第二节 开集与闭集
第二章 n 维空间中的 点集
⒋ 开集、闭集
?P0为 E的接触点,
?P0为 E的聚点,
?P0为 E的内点,
????? EO p ),( 0,0 ?? 有
EO p ??? ),( 0,0 ?? 使得
?????? }){(,0 0),( 0 pEO p ?? 有
EEEE
EEEEE
??
????
'
'' }{
等价于故
的孤立点全体由于
说明：要证 E是开集，只要证
要证 E是闭集，只要证
)( 显然因为 EEEE ?? ??
)(' 显然因为或 EEEEEE ???
EE ?
若 Eo = E,则称 E为开集（ E中每个点都为内点 )
若,则称 E为闭集（与 E紧挨的点不跑到 E外）
例：开区间 (a,b)为开集
说明：要证 E是开集，只要证 )( 显然因为 EEEE ?? ??
a
b x
),(),( baO x ??
证明：任取 x∈ (a,b),取 δ=min{|x-a|,|x-b|},
则,
从而 x是（ a,b）的内点,
故 (a,b)是开集。
例：闭区间 [a,b]为闭集
说明,要证 E是闭集，只要证
'' ( ) ( ) ( )c c c cE E E E E E E E E E? ? ? ? ?或 或 或 因 为 显 然
a b x
cx baO ],[),( ??
证明：任取 x∈ [a,b]c,取 δ=min{|x-a|,|x-b|},
则,
从而 x不是 [a,b]的接触点,
从而 [a,b]的接触点都在 [a,b]内,
从而 [a,b]是闭集。
注：闭集为对 极限 运算 封闭 的点集
? 即,A为闭集 当且仅当 A中的任意收敛点列收敛于 A中的点
利用,
p0为 E的 接触点 的充要条件为存在 E中点列 {pn},使得
或
p0是 E的 聚点 的 充要条件为 存在 E中的 互异 的点所成的点列 {pn},使
得 0
lim pp nn ???
0lim pp nn ???
若 （或 ）,则称 E为闭集。
（与 E接近的点不跑到 E外）
EE ? EE ?'
Eo为 开集
注,Eo为含于 E内的 最大开集
为开集，即从而 ???? EEE )(?
EOO xy ?? ),()',( ??则
)',( ?yO
E
?EO x ?),( ?
?? )( Ex ?
从而 y为 E的内点，从而
所以 x为 Eo的内点，即
??? )( EE ?证明：只要证
),( ?xO
EO x ??? ),(,0 ?? 使得?Ex?任取, 由内点的定义知
),( ?xOy ?
),(' yxd?? ??任取,取
E`为闭集
?????? }){'(,0 ),( xEO x ?? 有
),( ?xO
( ',')
( ',') (,)
' 0,( { '})
( ' m in { (,'),(,') }
x
xx
O E x
d x x d x x O O
?
??
?
??
? ? ? ? ? ?
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知 有
当 时,有 x ）
)','( ?xO
E
(,)' ( ' { } ) ' 'xx O E x x E?? ? ? ?取, 由
')''( EE ?
)''( Ex ?
证明：只要证
任取,由聚点的定义知
E`为闭集
注,为包含 E的 最小闭集 E
( ',')
( ',') (,)
' 0,( { '})
( ' m in { (,'),(,') }
x
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知 有
当 时,有 x ）
为闭集可得
利用
E
EEEEEEEEE ???????? ''')''(')''()'(
)','( ?xO
),( ?xO
E
???? }){(),( xEO x ?
')''( EE ?
从而
即 x为 E的聚点，从而
⑵ 开集与闭集的对偶性
?P0为 E的接触点,
?P0为 E的聚点,
?P0为 E的内点,
?P0为 E的外点,
????? EO p ),( 0,0 ?? 有
EO p ??? ),( 0,0 ?? 使得
?????? }){(,0 0),( 0 pEO p ?? 有
cpp EOEO ?????? ),(),(
00,,0 ??? 即使得
b.若 E为开集，则 Ec为闭集 ;
若 E为闭集，则 Ec为开集。
cccc EEEE )()()()( ?? ??
a,
开集的余集是闭集
?P0为 E的接触点,
?P0为 E的内点,
????? EO p ),( 0,0 ?? 有
EO p ??? ),( 0,0 ?? 使得
CECE ?
