第三章第四节
边 缘 分 布
(一 ) 边缘分布函数
二维随机向量 (X,Y)作为一个整体,具有分
布函数 F(x,y).
其分量 X和 Y也 都是随机变量,也有自己的
分布函数,将其分别记为 FX(x),FY(y).
依次称为 X和 Y的 边缘分布函数,
而把 F(x,y)称为 X和 Y的 联合分布函数,
FX(x)=P{X≤ x}=P{X≤ x,Y<∞}=F( x,∞)
FY(y)=P{Y≤ y}=P{X<∞,Y≤ y}=F(∞,y)
X和 Y的边缘分布函数,本质上 就是一维随
机变量 X和 Y的分布函数,之所以称其为边缘分
布是相对于 (X,Y)的联合分布而言的,
同样地,联合分布函数 F(x,y)就是二维随
机向量 (X,Y)的分布函数,之所以称其为联合分
布是相对于其分量 X或 Y的分布而言的,
注意
求法
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
则 (X,Y)关于 X的边缘概率函数为
?,2,1,)( ???? ?? ippxXP
j
ijii
?,2,1,)( ???? ?? jppyYP
i
ijji
(X,Y)关于 Y 的边缘概率函数为
X和 Y 的联合概率函数为
?,2,1,,),( ???? jipyYxXP ijji
(二 ) 二维离散型随机向量的 边缘分布
解,
例 1
Y
X
0 1
0
7 /15 7 /30
1
7 /30 1 /15
求,例 3.2.1（ P62）中 (X,Y)的分量 X和 Y的
边缘分布,
10
3
15
1
30
7
}{
10
7
30
7
15
7
}{
2
1
222
2
1
111
??????
??????
?
?
?
?
?
?
j
j
j
j
pxXPp
pxXPp
10
3
15
1
30
7
}{
10
7
30
7
15
7
}{
2
1
222
2
1
111
??????
??????
?
?
?
?
?
?
i
i
i
i
pyYPp
pyYPp
Y
X
0 1 p
i,
0
7/ 15 7/ 30 7/ 10
1
7/ 30 1/ 15 3/ 10
p
.j
7/ 10 3/ 10 1
把这些数据补充到前面表上,
解,
例 2 (旧书 P63,新书 P60)
转下页
求,例 3.2.2中 (X,Y)的分量 X和 Y的边缘分布,
P{X=0}= P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}
= 0.00013+0.19987=0.20000
P{X=1}= P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}
= 0.00004+0.79996=0.80000
P{Y=0}= P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}
= 0.00013+0.00004=0.00017
P{Y=1}= P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}
= 0.19987+0.79996=0.99983
把这些数据补充到例 3.2.2的计算结果上,
是否患肺癌 Y
是否吸烟 X
患
{Y= 0}
未患
{Y= 1 }
X 的边缘分布
吸 烟 {X= 0}
0.0001 3 0.1998 7 0,20000
不吸烟 {X=1 }
0.0000 4 0.7999 6 0,80000
Y 的边缘分布 0, 00017 0, 99983
1
（三）,对连续型 随机向量 ( X,Y )
X和 Y的联合概率密度为
则 ( X,Y )关于 X的边缘概率函数为
( X,Y )关于 Y的边缘概率函数为
),( yxf
? ???? dyyxfxf X ),()(
? ???? dx)y,x(f)y(f Y
例 3 若 (X,Y)服从矩形区域 a≤x≤b.c≤y≤d
上均匀分布,两个边缘概率密度分别为,
?
?
?
?
?
?
?
??
],[0
],[
1
)(
bax
bax
abxf
X
?
?
?
?
?
?
?
??
],[0
],[
1
)(
dcy
dcy
cdyf
Y
注 上题中 X和 Y都是服从均匀分布的随机变
量,但对于其它 (不是矩形 )区域上的均匀分布,不
一定 有上述结论,
例 4 设 (X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1
上的均匀分布,求,X和 Y的边缘概率密度,
?
