第六章 函数空间 Lp简介 (续 )
本讲目的,掌握 Lp-空间中的按范数收敛
概念, 熟悉几种收敛概念的关系, 了解
Lp-空间的科学意义及其在微分, 积分方
程中的应用 。
重点与难点,几种收敛概念的关系 。
第二节 Lp-空间简介 (续 )
第二节 Lp-空间简介 (续 )
既然 已经有了距离概念，我们便可以在 中定
义序列的极限。
定义 2设,,,
如果,即,则
称 是 方平均收敛到 的可测函数列，
或说 按 中范数收敛到,记作
)(ELp
)( ELf p? )( ELf pn ? ?,2,1?n
0),(lim ??? ff nn ? 0?? pn ff
}{ nf ?p
)(||||lim |||| ???? ??? ??? nffff pnpnn 或
f
f)(ELpnf
第二节 Lp-空间简介 (续 )
至此, 我们又有了一种函数序列的收敛概念,
这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测
度收敛概念是什么关系？ 这是我们应该弄清楚
的问题 。
例 1 令,
]1,0[?E
?
?
?
??
?
?
???
??
?
01
1
,0
1
0,
)(
xx
n
n
xn
xf n
或
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则对任意,,即
在 上处处收敛到 。然而，当把
看作 中的元素时, 有
因此 按 中范数并不收敛到 0。
]1,0[?x )(0)( ??? nxf n nf
]1,0[ 0?f nf
)1)(( ?pEL p
?
?
?
??
????
??
?
? 1,1
1,
]|)(|[)0,(
111
p
p
ndxxff pppn
E
n?
nf )(EL
p
第二节 Lp-空间简介 (续 )
例 2 设, 记
令
……
]1,0[?E
),2,1(
),
1
[,0
),
1
[,1
)(
)(
ki
k
i
k
i
x
k
i
k
i
x
xf
k
i ??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
),()(),()(),()( )2(23)2(12)1(11 xfxxfxxfx ??? ???
),()(),()(),()( )3(36)3(25)3(14 xfxxfxxfx ??? ???
第二节 Lp-空间简介 (续 )
我们已经知道 是处处不收敛到 0的函数，
现设,则在 中，有
若,则
由于 时，显然有,所以
即 。
)}({ xn?
1?p )(ELp
pp
n
E
n dx
1
]||[)0,( ??? ??)()( )( xfx nn kin ??
pp
n
E
n dx
1
]||[)0,( ??? ??
??n ??
nk 0)0,( ?n??
)(0|||| ???? ?? ? npn?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
从例 1,例 2立知, 处处收敛不蕴含
方平均收敛, 方平均收敛也不蕴含处处
收敛 。 但下面的定理指出, 方平均收敛
蕴含依测度收敛 。
定理 3 设 。
且, 则 。
?p
?p
?p
?,2,1),(,?? kELff pk
0),( ?ff k? ffk ?
证明：对任意 。 记
,
则
0??
})()(||{)( ?? ??? xfxfxEE kk
第二节 Lp-空间简介 (续 )
由于, 所以对任何固定的 有
, 即
证毕 。
pp
k
E
k dxffff
1
]||[),( ?? ??
pp
k
E
dxff
k
1
)(
]|[ ?? ?
?
p
k
pp
E
Emdx
k
11
)(
))](([][ ???
?
??? ?
0),( ?ff k? ?
)(0)],([1))(( ???? kffEm pkpk ??? ffk ?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
推论 若, 且, 则 。 即 中
序列的极限是唯一的 。
证明：由定理 3及,
知,, 再由第三章 § 2定理 6知
, 故作为 中元, 有 。
证毕 。
)(,,ELgff pk ?
,0),( ?ff k?0),( ?gf k?
gf ? )(ELp
0),( ?ff k?0),( ?gf k?
ffk ? gfk ?
][,Eeagf ? )(ELp gf ?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
定理 4 设, 如果, 则
证明：注意到
,
及
)(,ELff pk ? 0),( ?ff k?
ppk ff |||||||| ?
pkpkp ffff |||||||||||| ???
ppkpk ffff |||||||||||| ???
0),(|||| ??? ffff kpk ?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
立得
所以 。 证毕 。
定理 3及定理 4都假定了 与 是 中的元
素 。 我们知道欧氏空间 中的一个 Cauchy序列,
则该序列一定收敛到 中的某个元 。
]||||),([lim|||| pkk
kp
ffff ??
??