从而 x不是 Ec的接触点,
也即 Ec的接触点一定在 Ec内,
从而,即 Ec为闭集。
EOEx x ????? ),(,0,?? 使得证明：设 E为开集，即
(,) cxOE? ? ? ?从而
闭集的余集是开集
?P0为 E的接触点,
?P0为 E的内点,
????? EO p ),( 0,0 ?? 有
EO p ??? ),( 0,0 ?? 使得
EE ?证明：设 E为闭集，即
cxE? 任取,假如 x不是 E
c的内点,
则 x的任一邻域内至少有一个属于 E的点,
cxE?
从而 x为 E的接触点，由Ｅ为闭集可知 x在 E内,
这与 矛盾,
所以 Ec中的点都为 Ec的内点，即 Ec为开集。
⑶ 开集的性质
a,空集,Rn为开集 ;
b,任意多个 开集之 并 仍为开集；
c,有限个 开集之 交 仍为开集。
注：无限多个开集的交不一定为开集，如：
En=(0,1+1/n),
Rn中只有空集和 Rn既开又闭,
存在大量既不开又不闭的集合，如,E=[0,1)
A B
⑷ 闭集的性质
a.空集,Rn为闭集；
b.任意多个 闭集之 交 仍为闭集；
c.有限个 闭集之 并 仍为闭集。
注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如,En=[0,1-1/n]
若 E为开集，则 Ec为闭集 ;
若 E为闭集，则 Ec为开集
?? ???? ? ? ?? ? cc AA )(
?? ???? ? ? ?? ? cc AA )(
⒌ 直线上的开集构造
? 定理：直线上的任一非空 开集 都可唯一地表示成 有
限个或可数个 互不相交 的 开区间 的并。
( ) ( )( ) ( ) (
⑴ 直线上的 闭集 或是全直线，或是从直线上 挖去 有限个或
可数个互不相交的 开区间 所得之集,
开集的构造
⑵ 直线上的闭集的 孤立点 必是其余区间的某两个相邻开区
间的 公共端点 ;
但 并不意味 无孤立点的 闭集 定为互不相交的 闭区间 之并。
⑶ Rn中的 开集 一般不能表示成至
多可数个互不相交的开区间之并,
但总可表示成至多可数个互不相
交的 半开半闭区间 之并,
( ) ( )( ) ( ) (
6.R中有关紧性的两个结论
⑴ Bolzano-Weierstrass定理,
若 E是 Rn中的一个 有界的无限集,则 E至少有一个 聚点,
点列 {a1,a2,a3,a4,…}
a1 = (a11,a12,a13,…,a 1n)
a2 = ( a21,a22,a23,…,a 2n)
a3 = ( a31,a32,a33,…,a 3n)
… …
?注：对 无限维空间 不一定成立。详细内容参见教材 p-183例 6
⑵ Heine-Borel有限覆盖定理
设 F为有界闭集，若开集簇 覆盖 F（ 即 ）,
则 中存在 有限个 开集 U1, U2,…,U n，它同样覆盖 F
}:{ IiU i ?
iIi UF ???
}:{ IiU i ?
注：比较下面几种不同的证法
1,周民强，实变函数 p-36
2,尤承业，基础拓扑学 p-52
3,熊金城，点集拓扑讲义 p-202
4,教材 p-42
注,Heine-Borel有限覆盖定理的 逆命题也成立
可数覆盖定理
设 F为 Rn中一 集合，若开集簇 覆盖 F（ 即 ）,
则 中存在 可数个 开集 U1, U2,…,U n, …,它同样覆盖 F
}:{ IiU i ? i
Ii UF ???
}:{ IiU i ?
提示：利用空间中以 有理点 为 中心, 正有理数 为 半径
的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理
点全体在 Rn中 稠密 和有理数全体是 R的 稠密 集
例：设 F为 R1中的有界闭集,G为开集且
则存在 δ>0，使得当 |x|< δ时,有
证明：对任意的 y∈ F，由于 y∈ G,
FG?
GFyxyxF ????? }:{}{
GO yyy ?? ),(,0 ?? 使得故存在
),(1 21 iyiy
n
i
OF ?
?
??使得
}:{ ),( 21 FyO yy ??由 组成 F的一个开覆盖及
有限子覆盖定理，知存在 y1,y2,…y n ∈ F,
},,,m i n { 2121 nyyy ???? ??取
),( 21 iyiyO ?
于是对每个 y∈ F至少属于某个
iii yyyii yyyzzy ??? 2
121|||||| ????????
