第三章第七节
随机向量函数的分布
在第二章中，我们讨论了一
维随机变量函数的分布，现在我
们进一步讨论,
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问
题，然后将其推广到多个随机变量的情形,
当随机变量 X1,X2,…,Xn的联合分布
已知时，如何求出它们的函数
Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m
的联合分布?
一、离散型分布的情形
例 1 若 X,Y独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,
P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求 Z=X+Y的概率函数,
解, )()( rYXPrZP ????
?
?
????
r
i
irYPiXP
0
)()(
=a0br+a1br-1+…+ arb0
?
?
????
r
i
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0
),(
由独立
性
此即离散型
卷积公式
r=0,1,2,…
解,依题意
?
?
?????
r
i
irYiXPrZP
0
),()(
例 2 若 X和 Y相互独立,它们分别服从参数为
的泊松分布,证明 Z=X+Y服从参数为
21,??
21 ?? ?
的泊松分布,
由卷积公式
i=0,1,2,…
j=0,1,2,…
!
)(
i
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!
)(
j
ejYP j22 ?????
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由卷积公式
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)( 21
r
r
e ???? ?? ??
即 Z服从参数为 的泊松分布,21 ?? ?
r =0,1,…
设 X和 Y的联合密度为 f (x,y),求 Z=X+Y的
密度,
解, Z=X+Y的分布函数是,
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤ z)
???
D
d x d yyxf ),(
这里积分区域 D={(x,y),x+y ≤z}
是直线 x+y =z 左下方的半平面,
二、连续型分布的情形
化成累次积分,得
??
??
?
zyx
Z dxdyyxfzF ),()(
? ???? ???? yzZ dydxyxfzF ]),([)(
固定 z和 y,对方括号内的积分作变量代换,
令 x=u-y,得
? ???? ?? ?? zZ dyduyyufzF ]),([)(
? ??? ??? ?? z dudyyyuf ]),([
变量代换
交换积分次序
由概率 密度与分布函数的关系,即得 Z=X+Y
的概率密度为,
由 X和 Y的对称性,fZ (z)又可写成
? ??? ??? dyyyzfzFzf ZZ ),()()( '
以上两式即是两个随机变量和
的概率密度的一般公式,
? ??? ??? dxxzxfzFzf ZZ ),()()( '
? ??? ??? ?? zZ dudyyyufzF ]),([)(
特别，当 X和 Y独立，设 (X,Y)关于 X,Y的边缘
密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为,
? ??? ?? dyyfyzfzf YXZ )()()(
这两个公式称为卷积公式,
? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
下面我们用 卷积公式来求
Z=X+Y的概率密度
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0的区域
例 3 若 X和 Y 独立,具有共同的概率密度
求 Z=X+Y的概率密度,
?
?
? ???
其它,0
10,1
)(
x
xf
? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
解, 由卷积公式
?
?
?
???
??
10
10
xz
x 也即
?
?
?
???
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x
1
10
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0的区域
?
?
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其它,0
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)(
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1
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z
Z
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如图示,
?
?
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x 也即
?
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?
???
??
zxz
x
1
10
于是
? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
教材上例 3.7.1 请看（板）书, 注意此例的结
论：
用类似的方法可以证明,
),(~ 222121 ???? ???? NYXZ
若 X和 Y 独立,),,(~),,(~ 2
22211 ???? NYNX
结论又如何呢?
若 X和 Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),
则 Z=X+Y服从正态分布 N(0,2).
解,
例 4 设某种商品在一周内的需要量是一个随机
变量，其概率密度函数为,
如果各周的需要量相互独立，求两周
需要量的概率密度函数,
?
?
? ?? ?
其它0
0)( xxexf x
分别用 X,Y表示该种商品在第一，二
周内的需要，则其概率密度函数分别为,
?
?
? ?? ?
其它0
0)( xxexf x
X
两周需要量 Z=X+Y,Z的概率密度函数为,
?
?
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其它0
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Y
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0)( ?zf Z
?
?
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0
0
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x
时，被积函数不为零，
所以
（ 1） 当 z 0时,有?