?
pkkpkk ff ||||lim||||lim ???? ??
Pppkk ffff ||||)||||||( | |lim ???? ??
ppkk ff ||||||||lim ???
kf f )(ELp
nR
nR
第二节 Lp-空间简介 (续 )
这就是所谓的 Cauchy准则,Cauchy准则成立的
空间常称作完备空间。对于, Cauchy准则是
否成立呢？也就是说，若 是 中的一个序
列，且满足, 是否存
在 。使得？如果结论是肯定
的，则我们便可以说 是完备的。
定义 3 设 是 中的序列，若对任
意,存在 N，使得当 时,有
)(ELp
}{ kf )(ELp
),(0),( ????? kkff kk?
)( ELf p? 0),( ?ff k?
)(ELp
}{ kf )(ELp
0?? Njk ?,
第二节 Lp-空间简介 (续 ),
则称 是 中的基本列 （ 或 Cauchy列 ） 。
定理 5 是完备的, 即任意基本列
都收敛 。
证明：设 是 中的基本列, 则由归纳法不
难找到正整数序列, 使得
?? ??? pjkjk ffff ||||),(
}{ kf )(ELp
)1)(( ??? pEL p
}{ kf )(ELp
?
?1}{ mmk
?? ????? mkkkk 321
第二节 Lp-空间简介 (续 )
并且当 时，有
令
,
则 是 E上的非负单调递增可测函数列，由
Fatou引得知，由 Minkowski不等式知
由 Minkowski不等式知
mkk ?
?,2,1,2 1||||),( ???? mffff mpkkkk
mm
?
?,3,2,1|,)()(|)(
1
1
???
??
?
nxfxfxg
mm kk
n
m
n
}{ ng
dxxgdxxg pn
En
p
nn
E
)]([lim)](lim[ ??
????
?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
从而,进一步
,即,由此不难得知
在 E上几乎处处有限，于是级数 在 E
上几乎处处绝对收敛。记
? ??
?
??
?
n
m
pp
kk
E
pp
n
E
dxxfxfdxxg
mm
1
/1
1
]|)()(|[])]([[
1
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??
???
?
n
m
m
n
m
kk mm ff
11
1
2
1),(
1
?
1)]([lim ??
??
dxxg pn
En
1)](lim[ ?
???
dxxg pn
nE
)(lim ELg pnn ??? nn gg ??? lim
??
?
??
1
)( 1
m
kk mm ff
?
?
?
???
?
1
)()()(
11
m
kkk mm ffxfxf
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
0?? ?NN ? Nmk ?,
?? ?),( mk ff Nkm ?
Nk ? ?? ?),(
mkk ff
].[.|)()(||)()(|lim Eeaxfxfxfxf pkpkkm m ?????
??
?
??
????
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),(lim
||)()(|[lim||)()(|[),(
11
m
m
kk
m
p
E
p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
由 的任意性知, 所以 是完备
的 。 证毕 。
应该指出,空间在积分方程与微分方程理论
中有着十分重要的应用，前面已经提到，当我们用迭代
法解方程时，虽然每一步的迭代函数都是具有很好性质
的函数，却不能保证迭代序列的极限也具有类似的性质。
但只要迭代序列是 中的基本列，则其极限必为
中的函 数,该极限通常称为方程的广义解。又如微分方
程边值问题中，对于给定的边界条件常常很难在连续可
微函数的范围内求解，甚至根本没有连续可微解，此时，
我们可以给方程加上一个小的扰 动项，使得问题
? 0),( ?ff k? )(ELp
)(ELp
)(ELp
)(ELp
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
0?? ?NN ? Nmk ?,
?? ?),( mk ff Nkm ?
Nk ? ?? ?),(
mkk ff
].[.|)()(||)()(|lim Eeaxfxfxfxf pkpkkm m ?????
??
?
??
????
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),(lim
||)()(|[lim||)()(|[),(
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m
m
kk
m
p
E
p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
0?? ?NN ? Nmk ?,
?? ?),( mk ff Nkm ?
Nk ? ?? ?),(
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].[.|)()(||)()(|lim Eeaxfxfxfxf pkpkkm m ?????
??
?
??
????
??
