第二节 集合的基数
第一章 集合及其基数
定义 1：设 X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f，
对 X中的 每个 x，均 存在 Y中 唯一 的 y与之对应，则称
这个 对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射,
记作 f,X→Y
或,设 X,Y是两个非空集合,f是 X× Y的 子集,且
对 任意 x∈ X,存在唯一 的 y ∈ Y使 (x,y) ∈ f，则 f 是从
X 到 Y的一个映射
注,集合，元素，映射 是一相对概念
略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射,
一一映射（双射）
１ 映射的定义
[ ]
例
注：模糊集,
参见：, 模糊集合、语言变量及模糊逻辑,, L.A.Zadeh
]1,0[,?Xf
2,实数的加法运算 +,R× R→R ( 群,环,域 )
?ba1,定积分运算 为从 [a,b]上的可积函数集
到实数集的映射 (函数,泛函,算子,变换 )
? Ax AxA x ??? 10)(?
}1,0{,?XA?
3,集合的特征函数
（集合 A与特征函数互相决定）
称 为集 A的特征函数,
1,,,,( )
{ ( ), } ( ),
1 ) ( ) ( ) ;
2 ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ;
3 ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ;
f X Y A B A X
f x x A A f A
A B f A f B
f A B f A f B f A f A
f A B f A f B f A f A
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定 理, 设 是 的 子 集,
称 为 的 像 集, 记 作 则 有,
一 般 地 有,
一 般 地 有,
证明的过程略
为单射等号成立当且仅当
如常值映射，一般不成立
f
BfAfBAf,)()()( ?? ?
2 集合运算关于映射的性质（像集）
1
11
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2,,,,,( ) {, ( ) }
( ) ( )
1 ) ( ) ( ) ;
2 ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ;
3 ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ;
f X Y A X C D C Y x f x C
C f C f
C D f C f D
f C D f C f D f C f C
f C D f C f D f C f C
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定 理, 设 是 的 子 集, 称
为 的 原 像 集, 记 作 不 一 定 有 逆 映 射, 则 有,
一 般 地 有,
一 般 地 有,
集合运算关于映射的性质（原像集）
注,6）,7）一般不能使等号
成立,6） 等号成立当且仅当
f为 单射, 7） 等号成立当且仅
当 f为 满射
证明的过程略;)]([)7
) ] ;([)6;)]([)()5
);(\)()\()4
1
1
11
111
CCff
AffA
CfCf
DfCfDCf
cc
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???;~~,~)3;~~)2;~)1
)2
CACBBA
ABBA
AA
?
?
传递性：
对称性：
自反性：
性质
3 对等与势
1） 设 A,B是两 非空 集合，若存在着 A到 B的
一一映射（既单又满），则称 A与 B对等,
注：称与 A对等的集合为与 A有相同的
势（基数），记作
势是对有限集 元素个数 概念的推广
A
BA ~
?? ~
记作
约定
ZNNN ~~~)1 偶数奇数
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,..,
1,3,5,7,9,11,13,15,..,
2,4,6,8,10,12,14,16..,
n
2n-1
2n
0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,..,
…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,..,
例
),(~)1,1)(2 ????? )2(,xtgxf ??
),(~}){3 ????去掉一个点的圆周
有限集与无限集的本质区别,
无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）
且一定能做到，而有限集则不可能。
例
Galileo在 17世纪最
先考虑自然数与自
然数平方的多少,
1870Cantor开始系
统考虑,；则称若 BABA ?,~)1
基数的大小比较
( 1,1 ) ~ ( 1,1 ) (,)? ? ? ? ? ? ?如,
12) ~,A B B A B
A B B A
??若 则 称 ；
相 当 于, 到 有 一 个 单 射, 也 相 当 于 到 有 一 个 满 射
3 ),A B A B A B
AB
? ? ?若 且, 则 称
注, 不 能 用 与 的 一 个 真 子 集 对 等 描 述
.~,~
,~,
**
**
BABABB
ABAABA
则，使的子集及
，使的子集是两个集，若有设
.),,BAABBA ??? 则即：若
4 Bernstein定理
单射。又满的映射转化找两个；从而我们把找既单，只需找一个单射即可而要证
射；间找一个既单又满的映与，需要在注：要证
BA
BABA
?
