第三章第六节
随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念
两事件 A,B独立的定义是：
若 P(AB)=P(A)P(B)
则称事件 A,B独立,
设 X,Y是两个 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yYPxXPyYxXP ?????
则称 X,Y相互 独立,
两随机变量独立的定义是：
)()(),( yFxFyxF YX?
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个 r.v.，若对任意的 x,y,有
则称 X,Y相互 独立,
它表明，两个 r.v.相互 独立时，它们的联合
分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,
),( yxf其中 是 X,Y的联合密度，
)()(),( yfxfyxf YX?
几乎处处成立，则称 X,Y相互 独立,
对任意的 x,y,有
若 (X,Y)是连续型 r.v.，则上述独立性
的定义等价于：
这里“几乎处处
成立”的含义是：
在平面上除去面
积为 0的集合外，
处处成立,
分别是 X的)(),( yfxf
YX
边缘密度和 Y的边缘密度,
若 (X,Y)是离散型 r.v，则上述独立性的
定义等价于：
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP ?????
则称 X和 Y相互 独立,
对 (X,Y)的所有可能取值 (xi,yj),有
解,
例 1 考察 (书中 )例 3.2.2(即吸烟与得肺癌关系
的研究 )中随机变量 X与 Y的独立性,
Y
X
0 1 P
i.
0 0, 0 0 0 1 3 0, 1 9 9 8 7 0,2 0 0 0 0
1 0, 0 0 0 0 4 0, 7 9 9 9 6 0,8 0 0 0 0
p
.j
0, 0 0 0 1 7 0, 9 9 9 8 3 1
P{X=0}P{Y=0}=0.2?0.00017
≠0.00013=P{X=0,Y=0}
∴ X和 Y不相互独立,
证明,
例 2 设,(X,Y )～N(?1,?2,?1,?2,?)
求证, X与 Y独立 ? ?=0
Ryx
e
yxf
uyuyuxux
?
?
?
?
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21
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由
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y
Y ??
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? 2
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2
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)(
22
1
)( ?
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??
“?” 把 ?=0代入
?
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2
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1
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uyux
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)()(
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)(
1
yfxfee YX
uyux
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?
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?
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????
于是,
∴ X与 Y独立
“?”
∵ X和 Y相互独立 ∴ ?(x,y)? R2.有
f(x,y)= fX(x)fY(y)
对比两边 ∴ ?=0
21
2
21
2
1
2
1
12
1
????????
??
?
特别,取 x=u1,y=u2 代入上式有
f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2)
即,
例 3 设 (X,Y)的概率密度为
?
?
? ??
?
??
其它,0
0,0,
),(
)( yxxe
yxf
yx
问 X和 Y是否独立？
解,? ?
???
0
)()( dyxexf yx
X
? ? ??? 0 )()( dxxeyf yxY
,xxe ??
,ye ??
x>0
即：
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?
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?
?
其它,0
0,
)(
xxe
xf
x
X ?
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?
?
其它,0
0,
)(
ye
yf
y
Y
对一切 x,y,均有：
故 X,Y 独立
)()(),( yfxfyxf YX?
y >0
若 (X,Y)的概率密度为
?
?
? ????
?
其它,
y,yx,
)y,x(f
0
1002
情况又怎样？
解：
),1(22)( 1 xdyxf
xX
??? ?
? ?? yY ydxyf 0,22)(
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为 0的区域，
)()(),( yfxfyxf YX?
故 X和 Y不独立,
例 4 甲乙两人约定中午 12时 30分在某地会面,
如果甲来到的时间在 12:15到 12:45之间是均匀
分布, 乙独立地到达,而且到达时间在 12:00到
13:00之间是均匀分布, 试求先到的人等待另一
人到达的时间不超过 5分钟的概率, 又甲先到的
概率是多少？
解, 设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以 12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45),Y~U(0,60)
??
?
?
?
??
?
其它,0
4515,
30
1
)(
x
xf X
所求为 P( |X-Y | 5) 及 P(X<Y)?
??
?
?
?
??
?
其它,0
600,
60
1
)(
x
yf Y
解, 设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以 12时为起点，以分为单位，依题意，
X~U(15,45),Y~U(0,60)
??
?
?
?
????
?
其它,0
600,4515,
1800
1
),(
yx
yxf
甲先到
的概率
由独立性 先到的人等待另一人
到达的时间不超过 5分钟
的概率
解一：
? ? ??? 4515 5x 5x dx]dy1800 1[
P(| X-Y| 5) ?
x
y
0 15 45
10
60
40
?
?
?
?
5yx ??
5yx ???
=P( -5< X -Y <5)
=1/6
=1/2
x
y
0 15 45
10
60
40
?
?
?
?
yx?
P(X<Y)
? ?? 4515 60x dx]dy1 8 0 01[
解二：
??
??
?
5|yx|
d x d y
1800
1
P(X <Y)
x
y
0 15 45
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5yx ??
5yx ???
=1/6
)]2/30303010(23060[1 8 0 01 ??????
=1/2 x
y
0 15 45
10
60
40
?
?
?
?
yx?
被积函数为常数，
直接求面积
=P(X >Y)
P(| X-Y| 5) ?
