第三章第五节
条 件 分 布
一,条件分布的概念
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
在事件 B发生的条件下事件 A发生的条件概率
推广到随机变量
设有两个 r.v,X,Y, 在给定 Y取某个或
某些值的条件下，求 X的概率分布,
这个分布就是条件分布,
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以 X和 Y 表示其体重和
身高, 则 X和 Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布,
体重 X
身高 Y 体重 X
的分布
身高 Y
的分布
现在若限制 1.7<Y<1.8(米 ),在这个条件下
去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学
生中把身高在 1.7米和 1.8米之间的那些人都挑
出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布,
容易想象，这个分布与不加这个条件
时的分布会很不一样,
例如，在条件分布中体重取大值的概
率会显著增加,
一、离散型 r.v.的条件分布
实际上是第一章讲过的条件概率概念在
另一种形式下的重复,
定义 1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量,
对于固定的 j,若 P(Y=yj)>0,则称
为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件概率分布,
P(X=xi|Y=yj)=
)(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
?
??
j
ji
p
p
?
?, i=1,2,…
作为条件的那个 r.v.,认为取值是
给定的，在此条件下求另一 r.v.的
概率分布,
条件分布是一种概率分布，它具有概率
分布的一切性质, 正如条件概率是一种概率，
具有概率的一切性质,
,0)|( ??? ji yYxXP
例如：
1)|(
1
????
?
?i
ji yYxXP
i=1,2,…
若 P(X=xi)>0,则称
P(Y=Yj|X=xi)=
)(
),(
i
ji
xXP
yYxXP
?
??
。i
ji
p
p
?
,i=1,2,…
为在 X= xi条件下随机变量 X的条件概率分布,
解,
例 1 求书中例 3.2.1中 Y的条件分布,
Y
X
0 1 p
i,
0
7/ 15 7/ 30 7/ 10
1
7/ 30 1/ 15 3/ 10
p
.j
7/ 10 3/ 10 1
书中 3.4.1中已求出 X的边缘分布 (见上表 ).
3
2
10/7
15/7
}0{
}0,0{
}0|0{
??
?
??
???
XP
XYP
XYP(1)在X=0
的条
件下
}0{
}0,1{}0|1{
?
?????
XP
XYPXYP
(2)X=1 条件下
9
7
10/3
30/7
}1{
}1,0{}1|0{ ??
?
?????
XP
XYPXYP
9
2
10/3
15/1
}1{
}1,1{}1|1{ ??
?
?????
XP
XYPXYP
3
1
10/7
30/7 ??
解,
例 2求例 3.2.2中被调查者吸烟的条件下得肺癌的
概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率,
0 0 0 6 5.0
2.0
0 0 0 1 3.0
}0{
}0,0{}0|0{ ??
?
?????
XP
XYPXYP
0 0 0 0 5.0
8.0
0 0 0 0 4.0
}1{
}1,0{}1|0{ ??
?
?????
XP
XYPXYP
是否患肺癌 Y
是否吸烟 X
患
{Y= 0}
未患
{Y= 1 }
X 的边缘分布
吸 烟 {X= 0}
0.0001 3 0.1998 7 0,20000
不吸烟 {X=1 }
0.0000 4 0.7999 6 0,80000
Y 的边缘分布 0, 00017 0, 99983
1
二、连续型 r.v.的条件分布
设 (X,Y)是二维 连续型 r.v,由于对任意
x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0, 所以不能直接
用条件概率公式得到条件分布, 下面我们
直接给出条件概率密度的定义,
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY ?
定义 2 设 X和 Y的联合概率密度为 f (x,y),
边缘概率密度为,则对一切使 )(),( yfxf
YX
0)( ?xf X 的 x,定义已知 X=x下,Y 的条件
密度函数为
同样，对一切使 的 y,定义
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX ?
0)( ?yf Y
为已知 Y=y下,X的条件密度函数,
我们来解释一下定义的含义：
将上式左边乘以 dx,右边乘以 (dx dy)/dy
即得
dyyf
d xd yyxfdxyxf
Y
YX )(
),()|(
| ?
}{
},{
dyyYyP
dyyYydxxXxP
???
???????
}|{ dyyYydxxXxP ???????
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX ?
以 为例
dxyxf YX )|(|
}|{ dyyYydxxXxP ???????
换句话说，对很小的 dx和 dy，
表示已知 Y取值于 y和 y+dy之间的条件 下，
X取值于 x和 x+dx之间的条件概率,
dxyxf YX )|(|
运用条件概率密度，我们可以在已知某
一随机变量值的条件下，定义与另一随机变
量有关的事件的条件概率,
dxyxfyYAXP
A
YX???? )|()|( |
定义在已知 Y=y下,X的条件分布函数为
)|()|(| yYuXPyuF YX ???