且 y与 Gc中的任一点 z之间的距离为
GxF ?? }{
则当 |x|<δ时有 y+x∈ G,即
第二章 n 维空间中的 点集
⒋ 开集、闭集
?P0为 E的接触点,
?P0为 E的聚点,
?P0为 E的内点,
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说明：要证 E是开集，只要证
要证 E是闭集，只要证
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若 Eo = E,则称 E为开集（ E中每个点都为内点 )
若,则称 E为闭集（与 E紧挨的点不跑到 E外）
例：开区间 (a,b)为开集
说明：要证 E是开集，只要证 )( 显然因为 EEEE ?? ??
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证明：任取 x∈ (a,b),取 δ=min{|x-a|,|x-b|},
则,
从而 x是（ a,b）的内点,
故 (a,b)是开集。
例：闭区间 [a,b]为闭集
说明,要证 E是闭集，只要证
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证明：任取 x∈ [a,b]c,取 δ=min{|x-a|,|x-b|},
则,
从而 x不是 [a,b]的接触点,
从而 [a,b]的接触点都在 [a,b]内,
从而 [a,b]是闭集。
注：闭集为对 极限 运算 封闭 的点集
? 即,A为闭集 当且仅当 A中的任意收敛点列收敛于 A中的点
利用,
p0为 E的 接触点 的充要条件为存在 E中点列 {pn},使得
或
p0是 E的 聚点 的 充要条件为 存在 E中的 互异 的点所成的点列 {pn},使
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从而 x不是 Ec的接触点,
也即 Ec的接触点一定在 Ec内,
从而,即 Ec为闭集。
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(,) cxOE? ? ? ?从而
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?P0为 E的接触点,
?P0为 E的内点,
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EE ?证明：设 E为闭集，即
cxE? 任取,假如 x不是 E
c的内点,
则 x的任一邻域内至少有一个属于 E的点,
cxE?
从而 x为 E的接触点，由Ｅ为闭集可知 x在 E内,
这与 矛盾,
所以 Ec中的点都为 Ec的内点，即 Ec为开集。
⑶ 开集的性质
a,空集,Rn为开集 ;
b,任意多个 开集之 并 仍为开集；
c,有限个 开集之 交 仍为开集。
注：无限多个开集的交不一定为开集，如：
En=(0,1+1/n),
Rn中只有空集和 Rn既开又闭,
存在大量既不开又不闭的集合，如,E=[0,1)
A B
⑷ 闭集的性质
a.空集,Rn为闭集；
b.任意多个 闭集之 交 仍为闭集；
c.有限个 闭集之 并 仍为闭集。
注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如,En=[0,1-1/n]
若 E为开集，则 Ec为闭集 ;
若 E为闭集，则 Ec为开集
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⒌ 直线上的开集构造
? 定理：直线上的任一非空 开集 都可唯一地表示成 有
限个或可数个 互不相交 的 开区间 的并。
( ) ( )( ) ( ) (
⑴ 直线上的 闭集 或是全直线，或是从直线上 挖去 有限个或
可数个互不相交的 开区间 所得之集,
开集的构造
⑵ 直线上的闭集的 孤立点 必是其余区间的某两个相邻开区
间的 公共端点 ;
但 并不意味 无孤立点的 闭集 定为互不相交的 闭区间 之并。
⑶ Rn中的 开集 一般不能表示成至
多可数个互不相交的开区间之并,
但总可表示成至多可数个互不相
交的 半开半闭区间 之并,
( ) ( )( ) ( ) (
6.R中有关紧性的两个结论
⑴ Bolzano-Weierstrass定理,
若 E是 Rn中的一个 有界的无限集,则 E至少有一个 聚点,
点列 {a1,a2,a3,a4,…}
a1 = (a11,a12,a13,…,a 1n)
a2 = ( a21,a22,a23,…,a 2n)
a3 = ( a31,a32,a33,…,a 3n)
… …
?注：对 无限维空间 不一定成立。详细内容参见教材 p-183例 6
⑵ Heine-Borel有限覆盖定理
设 F为有界闭集，若开集簇 覆盖 F（ 即 ）,
则 中存在 有限个 开集 U1, U2,…,U n，它同样覆盖 F
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注,Heine-Borel有限覆盖定理的 逆命题也成立
可数覆盖定理
设 F为 Rn中一 集合，若开集簇 覆盖 F（ 即 ）,
则 中存在 可数个 开集 U1, U2,…,U n, …,它同样覆盖 F
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的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理
点全体在 Rn中 稠密 和有理数全体是 R的 稠密 集
例：设 F为 R1中的有界闭集,G为开集且
则存在 δ>0，使得当 |x|< δ时,有
证明：对任意的 y∈ F，由于 y∈ G,
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