习题讲解
第二章 n 维空间中的 点集
1 开集减闭集的差集是开集,
闭集减开集的差集是闭集
证明：利用 A-B=A∩Bc,
开集的余集是闭集，闭集的余集是开集,
以及有限个开集的交仍是开集,
有限个闭集的交仍是闭集即得。
}:{ BxAxxBA ??? 且?
}:{\ BxAxxBABA ???? 但或差：
cBABA ???
2 每个闭集必是可数个开集的交,
每个开集必是可数个闭集的并
EGGE nnnn ???? ???? 11,下证从而
nG
E
1
1
1
(,)1
1
(,)
,,,
,,| |
n
n
nn n xn x E
nn nx
x G x G O
x E x O x x
?
??
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? ? ? ? ?
则 有
进 一 步 有 使 得 即
任取
),( 1nExn xOG ???
nGE ?
证明：设 E为闭集，取
则 Gn为开集,
nG
E
再由 E为闭集，可得 x∈ E
从而每个闭集必是可数个开集的交,
{ } l i mnn nE x x x????中 点 列 使 得
从而
通过取余集,即得每个开集必是可
数个闭集的并,
1
1
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(,)1
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,,| |
n
n
nn n xn x E
nn nx
x G x G O
x E x O x x
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? ? ? ? ?
则 有
进 一 步 有 使 得 即
任取
3 设 f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数
a,E={x|f(x)>a}是开集，而 E1={x|f(x)≥a}是闭集
要证 E={x|f(x)>a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点
( )
x０
f(x0)+ε
f(x0)
f(x0)-ε
a
由 f(x)在 x0处连续及 极限的保号性 知,
存在 δ>0,当 |x-x0|< δ时,有 f(x)>a
证明：任取 x0 ∈ E ={x|f(x)>a},则 f(x0 )>a,
类似可证 {x|f(x)<a}为开集,
从而 {x|f(x)≥a} ={x|f(x)<a}c是闭集
即 O(x0,δ) ∈ E ={x|f(x)>a},
即 x0为 E的内点，从而 E为开集；
3 设 f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数
a,E1={x|f(x)>a}是开集，而 E={x|f(x)≥a}是闭集
注：用到了
极限保持不等号
前面的证明用了
极限的保号性
EE ?'另证, 要证 E={x|f(x)≥a}是闭集，只要证
0lim xx nn ???
任取 x0 ∈ E' = {x|f(x)≥ a} ',则存在 E中的点列 {xn},
使得
由 f(x)在 x0处 连续 及 f(xn)≥a,可知 f(x0)≥a
所以 x0 ∈ {x|f(x)≥ a},从而 {x|f(x)≥a} 是闭集,
类似可证 {x|f(x)≤a} 为闭集,
从而 {x|f(x)>a} = {x|f(x) ≤a} c是开集
4 f(x)是直线上的连续函数 当且仅当 对任意实数 a，
E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
证明：我们只要证明 充分性,
连续。，得到矛盾，所以从而 )()()( 00 xfxfxf ???
，：可知
为闭集，：由
})()({
})()({
00
0
?
?
???
??
xfxfxx
xfxfx
），则令这无限多项为
中，：在不妨令有无限多
???
??
ixxx
xfxfxx
ii nn
n
(
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0
0 ?
，：或：从而 })()({})()({ 00 ?? ?????? xfxfxxxfxfxx nn
0
11
00
()
0,,,| |,| ( ) ( ) |,n n nnn
f x x
x R x x f x f x??? ? ? ? ? ? ? ? ?
假 如 在 某 点 处 不 连 续,
则 使 但
4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数 a，
E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
另证,我们只要证明 充分性,
处连续。在所以
时，有也即当
0
00
)(
|)()(|||
xxf
xfxfxx ?? ????
)})()()({(
})()()({),(
,0
000
000
的内点：是因为
：
使得从而
??
???
?
????
?????