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船
各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到
达是等可能的, 若甲船需停泊 1小时，乙船需
停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求
其中一艘船要等待码头空出的概率,
在某一分钟的任何时刻, 信号进入收音机
是等可能的, 若收到两个互相独立的这种信号
的时间间隔小于 0.5秒, 则信号将产生互相干
扰, 求发生两信号互相干扰的概率,
随机变量独立性的概念不难推广到
两个以上 r.v的情形,（ 见教材 ）
定理 1 若连续型随机向量 （ X1,…,Xn） 的
概率密度函数 f(x1,…,xn)可表示为 n个函数
g1,…,gn之积, 其中 gi只依赖于 xi,即
f(x1,…,xn)= g1(x1) … gn(xn)
则 X1,…,Xn相互独立,且 Xi的边缘密度 fi(xi)
与 gi(xi)只相差一个常数因子,
最后我们给出有关独立性的两个结果：
定理 2 若 X1,…,Xn相互独立,而
Y1=g1(X1,…,Xm),Y2=g2 (Xm+1,…,Xn)
则 Y1与 Y2独立,
这一讲，我们由两个事件相互独立的
概念引入两个随机变量相互独立的概念,
给出了各种情况下随机变量相互独立的条
件，希望同学们牢固掌握,
如果两个随机变量不独立，讨论它们
的关系时，除了前面介绍的联合分布和边
缘分布外，有必要引入条件分布的概念，
这将在下一讲介绍,
随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念
两事件 A,B独立的定义是：
若 P(AB)=P(A)P(B)
则称事件 A,B独立,
设 X,Y是两个 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yYPxXPyYxXP ?????
则称 X,Y相互 独立,
两随机变量独立的定义是：
)()(),( yFxFyxF YX?
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个 r.v.，若对任意的 x,y,有
则称 X,Y相互 独立,
它表明，两个 r.v.相互 独立时，它们的联合
分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,
),( yxf其中 是 X,Y的联合密度，
)()(),( yfxfyxf YX?
几乎处处成立，则称 X,Y相互 独立,
对任意的 x,y,有
若 (X,Y)是连续型 r.v.，则上述独立性
的定义等价于：
这里“几乎处处
成立”的含义是：
在平面上除去面
积为 0的集合外，
处处成立,
分别是 X的)(),( yfxf
YX
边缘密度和 Y的边缘密度,
若 (X,Y)是离散型 r.v，则上述独立性的
定义等价于：
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP ?????
则称 X和 Y相互 独立,
对 (X,Y)的所有可能取值 (xi,yj),有
解,
例 1 考察 (书中 )例 3.2.2(即吸烟与得肺癌关系
的研究 )中随机变量 X与 Y的独立性,
Y
X
0 1 P
i.
0 0, 0 0 0 1 3 0, 1 9 9 8 7 0,2 0 0 0 0
1 0, 0 0 0 0 4 0, 7 9 9 9 6 0,8 0 0 0 0
p
.j
0, 0 0 0 1 7 0, 9 9 9 8 3 1
P{X=0}P{Y=0}=0.2?0.00017
≠0.00013=P{X=0,Y=0}
∴ X和 Y不相互独立,
证明,
例 2 设,(X,Y )～N(?1,?2,?1,?2,?)
求证, X与 Y独立 ? ?=0
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∴ X与 Y独立
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∵ X和 Y相互独立 ∴ ?(x,y)? R2.有
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对比两边 ∴ ?=0
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特别,取 x=u1,y=u2 代入上式有
f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2)
即,
例 3 设 (X,Y)的概率密度为
?
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其它,0
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问 X和 Y是否独立？
解,? ?
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对一切 x,y,均有：
故 X,Y 独立
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若 (X,Y)的概率密度为
?
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其它,
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0
1002
情况又怎样？
解：
),1(22)( 1 xdyxf
xX
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0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为 0的区域，
)()(),( yfxfyxf YX?
故 X和 Y不独立,
例 4 甲乙两人约定中午 12时 30分在某地会面,
如果甲来到的时间在 12:15到 12:45之间是均匀
分布, 乙独立地到达,而且到达时间在 12:00到
13:00之间是均匀分布, 试求先到的人等待另一
人到达的时间不超过 5分钟的概率, 又甲先到的
概率是多少？
解, 设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以 12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45),Y~U(0,60)
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解, 设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以 12时为起点，以分为单位，依题意，
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600,4515,
1800
1
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由独立性 先到的人等待另一人
到达的时间不超过 5分钟
的概率
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P(| X-Y| 5) ?
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解二：
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1800
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10
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被积函数为常数，
直接求面积
=P(X >Y)
P(| X-Y| 5) ?
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船
各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到
达是等可能的, 若甲船需停泊 1小时，乙船需
停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求
其中一艘船要等待码头空出的概率,
在某一分钟的任何时刻, 信号进入收音机
是等可能的, 若收到两个互相独立的这种信号
的时间间隔小于 0.5秒, 则信号将产生互相干
扰, 求发生两信号互相干扰的概率,
随机变量独立性的概念不难推广到
两个以上 r.v的情形,（ 见教材 ）
定理 1 若连续型随机向量 （ X1,…,Xn） 的
概率密度函数 f(x1,…,xn)可表示为 n个函数
g1,…,gn之积, 其中 gi只依赖于 xi,即
f(x1,…,xn)= g1(x1) … gn(xn)
则 X1,…,Xn相互独立,且 Xi的边缘密度 fi(xi)
与 gi(xi)只相差一个常数因子,
最后我们给出有关独立性的两个结果：
定理 2 若 X1,…,Xn相互独立,而
Y1=g1(X1,…,Xm),Y2=g2 (Xm+1,…,Xn)
则 Y1与 Y2独立,
这一讲，我们由两个事件相互独立的
概念引入两个随机变量相互独立的概念,
给出了各种情况下随机变量相互独立的条
件，希望同学们牢固掌握,
如果两个随机变量不独立，讨论它们
的关系时，除了前面介绍的联合分布和边
缘分布外，有必要引入条件分布的概念，
这将在下一讲介绍,