特别，取 ),,( uA ???
dxyxfu YX?
??
? )|(|
即, 若 (X,Y)是连续型 r.v,则对任一 集合 A，
求 P(X>1|Y=y)
例 3 设 (X,Y)的概率密度是
?
?
?
?
?
??????
?
??
其它,0
0,0,
),(
yx
y
ee
yxf
yyx
解,
? ?? 1 | )|( dxyxf YX
P(X>1|Y=y)
为此,需求出 )|(
| yxf YX
由于
于是对 y>0,
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX ?
? ???? dxyxfyf Y ),()(
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0
dx
y
ee yyx ??? ??
0
][ yx
y
ye
y
e
,ye ?? ??? y0
,
y
e yx?? 0?x
故对 y>0,P(X>1|Y=y)
?
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1
dx
y
e yx
????
1
yxe ye 1??
例 4 设 (X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率
密度为
??
?
?
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?
其它,0
1,1),( 22 yxyxf
? )|(| xyf XY求
??
?
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1||,0
1||,1
2
),()(
2
x
xxdyyxfxf
X ?
解,X的边缘密度为
当 |x|<1时,有
)(
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| xf
yxfxyf
X
XY ?
21)2(
1
x?
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12
1
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)|(| xyf XY
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?????
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取其它值y
xyx
x
,0
11,
12
1 22
2
即 当 |x|<1时,有
X作为已知变量
这里是 y的取值范围
X已知下 Y 的
条件密度
请看演示 条件分布
前面, 我们已经知道, 二维正态分布的
两个边缘密度仍是正态分布,
可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下，
Y 的条件分布，或者已知 Y=y下,X的条件
分布都仍是正态分布,
留作练习,
二维正态分布再看
解,
例 5
?
?
?
?
?
??
?
其他0
1
4
21
),(
22
yxyx
yxf
设二维随机向量 (X,Y)的概率密度函数为,
求,条件概率密度和条件概率：
? ???? dxyxfyf Y ),()(
?
?
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其他0
10
2
7 2/5
yy
∴ y?(0,1] 时 fY(y)>0
?
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2
3
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2/32
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yyxyx
yf
yxf
yxf
Y
YX
转下页
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21 42
xxx
∴ x?(-1,1) 时 fX(x)>0
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y
yx
x
y
xf
yxf
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X
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yx
x
y
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2
1
|(}
2
1
|
4
3
{
y dy
dyyfXYP
XY
例 6 设店主在每日开门营业时,放在柜台上
的货物量为 Y,当日销售量为 X,假定一天中不再
往柜台上补充货物,于是 X≤Y,根据历史资
料,(X,Y)的概率密度函数为
?
?
?
?
?
????
?
其他0
200,0
2 0 0
1
),(
yyx
yxf
求,(1).给定 Y=y条件下,X的 条件概率密度,
(2).假定某日开门时,Y=10件,求这天顾客买走
X≤5 件的概率,
(3).如果 Y=20件呢?
解,,(1).
? ???? dxyxfyf Y ),()(
?
?
?
?
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???
?
?
其他0
200
2 0 02 0 0
1
0
y
y
dx
y
∴ y?(0,20] 时 fY(y)>0.
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],0[0
],0[
1
)(
),(
)|(
|
yx
yx
y
yf
yxf
yxf
Y
YX
(2)Y=10时,顾客买走 X≤5 件的概率为
? ?????? 5 || )10|()10|5(}10|5{ dxxfFYXP YXYX
?
?
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???
]10,0[0
]10,0[
10
1
)10|()|(10
||
x
x
xfyxfy
YXYX
代入把
5.0
10
1)10|5( 5
0|
??? ? dxF YX
(3)Y=20时,顾客买走 X≤5 件的概率
? ?????? 5 || )20|()20|5(}20|5{ dxxfFYXP YXYX
?
?
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???
]20,0[0
]20,0[
20
1
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||
x
x
xfyxfy
YXYX
代入把
25.0
20
1)20|5( 5
0|
??? ? dxF YX
这表明货物销售量 X与 放在柜台上的货物
量 Y的关系是很密切的,
例 7 设数 X在区间 (0,1)均匀分布, 当观察到
X=x(0<x<1)时, 数 Y在区间 (x,1)上随机地取值,
求 Y的概率密度,
解：依题意,X具有概率密度
?
?
? ???
其它,0
10,1
)(
x
xf X
对于任意给定的值 x(0<x<1),在 X=x的条件
下, Y的条件概率密度为
??
?
?
? ??