??
xfxfxfxx
xfxfxfxxO
为开集，：：
：
})()({)}()({
})()()({,0
00
00
??
???
??????
??????
xfxfxxfxfx
xfxfxfx
处连续在，下证任取
都为开集，：：
，由条件知对任意实数
00 )(
})({},)({
xxfRx
cxfxcxfx
c
?
??
5 设 f(x)在 O(x0,δ)上有定义,称
为 f(x)在 x0处的振幅，若 f(x)在 开集 G上定义，则
对任意实数 t，点集 为 开集
},|:)()(s u p { |lim)( ),(''''''00 0 ??? xOxxxfxfx ??? ?
})(:{ txGx ?? ?
f(x)在区间 (a,b)上的振幅
' '' ' ''
' ' '' ''
( (,) ; ) s u p { | ( ) ( ) |:,(,) }
s u p { ( ), (,) } i n f { ( ), (,) }
a b f f x f x x x a b
f x x a b f x x a b
? ? ? ?
? ? ? ?
（ ）
x０
随 δ的减少而减少
５的
证明
0m i n { '," },(,) {, ( ) },O x x G x t? ? ? ? ?? ? ? ?取 下 证
，使故
为开集，由于
GxO
G
??? )',(,0' 0 ??
)',( 0 ?xO
00
0
0
( ) l im s u p {| ( ') ( " ) |,'," (,) },
" 0,s u p {| ( ') ( " ) |,'," (," ) },
(
x f x f x x x O x G t
f x f x x x O x G t
?
??
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
由 于
所 以 使
极 限 的 保 号 性 ）
)",(),( 00 ?? xOxO ?
txGx
txGxx
??
???
)(
},)(:{
00
0
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?
，且则
任取
,})(:{ 中的点都是内点即可只要证明 txGx ?? ?
})(:{ txGx ?? ?
G
?x
0( ) l im su p {| ( ') ( " ) |,'," (,) },x f x f x x x O x t????
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?? ? ? ?从 而
为开集。所以
从而
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})(:{),( 0
txGx
txGxxO
??
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，故有 })(:{ txGxx ???? ?
,})",(",'|:)"()'(s u p { |
}),(",'|:)"()'(s u p { |
0 tGxOxxxfxf
GxOxxxfxf
?????
??? ??
?
?从而
振幅小于 t的点全体为开集的证明
)',( 0 ?xO
)",(),( 00 ?? xOxO ?
})(:{ txGx ?? ?
)",(),(),(
,),(
00
0
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xOxOxO
xxd
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有
时其次，当 ),(
?? ?xO
G
GxOxOx
xOx
???
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)',(),(
),,(
00
0
??
?
则
任取
6 设 f(x)在 E上有定义,称
为 f(x)在 x0 ∈ E处的振幅，若 f(x)在 闭集 E上定义，
则对任意实数 t，点集 为闭集
},|:)()(s u p { |lim)( ),(''''''00 0 EOxxxfxfx x ???? ? ???
})(:{ txEx ?? ?
说明,5与 6不能通过取余集 而由一个的证明立即
得到另一个的证明；因为定义域已限制好,
在定义域的外面函数没有取值。
0s u p { | ( ') ( " ) |, '," (,) }
s u p { | ( ') ( " ) |, '," (,') } ( ),
f x f x x x O x
f x f x x x O x x t
?
??
??
? ? ? ? ?
从 而
证明,})(:{}')(:{ txExtxEx ????? ??只需证
),,()',(
),,(')(
0
0
??
???
xOxO
xxdtxx
?
???
则
，取，有对该
为闭集。，从而故有 })(:{})(:{0 txExtxExx ????? ??
,)},(",'|:)"()'(s u p { |l i m)( 000 txOxxxfxfx ???? ? ?? ?从而
振幅大于等于 t的点全体为闭集的证明
，中的点含有另外
，为闭集由于显然任取
xtxExxO
EExtxExx
})(:{),(,0
)(,}')(:{
0
00
????
????
???
?
x0 δ
x δ'