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),(lim
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m
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m
p
E
p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
0?? ?NN ? Nmk ?,
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),(lim
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m
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m
p
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p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
变得易于求解, 如果取一列按 方范数收敛到 0的
扰动项, 对应的解序列按 方范数是一基本列, 则
其极限在 中, 我们也称该极限为原方程的一个广义
解 。 显见 空间是十分重要的一类函数空间 。
我们已经看到了, 与 有着许多相似的性质,
它关于线性运算是封闭的, 它上面有距离, 也有由距
离导出的范数, 这样的空间称线性赋范空间 。 我们还
看到, 是完备的, 完备的线性赋范空间称作
Banach空间, 这些空间都是泛函分析中研究的重要
对象 。 尽管 与 有许多相似之处, 但 与
又有着本质的差别, 它的结构比 要复杂得多, 比如,
?p
?p
pL
pL
)(ELp
)(ELp nR
)(ELp nRnR )(ELp
nR
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
0?? ?NN ? Nmk ?,
?? ?),( mk ff Nkm ?
Nk ? ?? ?),(
mkk ff
].[.|)()(||)()(|lim Eeaxfxfxfxf pkpkkm m ?????
??
?
??
????
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),(lim
||)()(|[lim||)()(|[),(
11
m
m
kk
m
p
E
p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
中的有界序列未必有按距离收敛的子序列, 这使
得 中与此性质相关的许多重要结论及技巧在 空
间中不再适用 。 要克服这些困难, 需引进新的概念,
建立新的理论 。 有关 空间的更深入细致的讨论以
及更一般理论的建立, 可以本书的下册泛函分析教程
中找到 。
注意到 中函数是 E上的 Lebesgue可测函数,
而鲁津定理告诉我们, 任何可测函数都可用连续函数
依测度逼近, 因此, 我们自然会猜测, 中函数可
以用连续函数按距离逼近 。 作为本章的结尾, 我们就
情形证实这一猜测 。
)(ELp
nR pL
?pL
)(ELp
)(ELp
],[ baE ?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
0?? ?NN ? Nmk ?,
?? ?),( mk ff Nkm ?
Nk ? ?? ?),(
mkk ff
].[.|)()(||)()(|lim Eeaxfxfxfxf pkpkkm m ?????
??
?
??
????
??
?? ??
),(lim
||)()(|[lim||)()(|[),(
11
m
m
kk
m
p
E
p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
定理 6 设, 则对于任意
存在 上的连续 函 数, 使得
。
证明：如果 是有界的, 即存在, 使
,
则由 Lusin定理, 对任意, 存在 上的连续函数
及可测集, 使得
且在 上, 有 。 于是
)1])(,([ ???? pbaLf p 0??
],[ ba ?
???? ??? pff ||||),(
f 0?M
],.[.|)(| baeaMxf ?
0?? ],[ ba
)(x? ],[ baE ?? ?? ? ?? mEMx,|)(|
?Eba ?],[
)()( xxf ??
dxxxfdxxxfdxxxf p
Eba
p
E
p
ba
|)()(||)()(||)()(|
],[],[
???
?
?
????? ???
?
?? ?
?
????? ? ppppp
E
MmEMdxxxf 22|))(||)((|
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
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)()( ELxf p? )(0),( ??? kff k?
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?? ?),( mk ff Nkm ?
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mkk ff
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????
??
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m
m
kk
m
p
E
p
kk
m
p
E
p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
故对任意, 可取适当, 使,
从而
。
若 上的无界函数, 则由积分的绝对连续
性知对任意, 存在, 使得当
且 时, 有, 注意到可积函数
是几乎处处有限的, 从而存在正整数 N,使
令
0?? ? ppp M ?? ?2
?? ??? pp
ba
dxxxf
1
],[
]|)()(|[
],[ baf是
0?? 0?? ],[ baA ?
??mA pp
A
dxxf )2(|)(| ???
???? }|)(|],,[|{ Nxfbaxxm
?
?
?
?
?
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.|)(|,0
,|)(|),(
)(
时当
时当
Nxf
Nxfxf
xf N
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
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p
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m
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p
kk
ff
dxxfxfdxxfxfff
第二节 Lp-空间简介 (续 )
显然，, 且, 于是
由上面的证明知存在 上的边续函数,使
记, 则
故, 进而
证毕 。
]),([ baLf pN ? Nxf N ?|)(|
],[ ba ?
2]|)()(|[
1
],[
?? ??? pp
Nba dxxxf
}|)(||],[{ NxfbaxE N ???
pp
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N
)2(|)(|]|)()(|
],[
???? ??