?
?
?
?
?
?
?
Dyx
Dyx
yxf
),(0
),(
1
),( ?
解,
当 x<-1或 x>1时
00
),()(
??
?
?
?
?
??
?
??
dy
dyyxfxf X
当 -1≤ x≤1 时
部分可省）
在熟练是被积函数为零(1
2
0
1
0
),()(
2
1
1
1
1
2
2
2
2
x
dydydy
dyyxfxf
x
x
x
x
X
??
???
?
???
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
?
（注意积分限的确定方法）
由 X和 Y在问题中地位的对称性,将上
式中的 x改为 y,就得到 Y的边缘概率密度,
?
?
?
?
?
??
???
??
]1,1[0
]1,1[1
2
)(
2
x
xx
xf
X
?
?
?
?
?
?
??
???
??
]1,1[0
]1,1[1
2
)(
2
y
yy
yf
Y
?
例 5 设 (X,Y)的概率密度是
?
?
? ??????
其它,
xy,x),x(cy)y,x(f
0
0102
求 (1) c的值； （ 2） 两个边缘密度 。
=5c/24=1,
? c =24/5
? ? ?? 10 0 ])2([ x dxdyxcy
? ???? ??? dxdyyxf ),(解,(1)
dxxxc ? ?? 1
0
2 22 ]/)([
由
? ???? ??? ? 1),( d x d yyxf
确定 C
x
y
0 1
y=x
例 5 设 (X,Y)的概率密度是
解, (2)
求 (1) c的值 ; (2) 两个边缘密度,
?
?
? ??????
其它,0
0,10),2(
),(
xyxxcy
yxf
? ?? xX dyxyxf 0 )2(524)(
),2(512 2 xx ??
10 ?? x
注意积分限
注意取值范围
x
y
0 1
y=x
例 5 设 (X,Y)的概率密度是
解, (2)
求 (1) c的值 ; (2) 两个边缘密度,
?
?
? ??????
其它,0
0,10),2(
),(
xyxxcy
yxf
),
2
2
2
3(
5
24 2yyy ???
? ?? 1 )2(524)( yY dxxyyf
10 ?? y
注意积分限
注意取值范围
x
y
0 1
y=x
??
?
?
?
????
?
其它,0
10),
2
2
2
3
(
5
24
)(
2
y
y
yy
yf Y
??
?
?
?
???
?
其它,0
10),2(
5
12
)(
2 xxx
xf X
即
??
?
?
?
????
?
其它,0
10),
2
2
2
3
(
5
24
)(
2
y
y
yy
yf Y
??
?
?
?
???
?
其它,0
10),2(
5
12
)(
2 xxx
xf X
即
解,
2
1
2
1
2
)(
1
2
1
)(
:),()(
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?
x
X
X
exf
dyyxfxf 则
例 6 设,(X,Y )～N(?
1,?2,,?)
求, X,Y的边缘概率密度,
2
2
2
1,??
这说明 X～
同理得 Y～
),( 211 ??N
),( 222 ??N
?说明
对于确定的 ?1,?2,?1,?2,当 ?不同时，对应
了不同的二维正态分布。
对这个现象的解释是,边缘概率密度只考虑了
单个分量的情况,而未涉及 X与 Y之间的关系,
(X1,X2 )～N(?1,?2,,?)
? X1～ X2～
(与参数 ?无关 )
),( 211 ??N ),( 2
22 ??N
2221,??
X与 Y之间的关系这个信息是包含在
(X,Y)的联合概率密度函数之内的,
在下一章将指出,对于二维正态分布而
言,参数 ?正好刻画了 X和 Y之间关系的密切程
度,
因此,仅由 X和 Y的边缘概率密度 (或边缘
分布 ),一般不能确定 (X,Y)的概率密度函数
(或概率分布 )