第三章 随机向量及分布
湖南商学院信息系
数学教研室
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的
困难，我们重点讨论二维随机变量,
本章内容是第二章内容的推广
到现在为止，我们只讨论了一维 r.v及其
分布, 但有些随机现象用一个随机变量来描述
还不够，而需要用几个随机变量来描述,
在打靶时,命中点的位置是由
一对 r.v(两个坐标 )来确定的,
飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v (三
个坐标）来确定的等等,
第三章 第一节
二维随机向量及其分布函数
设随机试验 E的样本空间是 Ω.
X=X(?)和 Y=Y(?)是定义在 Ω上的随机变
量,由它们构成的向量 (X,Y),称为 二维随机向
量,
二维随机向量 (X,Y)的性质不仅与 X及
Y的性质有关,而且还依赖于 X和 Y的相互关系,
因此必须把 (X,Y)作为一个整体加以研究,
为此,首先需要引入二维随机向量 (X,Y)
的分布函数的概念,
二维随机变量（ X,Y）
X和 Y的联合分布函数
),(),( yYxXPyxF ???
????? yx,
)()( xXPxF ??
????? x
X的分布函数
一维随机变量 X
如果把 (X,Y)看
成平面上随机点的
坐标,
取定 x,y? R1，
F(x,y)就是点
(X,Y)落在平面上的
以 (x,y)为顶点而位
于该点左下方的无
限矩形区域内的概
率,
见右图,
由上面的几何解释,易见,
随机点 (X,Y)落在矩形区域,
x1<x≤x 2,y1<y≤y 2
内的概率
P{x1<X≤x 2,y1<Y≤y 2}
=F(x2,y2)-F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)
?说明
二维分布函数 F(x,y)的三条基本性质
1,F(x,y)是变量 x,y的非减函数,
即 ?y?R1取定,当 x1<x2时,
F(x1,y)≤F(x 2,y).
同样,?x?R1取定,当 y1≤y 2时,
F(x,y1)≤F(x,y 2).
2,? x,y? R1 有 0≤F(x,y)≤1
3,?y?R1,F(-∞,y)=0,
?x?R1,F(x,-∞)=0,
F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1
),(lim:),(
,),(lim:),(
),,(lim:),(
,),(lim:),(
yxFF
yxFF
yxFxF
yxFyF
x
x
y
x
y
x
??
??
???
???
???
???
???
?????
???
???
其中,
这一讲我们介绍了二维随机向量的概
念,二维随机向量的分布函数及其性质,
二维随机向量也分为离散型和连续型,
下面我们分别讨论它们,