2),(
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Nff
??????? ????? ? ),(),(]||[),(
1
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pp
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
虽然本节所讨论的函数总是限定在实值范围内, 但
所有结论对复值可测函数都是正确的, （ 这里所谓复
值可测函数指的是其实部与虚部都可测 ）, 只需将复
值函数 表示成 的形式, 其中 均为实值
可测函数, 则所有的证明都可以照搬过来 。 此外, 我
们也可以将实变量换成复变量, 则从 C与 的同构性
不难看到关于实变量的结论对复变量情形也一样成立 。
有关这方面的详细论述可参见 W.Rudin,实分析和复
分析, （ 中译本, 人民教育出版社, 1982） 。
f ivuf ?? vu,
nR2
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
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故再次应用 Fatou引理得
].[.)(lim)( Eeaxfxf mkm ???
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本讲目的,掌握 Lp-空间中的按范数收敛
概念, 熟悉几种收敛概念的关系, 了解
Lp-空间的科学意义及其在微分, 积分方
程中的应用 。
重点与难点,几种收敛概念的关系 。
第二节 Lp-空间简介 (续 )
第二节 Lp-空间简介 (续 )
既然 已经有了距离概念，我们便可以在 中定
义序列的极限。
定义 2设,,,
如果,即,则
称 是 方平均收敛到 的可测函数列，
或说 按 中范数收敛到,记作
)(ELp
)( ELf p? )( ELf pn ? ?,2,1?n
0),(lim ??? ff nn ? 0?? pn ff
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)(||||lim |||| ???? ??? ??? nffff pnpnn 或
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f)(ELpnf
第二节 Lp-空间简介 (续 )
至此, 我们又有了一种函数序列的收敛概念,
这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测
度收敛概念是什么关系？ 这是我们应该弄清楚
的问题 。
例 1 令,
]1,0[?E
?
?
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???
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或
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则对任意,,即
在 上处处收敛到 。然而，当把
看作 中的元素时, 有
因此 按 中范数并不收敛到 0。
]1,0[?x )(0)( ??? nxf n nf
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
例 2 设, 记
令
……
]1,0[?E
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),
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
我们已经知道 是处处不收敛到 0的函数，
现设,则在 中，有
若,则
由于 时，显然有,所以
即 。
)}({ xn?
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
从例 1,例 2立知, 处处收敛不蕴含
方平均收敛, 方平均收敛也不蕴含处处
收敛 。 但下面的定理指出, 方平均收敛
蕴含依测度收敛 。
定理 3 设 。
且, 则 。
?p
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0),( ?ff k? ffk ?
证明：对任意 。 记
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
由于, 所以对任何固定的 有
, 即
证毕 。
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
推论 若, 且, 则 。 即 中
序列的极限是唯一的 。
证明：由定理 3及,
知,, 再由第三章 § 2定理 6知
, 故作为 中元, 有 。
证毕 。
)(,,ELgff pk ?
,0),( ?ff k?0),( ?gf k?
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
定理 4 设, 如果, 则
证明：注意到
,
及
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pkpkp ffff |||||||||||| ???
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
立得
所以 。 证毕 。
定理 3及定理 4都假定了 与 是 中的元
素 。 我们知道欧氏空间 中的一个 Cauchy序列,
则该序列一定收敛到 中的某个元 。
]||||),([lim|||| pkk
kp
ffff ??
??
?
pkkpkk ff ||||lim||||lim ???? ??
Pppkk ffff ||||)||||||( | |lim ???? ??
ppkk ff ||||||||lim ???
kf f )(ELp
nR
nR
第二节 Lp-空间简介 (续 )
这就是所谓的 Cauchy准则,Cauchy准则成立的
空间常称作完备空间。对于, Cauchy准则是
否成立呢？也就是说，若 是 中的一个序
列，且满足, 是否存
在 。使得？如果结论是肯定
的，则我们便可以说 是完备的。
定义 3 设 是 中的序列，若对任
意,存在 N，使得当 时,有
)(ELp
}{ kf )(ELp
),(0),( ????? kkff kk?
)( ELf p? 0),( ?ff k?
)(ELp
}{ kf )(ELp
0?? Njk ?,
第二节 Lp-空间简介 (续 ),
则称 是 中的基本列 （ 或 Cauchy列 ） 。
定理 5 是完备的, 即任意基本列
都收敛 。
证明：设 是 中的基本列, 则由归纳法不
难找到正整数序列, 使得
?? ??? pjkjk ffff ||||),(
}{ kf )(ELp
)1)(( ??? pEL p
}{ kf )(ELp
?