??
其它,0
1,
1
1
)|(| yxxxyf XY
X和 Y的联合密度为
)|()(),( | xyfxfyxf XYX?
??
?
?
? ???
??
其它,0
10,
1
1
yx
x
于是得 Y的概率密度为
? ???? dxyxfyf Y ),()(
??
?
?
? ?????
?? ?
其它,0
10),1l n (
1
1
0
y
yydx
x
已知边缘密度、
条件密度，求
联合密度
这一讲，我们介绍了条件分布的概
念和计算，并举例说明对离散型和连续
型随机变量如何计算条件分布, 请课下
通过练习进一步掌握,
下一讲我们将介绍随机变量的独立
性，请事先预习,
条 件 分 布
一,条件分布的概念
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
在事件 B发生的条件下事件 A发生的条件概率
推广到随机变量
设有两个 r.v,X,Y, 在给定 Y取某个或
某些值的条件下，求 X的概率分布,
这个分布就是条件分布,
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以 X和 Y 表示其体重和
身高, 则 X和 Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布,
体重 X
身高 Y 体重 X
的分布
身高 Y
的分布
现在若限制 1.7<Y<1.8(米 ),在这个条件下
去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学
生中把身高在 1.7米和 1.8米之间的那些人都挑
出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布,
容易想象，这个分布与不加这个条件
时的分布会很不一样,
例如，在条件分布中体重取大值的概
率会显著增加,
一、离散型 r.v.的条件分布
实际上是第一章讲过的条件概率概念在
另一种形式下的重复,
定义 1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量,
对于固定的 j,若 P(Y=yj)>0,则称
为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件概率分布,
P(X=xi|Y=yj)=
)(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
?
??
j
ji
p
p
?
?, i=1,2,…
作为条件的那个 r.v.,认为取值是
给定的，在此条件下求另一 r.v.的
概率分布,
条件分布是一种概率分布，它具有概率
分布的一切性质, 正如条件概率是一种概率，
具有概率的一切性质,
,0)|( ??? ji yYxXP
例如：
1)|(
1
????
?
?i
ji yYxXP
i=1,2,…
若 P(X=xi)>0,则称
P(Y=Yj|X=xi)=
)(
),(
i
ji
xXP
yYxXP
?
??
。i
ji
p
p
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,i=1,2,…
为在 X= xi条件下随机变量 X的条件概率分布,
解,
例 1 求书中例 3.2.1中 Y的条件分布,
Y
X
0 1 p
i,
0
7/ 15 7/ 30 7/ 10
1
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p
.j
7/ 10 3/ 10 1
书中 3.4.1中已求出 X的边缘分布 (见上表 ).
3
2
10/7
15/7
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XYP
XYP(1)在X=0
的条
件下
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(2)X=1 条件下
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7
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30/7
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9
2
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15/1
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XYPXYP
3
1
10/7
30/7 ??
解,
例 2求例 3.2.2中被调查者吸烟的条件下得肺癌的
概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率,
0 0 0 6 5.0
2.0
0 0 0 1 3.0
}0{
}0,0{}0|0{ ??
?
?????
XP
XYPXYP
0 0 0 0 5.0
8.0
0 0 0 0 4.0
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XP
XYPXYP
是否患肺癌 Y
是否吸烟 X
患
{Y= 0}
未患
{Y= 1 }
X 的边缘分布
吸 烟 {X= 0}
0.0001 3 0.1998 7 0,20000
不吸烟 {X=1 }
0.0000 4 0.7999 6 0,80000
Y 的边缘分布 0, 00017 0, 99983
1
二、连续型 r.v.的条件分布
设 (X,Y)是二维 连续型 r.v,由于对任意
x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0, 所以不能直接
用条件概率公式得到条件分布, 下面我们
直接给出条件概率密度的定义,
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY ?
定义 2 设 X和 Y的联合概率密度为 f (x,y),
边缘概率密度为,则对一切使 )(),( yfxf
YX
0)( ?xf X 的 x,定义已知 X=x下,Y 的条件
密度函数为
同样，对一切使 的 y,定义
)(
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Y
YX ?
0)( ?yf Y
为已知 Y=y下,X的条件密度函数,
我们来解释一下定义的含义：
将上式左边乘以 dx,右边乘以 (dx dy)/dy
即得
dyyf
d xd yyxfdxyxf
Y
YX )(
),()|(
| ?
}{
},{
dyyYyP
dyyYydxxXxP
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}|{ dyyYydxxXxP ???????
)(
),()|(
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Y
YX ?
以 为例
dxyxf YX )|(|
}|{ dyyYydxxXxP ???????