?
例：由 可知,
试问 如何构造两者间的既单又满的映射。
]1,1[~)1,1( ?? )1,1(~),(]1,1[)1,1( ?????????
Bernstein定理的证明
么：中的集合两两不交，那两两不交
中的集合而且指标集，又
是一个是两个集族，引理：设
}:{,
}:{,~,
,}:{}:{
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B
ABA
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Bfλ
Bernstein定理的证明
.
,**
g
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上的一一映射
到以及上的一一映射到根据题设，存在
证明,
A
B
g f
*B
*A
Bernstein定理的证明
A
B
*B
*A
1A
*1 \ AAA ?令
2A
g
)( 12 BgA ?
3A
g
)( 23 BgA ?
3B
f
)( 33 AfB ?
2B
f
)( 22 AfB ?
? ?
1B
)( 11 AfB ?令
f
A
B
*B
*A
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f
2A 3A
2B 3B
g f f g
不交与，故而知由 21*1*12* \,)()( AAAAAABgAABg ????
不交的象在从而 2121,,BBfAA 不交下的象在 3221,,AAgBB
两两不交故不交与知由 32131*3,,,,AAAAAAA ?
1 2 3 1 2 3,,,,A A A f B B B从 而 在 下 的 象 也 两 两 不 交,
Bernstein定理的证明
Bernstein定理的证明
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所以而且
也两两不交两两不交从而
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此处都是关于映射 g,
如果不是同一映射,
则不一定成立,
第一章 集合及其基数
定义 1：设 X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f，
对 X中的 每个 x，均 存在 Y中 唯一 的 y与之对应，则称
这个 对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射,
记作 f,X→Y
或,设 X,Y是两个非空集合,f是 X× Y的 子集,且
对 任意 x∈ X,存在唯一 的 y ∈ Y使 (x,y) ∈ f，则 f 是从
X 到 Y的一个映射
注,集合，元素，映射 是一相对概念
略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射,
一一映射（双射）
１ 映射的定义
[ ]
例
注：模糊集,
参见：, 模糊集合、语言变量及模糊逻辑,, L.A.Zadeh
]1,0[,?Xf
2,实数的加法运算 +,R× R→R ( 群,环,域 )
?ba1,定积分运算 为从 [a,b]上的可积函数集
到实数集的映射 (函数,泛函,算子,变换 )
? Ax AxA x ??? 10)(?
}1,0{,?XA?
3,集合的特征函数
（集合 A与特征函数互相决定）
称 为集 A的特征函数,
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称 为 的 像 集, 记 作 则 有,
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证明的过程略
为单射等号成立当且仅当
如常值映射，一般不成立
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2 集合运算关于映射的性质（像集）
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一 般 地 有,
一 般 地 有,
集合运算关于映射的性质（原像集）
注,6）,7）一般不能使等号
成立,6） 等号成立当且仅当
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当 f为 满射
证明的过程略;)]([)7
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3 对等与势
1） 设 A,B是两 非空 集合，若存在着 A到 B的
一一映射（既单又满），则称 A与 B对等,
注：称与 A对等的集合为与 A有相同的
势（基数），记作
势是对有限集 元素个数 概念的推广
A
BA ~
?? ~
记作
约定
ZNNN ~~~)1 偶数奇数
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,..,
1,3,5,7,9,11,13,15,..,
2,4,6,8,10,12,14,16..,
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0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,..,
…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,..,
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有限集与无限集的本质区别,
无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）
且一定能做到，而有限集则不可能。
例
Galileo在 17世纪最
先考虑自然数与自
然数平方的多少,
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统考虑,；则称若 BABA ?,~)1
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相 当 于, 到 有 一 个 单 射, 也 相 当 于 到 有 一 个 满 射
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例：由 可知,
试问 如何构造两者间的既单又满的映射。
]1,1[~)1,1( ?? )1,1(~),(]1,1[)1,1( ?????????
Bernstein定理的证明
么：中的集合两两不交，那两两不交
中的集合而且指标集，又
是一个是两个集族，引理：设
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Bernstein定理的证明
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不交与，故而知由 21*1*12* \,)()( AAAAAABgAABg ????
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Bernstein定理的证明
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