(I) 概率密度函数
设二维随机向量 (X,Y)的分布函数为 F(x,y).
如果存在一个非负函数 f(x,y),使得对任意实数
x,y,总有
则称 (X,Y)为 连续型随机向量概率密度函数,简称
概率密度,
? ??? ???
y x
d u d vvufyxF ),(),(
第三章第三节
二维连续型随机向量
? ??? ??? y x d u d vvufyxF ),(),(
?? ba dxxf )(
连续型
一维随机变量 X
X的密度函数
???? ? 1)( dxxf
0)( ?xf
}{ bXaP ??
二维随机变量（ X,Y）
连续型
),( yxf
X和 Y 的联合密度函数
0),( ?yxf
? ???? ??? ? 1),( d x d yyxf
d x d yyxf
A
??? ),(
}),{( AyxP ?
2??A
对连续型 r.v(X,Y)，其概率密度与
分布函数的关系如下：
yx
yxFyxf
??
?? ),(),( 2 在 f (x,y)的连续点
? ??? ??? x y dudvvufyxF ),(),(
解, (1)
例 1 设 (X,Y)的概率密度函数为
其中 A是常数,(1)求常数 A.
(2)求 (X,Y)的分布函数；
(3)计算 P{0<X<4,0<Y<5}.
Ryx
yx
Ayxf ?
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)25)(16(
),( 222
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1
)25)(16( 222
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d x d y
yx
A
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1
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1
)16(
1
222 ???? ??
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dy
y
dx
x
A
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即
201
54
525
1
,
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1
2
22
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A
A
dy
y
dx
x
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2
1
5
1
2
1
4
1
255
1
244
120
25
1
16
120
)25)(16(
20
),().2(
2
222
222
y
ar c t g
x
ar c t g
y
ar c t g
x
ar c t g
dv
v
du
u
dudv
vu
yxF
yx
y x
??
??
?
?
?
(3) P{0<X<4,0<Y<5}
16
1
4
1
4
1
0
5
5
5
1
0
4
4
4
120
25
1
16
120
)25)(16(
20
2
5
0
2
4
0
22
5
0
4
0
222
??
?
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ar c t gar c t g
dy
y
dx
x
dx dy
yx
(二 ) 均匀分布
定义 设 D是平面上的有界区域,其面积为 d,
若二维随机向量 (X,Y)的概率密度函数为,
则 (X,Y)称 服从 D上的均匀分布,
?
?
?
?
?
?
?
?
Dyx
Dyx
dyxf
),(0
),(
1
),(
(X,Y)落在 D中某一区域 A内的概率
P{(X,Y)?A},与 A的面积成正比而与 A的位置
和形状无关,
P{(X,Y)?A}= A的面积 /d
解,
例 2 设 (X,Y)服从圆域
x2+y2≤4 上的均匀分布,
计算 P{(X,Y)?A},
这里 A是图中阴影部
分的区域
圆域 x2+y2≤4 的面积 d=4?
区域 A是 x=0,y=0和 x+y=1三条直线所围成的
三角区域,并且包含在圆域 x2+y2≤4 之内,面积
=0.5
∴ P{(X,Y)?A}=0.5/4?=1/8?
若二维随机变量 （ X,Y） 具有概率密度
2
1
1
22
21
)[(
)1(2
1e x p {
12
1),(
?
?
?????
?
?
?
?
? xyxf
]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?? ????? yyx
记作 （ X,Y） ～ N( ) ?????,,,,2
2
2
121
则称（ X,Y）服从参数为
的 二维正态分布,
?????,,,,2121
其中 均为常数,且
,0,0 21 ?? ?? 1|| ??
?????,,,,2121
(三 ) 二维正态分布
二 维正态分布 (X,Y)的概率密度函数
f(x,y)满足,
1),( ?? ?
?
??
?
??
d x d yyxf
? 性质
证明见黑板
2
1
2
1
2
)(
1
1
1
2
1
)(
:),(:)(
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?
x
exf
dyyxfxf 则令
(1)
(2)
二维正态分布
这一讲我们介绍了二维连续型
随机向量的概率密度函数,深入了解
其概念及性质是十分重要的,
另外,还介绍的二维均匀分布,二
维正态分布,