(2) 当 z>0,
? ??
z
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Z
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zf
0
)()(
)(
z
z
xzx
e
z
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)(
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ze
z
zf
x
Z
休息片刻再继续
三,M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布
设 X,Y是两个相互独立的随机变量，它
们的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y),我们来
求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数,
又由于 X和 Y相互独立,于是得到 M=max(X,Y)
的分布函数为,
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
FM(z)=P(M≤z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
=P(X≤z,Y≤z)
由于 M=max(X,Y)不大于 z等价于 X和 Y都
不大于 z，故有
分析：
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
类似地，可得 N=min(X,Y)的分布函数是
下面进行推广
即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
=1-P(X>z,Y>z)
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1- P(X>z)P(Y>z)
设 X1,…,Xn是 n个相互独立的随机变量,
它们的分布函数分别为
我们来求 M=max(X1,…,Xn)和
N=min(X1,…,Xn)的分布函数,
)( xF iX
(i =0,1,…,n)
用与二维时完全类似的方法，可得
特别，当 X1,…,Xn相互独立且具有相
同分布函数 F(x)时，有
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为,
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
)](1[1)( 1 zFzF XN ???
…
)](1[ zF nX?
)()( 1 zFzF XM ? )(zF nX
…
若 X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得
M=max(X1,…,Xn)和 N=min(X1,…,Xn)的分布
函数后，不难求得 M和 N的密度函数,
留作课下练习,
当 X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数
F(x)时，有
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
需要指出的是，当 X1,…,Xn相互独立且
具有相同分布函数 F(x)时,常 称
M=max(X1,…,Xn),N=min(X1,…,Xn)
为极值,
由于一些灾害性的自然现象，如地震、
洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要
的意义和实用价值,
如图所示,设系统 L
由两个相互独立的子系
统 L1,L2联接而成,联接
的方式分别为,
(1)串联,
(2)并联,
(3)备用 (开关完全可
靠,子系统 L2在储备期内
不失效,当 L1.损坏时,L2
开始开始工作 ).
例 5
解,
设 L1,L2的寿命分别为 X,Y.其概率密度函
数分别为,
其中 ?>0,?>0,且 ?≠ ?.
分别对以上三种联接方式写出 L的寿命 Z的概
率密度函数,
?
?
? ?
?
?
其它0
0
)(
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xf
x
X
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?
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?
?
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yf
y
Y
??
先求 X,Y的分布函数,
?
?
?
?
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??? 00
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x
xedttfxF xx
XX
?
(1)串联, Z=min{X,Y}
FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
?
?
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YY
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(2)并联, Z=Max{X,Y}
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(3)备用, Z=X+Y
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当 z> 0时,有
当 z 0时，?
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z
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zf
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Z
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??
??
这一讲，我们介绍了求随机向量函数
的分布的原理和方法，需重点掌握的是：
请通过练习熟练掌握,
1、已知两个随机变量的联合概率分布，会
求其函数的概率分布 ；
2、会根据多个独立随机变量的概率分布求
其函数的概率分布．
关于 n维随机向量请同学们自学
随机向量函数的分布
在第二章中，我们讨论了一
维随机变量函数的分布，现在我
们进一步讨论,
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问
题，然后将其推广到多个随机变量的情形,
当随机变量 X1,X2,…,Xn的联合分布
已知时，如何求出它们的函数
Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m
的联合分布?
一、离散型分布的情形
例 1 若 X,Y独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,
P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求 Z=X+Y的概率函数,
解, )()( rYXPrZP ????
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解,依题意
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例 2 若 X和 Y相互独立,它们分别服从参数为
的泊松分布,证明 Z=X+Y服从参数为
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由卷积公式
i=0,1,2,…
j=0,1,2,…
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即 Z服从参数为 的泊松分布,21 ?? ?
r =0,1,…
设 X和 Y的联合密度为 f (x,y),求 Z=X+Y的
密度,
解, Z=X+Y的分布函数是,
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤ z)
???
D
d x d yyxf ),(
这里积分区域 D={(x,y),x+y ≤z}
是直线 x+y =z 左下方的半平面,
二、连续型分布的情形
化成累次积分,得
??
??
?
zyx
Z dxdyyxfzF ),()(
? ???? ???? yzZ dydxyxfzF ]),([)(
固定 z和 y,对方括号内的积分作变量代换,
令 x=u-y,得
? ???? ?? ?? zZ dyduyyufzF ]),([)(
? ??? ??? ?? z dudyyyuf ]),([
变量代换
交换积分次序
由概率 密度与分布函数的关系,即得 Z=X+Y
的概率密度为,
由 X和 Y的对称性,fZ (z)又可写成
? ??? ??? dyyyzfzFzf ZZ ),()()( '
以上两式即是两个随机变量和
的概率密度的一般公式,
? ??? ??? dxxzxfzFzf ZZ ),()()( '
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特别，当 X和 Y独立，设 (X,Y)关于 X,Y的边缘
密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为,
? ??? ?? dyyfyzfzf YXZ )()()(
这两个公式称为卷积公式,
? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
下面我们用 卷积公式来求
Z=X+Y的概率密度
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0的区域
例 3 若 X和 Y 独立,具有共同的概率密度
求 Z=X+Y的概率密度,
?
