第三章 第二节
二维离散型随机向量
如果二维随机向量 (X,Y)的每个分
量都是离散型随机变量,则称 (X,Y)是
二维离散型随机向量,
二维离散型随机向量 (X,Y)所有可
能取的值也是有限个或可列无穷个,
二维随机变量（ X,Y）
联合分布
离散型
,),( ijji pyYxXP ???
i,j =1,2,…
??
?
?
?
?
??
? ?
i j
ij
ij
p
jip
1
,2,1,,0 ?
X和 Y 的联合概率分布
,)( kk pxXP ??
k=1,2,…
离散型
一维随机变量 X
,0?kp
? ?
k
kp 1
k=1,2,…
X的概率分布
?
?
?
Y
X
y 1 y 2 ? y j ?
x 1
P 11 p 12 ? P 1j ?
x 2
P 21 P 22 ? P 2j ?
┇
┇ ┇ ┇
x i
P i1 P i2 ? P ij ?
┇
┇ ┇ ┇
概率分布也可以用表格表示,
表 3.2.1.
(II) 二维分布律与二维分布函数
设二维离散型随机向量 (X,Y)的分布律为
pij i=1,2,? ; j=1,2,?,
于是 (X,Y)的分布函数
? ?
?
?
?
?
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?
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??????
??
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yyxx
ji
ji
yYxXPyYxXPyxF
,
,},{),(
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xx yy
ij
xx yy
ji
i j
i j
p
yYxXPyxF,),(
? ?
? ?
?
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
解,
例 1 设有 10件产品,其中 7件正品,3件次品,
现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回,
令,
X=1,若第一次取到的产品是次品,
X=0,若第一次取到的产品是正品,
Y=1,若第二次取到的产品是次品,
Y=0,若第二次取到的产品是正品,
求, 二维随机向量 (X,Y)的概率分布,
(X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品 },
利用古典概型,得,
P{X=0,Y=0}=(7?6)/(10?9)=7/15
同理求得,
P{X=0,Y=1}=(7?3)/(10?9)=7/30
P{X=1,Y=0}=(3?7)/(10?9)=7/30
P{X=1,Y=1}=(3?2)/(10?9)=1/15 Y
X
0 1
0
7 /15 7 /30
1
7 /30 1 /15
例 2 为了进行吸烟与肺癌关系的研究，
随机调查了 23000个 40岁以上的人，其结果
列在下表之中,
是否患肺癌
是否吸烟
患 未患
吸 烟 3 4 5 9 7
不吸烟 1 1 8 3 9 9
X=1 若被调查者不吸烟,
X=0 若被调查者吸烟,
Y=1 若被调查者未患肺癌,
Y=0 若被调查者患肺癌,
令,从表中的每一种情况出现的次数计算出
它们的频率,就产生了二维随机向量 (X,Y)的
概率分布,
P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,
P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,
P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987,
P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.
Y
X
0 1
0 0, 0 0 0 1 3 0, 1 9 9 8 7
1 0, 0 0 0 0 4 0, 7 9 9 9 6
这一讲,介绍了二维离散
型随机向量及其概率分布,