换句话说，对很小的 dx和 dy，
表示已知 Y取值于 y和 y+dy之间的条件 下，
X取值于 x和 x+dx之间的条件概率,
dxyxf YX )|(|
运用条件概率密度，我们可以在已知某
一随机变量值的条件下，定义与另一随机变
量有关的事件的条件概率,
dxyxfyYAXP
A
YX???? )|()|( |
定义在已知 Y=y下,X的条件分布函数为
)|()|(| yYuXPyuF YX ???
特别，取 ),,( uA ???
dxyxfu YX?
??
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即, 若 (X,Y)是连续型 r.v,则对任一 集合 A，
求 P(X>1|Y=y)
例 3 设 (X,Y)的概率密度是
?
?
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其它,0
0,0,
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yx
y
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解,
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P(X>1|Y=y)
为此,需求出 )|(
| yxf YX
由于
于是对 y>0,
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Y
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故对 y>0,P(X>1|Y=y)
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y
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例 4 设 (X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率
密度为
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1,1),( 22 yxyxf
? )|(| xyf XY求
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1||,1
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解,X的边缘密度为
当 |x|<1时,有
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取其它值y
xyx
x
,0
11,
12
1 22
2
即 当 |x|<1时,有
X作为已知变量
这里是 y的取值范围
X已知下 Y 的
条件密度
请看演示 条件分布
前面, 我们已经知道, 二维正态分布的
两个边缘密度仍是正态分布,
可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下，
Y 的条件分布，或者已知 Y=y下,X的条件
分布都仍是正态分布,
留作练习,
二维正态分布再看
解,
例 5
?
?
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?
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其他0
1
4
21
),(
22
yxyx
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设二维随机向量 (X,Y)的概率密度函数为,
求,条件概率密度和条件概率：
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dyyfXYP
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例 6 设店主在每日开门营业时,放在柜台上
的货物量为 Y,当日销售量为 X,假定一天中不再
往柜台上补充货物,于是 X≤Y,根据历史资
料,(X,Y)的概率密度函数为
?
?
?
?
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其他0
200,0
2 0 0
1
),(
yyx
yxf
求,(1).给定 Y=y条件下,X的 条件概率密度,
(2).假定某日开门时,Y=10件,求这天顾客买走
X≤5 件的概率,
(3).如果 Y=20件呢?
解,,(1).
? ???? dxyxfyf Y ),()(
?
?
?
?
?
???
?
?
其他0
200
2 0 02 0 0
1
0
y
y
dx
y
∴ y?(0,20] 时 fY(y)>0.
?
?
?
??
?
?
?
?
???
],0[0
],0[
1
)(
),(
)|(
|
yx
yx
y
yf
yxf
yxf
Y
YX
(2)Y=10时,顾客买走 X≤5 件的概率为
? ?????? 5 || )10|()10|5(}10|5{ dxxfFYXP YXYX
?
?
?
?
?
?
?
???
]10,0[0
]10,0[
10
1
)10|()|(10
||
x
x
xfyxfy
YXYX
代入把
5.0
10
1)10|5( 5
0|
??? ? dxF YX
(3)Y=20时,顾客买走 X≤5 件的概率
? ?????? 5 || )20|()20|5(}20|5{ dxxfFYXP YXYX
?
?
?
?
?
?
?
???
]20,0[0
]20,0[
20
1
)20|()|(20
||
x
x
xfyxfy
YXYX
代入把
25.0
20
1)20|5( 5
0|
??? ? dxF YX
这表明货物销售量 X与 放在柜台上的货物
量 Y的关系是很密切的,
例 7 设数 X在区间 (0,1)均匀分布, 当观察到
X=x(0<x<1)时, 数 Y在区间 (x,1)上随机地取值,
求 Y的概率密度,
解：依题意,X具有概率密度
?
?
? ???
其它,0
10,1
)(
x
xf X
对于任意给定的值 x(0<x<1),在 X=x的条件
下, Y的条件概率密度为
??
?
?
? ??
??
其它,0
1,
1
1
)|(| yxxxyf XY
X和 Y的联合密度为
)|()(),( | xyfxfyxf XYX?
??
?
?
? ???
??
其它,0
10,
1
1
yx
x
于是得 Y的概率密度为
? ???? dxyxfyf Y ),()(
??
?
?
? ?????
?? ?
其它,0
10),1l n (
1
1
0
y
yydx
x
已知边缘密度、
条件密度，求
联合密度
这一讲，我们介绍了条件分布的概
念和计算，并举例说明对离散型和连续
型随机变量如何计算条件分布, 请课下
通过练习进一步掌握,
下一讲我们将介绍随机变量的独立
性，请事先预习,