?1}{ mmk
?? ????? mkkkk 321
第二节 Lp-空间简介 (续 )
并且当 时，有
令
,
则 是 E上的非负单调递增可测函数列，由
Fatou引得知，由 Minkowski不等式知
由 Minkowski不等式知
mkk ?
?,2,1,2 1||||),( ???? mffff mpkkkk
mm
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En
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
从而,进一步
,即,由此不难得知
在 E上几乎处处有限，于是级数 在 E
上几乎处处绝对收敛。记
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m
kkk mm ffxfxf
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
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].[.)(|)(||)(| 1 Eeaxgxfxf k ??
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
由 的任意性知, 所以 是完备
的 。 证毕 。
应该指出,空间在积分方程与微分方程理论
中有着十分重要的应用，前面已经提到，当我们用迭代
法解方程时，虽然每一步的迭代函数都是具有很好性质
的函数，却不能保证迭代序列的极限也具有类似的性质。
但只要迭代序列是 中的基本列，则其极限必为
中的函 数,该极限通常称为方程的广义解。又如微分方
程边值问题中，对于给定的边界条件常常很难在连续可
微函数的范围内求解，甚至根本没有连续可微解，此时，
我们可以给方程加上一个小的扰 动项，使得问题
? 0),( ?ff k? )(ELp
)(ELp
)(ELp
)(ELp
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
变得易于求解, 如果取一列按 方范数收敛到 0的
扰动项, 对应的解序列按 方范数是一基本列, 则
其极限在 中, 我们也称该极限为原方程的一个广义
解 。 显见 空间是十分重要的一类函数空间 。
我们已经看到了, 与 有着许多相似的性质,
它关于线性运算是封闭的, 它上面有距离, 也有由距
离导出的范数, 这样的空间称线性赋范空间 。 我们还
看到, 是完备的, 完备的线性赋范空间称作
Banach空间, 这些空间都是泛函分析中研究的重要
对象 。 尽管 与 有许多相似之处, 但 与
又有着本质的差别, 它的结构比 要复杂得多, 比如,
?p
?p
pL
pL
)(ELp
)(ELp nR
)(ELp nRnR )(ELp
nR
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
中的有界序列未必有按距离收敛的子序列, 这使
得 中与此性质相关的许多重要结论及技巧在 空
间中不再适用 。 要克服这些困难, 需引进新的概念,
建立新的理论 。 有关 空间的更深入细致的讨论以
及更一般理论的建立, 可以本书的下册泛函分析教程
中找到 。
注意到 中函数是 E上的 Lebesgue可测函数,
而鲁津定理告诉我们, 任何可测函数都可用连续函数
依测度逼近, 因此, 我们自然会猜测, 中函数可
以用连续函数按距离逼近 。 作为本章的结尾, 我们就
情形证实这一猜测 。
)(ELp
nR pL
?pL
)(ELp
)(ELp
],[ baE ?
第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
时, 。 于是当 时, 对
一切 都有 由于
,
故再次应用 Fatou引理得
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
定理 6 设, 则对于任意
存在 上的连续 函 数, 使得
。
证明：如果 是有界的, 即存在, 使
,
则由 Lusin定理, 对任意, 存在 上的连续函数
及可测集, 使得
且在 上, 有 。 于是
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
故对任意, 可取适当, 使,
从而
。
若 上的无界函数, 则由积分的绝对连续
性知对任意, 存在, 使得当
且 时, 有, 注意到可积函数
是几乎处处有限的, 从而存在正整数 N,使
令
0?? ? ppp M ?? ?2
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ba
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1
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
显然，, 且, 于是
由上面的证明知存在 上的边续函数,使
记, 则
故, 进而
证毕 。
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
虽然本节所讨论的函数总是限定在实值范围内, 但
所有结论对复值可测函数都是正确的, （ 这里所谓复
值可测函数指的是其实部与虚部都可测 ）, 只需将复
值函数 表示成 的形式, 其中 均为实值
可测函数, 则所有的证明都可以照搬过来 。 此外, 我
们也可以将实变量换成复变量, 则从 C与 的同构性
不难看到关于实变量的结论对复变量情形也一样成立 。
有关这方面的详细论述可参见 W.Rudin,实分析和复
分析, （ 中译本, 人民教育出版社, 1982） 。
f ivuf ?? vu,
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第二节 Lp-空间简介 (续 )
则, 由
立知 。 往证 。
对任意, 存在, 当
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一切 都有 由于
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