B A B A A
??
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（ b） 若 A,B,Ai 可测，则下述集合 也可测
nA B T R? ? ? ? ?若, 则
*( ( ) ) ( ) ( )m T A B m T A m T B??? ? ? ? ? ?有
注,上式由前面可测集的等价刻画立刻可得
若 Ai两两不交，则 （测度的可数可加性）
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11
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iii mAAm
若 A,B可测,
则有 可减性
,,???? mABA
mAmBABm ??? )(
可测集类关于 差，余,有限 交 和可数 交,
有限 并 和可数 并,以及 极限 运算 封闭 ；
也可测。
若 可测已证明，则易知 BA ?
ccc BABA )( ???
cBABA ???
nRT ??
)()( * cETmETmTm ???? ??有
易知 Ac可测
证明：由可测集的定义,
可测余即可证明
通过取两不交情形
把一般情形转化为两
可过令
则通可测已证明
为两两不交时若当
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可 测
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(4) Ｔ
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下面证明若 A,B 可测,
则 可测
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，有证明,nRT ??
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即得结论
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代并用
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下面证明若 A i 两两不交，则
例：设 [0,1]中可测集 A1,A2,…,An 满足条件
则 必有正测度。 1 1
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注,左边 的极限是 集列 极限,
而 右边 的极限是 数列 极限,
(b)中的条件 不可少
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nnnn mAAm ???? ? lim)lim(
(a) 若 An是递增的可测集列，则
nnnn mAAm ???? ? l i m)l i m(则
???1mA(b) 若 An 是递减的可测集列且
如 An = ( n,+∞) （
n
单调可测集列的性质
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AAAAAA
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注：若 An是递减集列,
若 An是递增集列,
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但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。
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（ Caratheodory条件）,则称 E为 Lebesgue可测集,
此时 E的外测度称为 E的测度，记作
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（ b） 若 A,B,Ai 可测，则下述集合 也可测
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