?
? ???
其它,0
10,1
)(
x
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解, 由卷积公式
?
?
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为确定积分限,先找出使被积函数不为 0的区域
?
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其它,0
21,2
10,
)(
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如图示,
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?
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1
10
于是
? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
教材上例 3.7.1 请看（板）书, 注意此例的结
论：
用类似的方法可以证明,
),(~ 222121 ???? ???? NYXZ
若 X和 Y 独立,),,(~),,(~ 2
22211 ???? NYNX
结论又如何呢?
若 X和 Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),
则 Z=X+Y服从正态分布 N(0,2).
解,
例 4 设某种商品在一周内的需要量是一个随机
变量，其概率密度函数为,
如果各周的需要量相互独立，求两周
需要量的概率密度函数,
?
?
? ?? ?
其它0
0)( xxexf x
分别用 X,Y表示该种商品在第一，二
周内的需要，则其概率密度函数分别为,
?
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X
两周需要量 Z=X+Y,Z的概率密度函数为,
?
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Y
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时，被积函数不为零，
所以
（ 1） 当 z 0时,有?
(2) 当 z>0,
? ??
z
YX
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Z
休息片刻再继续
三,M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布
设 X,Y是两个相互独立的随机变量，它
们的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y),我们来
求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数,
又由于 X和 Y相互独立,于是得到 M=max(X,Y)
的分布函数为,
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
FM(z)=P(M≤z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
=P(X≤z,Y≤z)
由于 M=max(X,Y)不大于 z等价于 X和 Y都
不大于 z，故有
分析：
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
类似地，可得 N=min(X,Y)的分布函数是
下面进行推广
即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
=1-P(X>z,Y>z)
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1- P(X>z)P(Y>z)
设 X1,…,Xn是 n个相互独立的随机变量,
它们的分布函数分别为
我们来求 M=max(X1,…,Xn)和
N=min(X1,…,Xn)的分布函数,
)( xF iX
(i =0,1,…,n)
用与二维时完全类似的方法，可得
特别，当 X1,…,Xn相互独立且具有相
同分布函数 F(x)时，有
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为,
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
)](1[1)( 1 zFzF XN ???
…
)](1[ zF nX?
)()( 1 zFzF XM ? )(zF nX
…
若 X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得
M=max(X1,…,Xn)和 N=min(X1,…,Xn)的分布
函数后，不难求得 M和 N的密度函数,
留作课下练习,
当 X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数
F(x)时，有
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
需要指出的是，当 X1,…,Xn相互独立且
具有相同分布函数 F(x)时,常 称
M=max(X1,…,Xn),N=min(X1,…,Xn)
为极值,
由于一些灾害性的自然现象，如地震、
洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要
的意义和实用价值,
如图所示,设系统 L
由两个相互独立的子系
统 L1,L2联接而成,联接
的方式分别为,
(1)串联,
(2)并联,
(3)备用 (开关完全可
靠,子系统 L2在储备期内
不失效,当 L1.损坏时,L2
开始开始工作 ).
例 5
解,
设 L1,L2的寿命分别为 X,Y.其概率密度函
数分别为,
其中 ?>0,?>0,且 ?≠ ?.
分别对以上三种联接方式写出 L的寿命 Z的概
率密度函数,
?
?
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先求 X,Y的分布函数,
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(1)串联, Z=min{X,Y}
FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
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(2)并联, Z=Max{X,Y}
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(3)备用, Z=X+Y
? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
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当 z> 0时,有
当 z 0时，?
? ?? z YXZ dxxzfxfzf 0 )()()(
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这一讲，我们介绍了求随机向量函数
的分布的原理和方法，需重点掌握的是：
请通过练习熟练掌握,
1、已知两个随机变量的联合概率分布，会
求其函数的概率分布 ；
2、会根据多个独立随机变量的概率分布求
其函数的概率分布．
关于 n维随机向量请同学们自学
